>> 自然の科学 >  >> 地学

ポアンカレ・ホップの定理の適用

数学界では、ハゲの部分を残さずにハリネズミをとかすことはできないということはよく知られている事実です。驚くべきことに、このかなり些細な洞察が、ポアンカレ・ホップの基本定理につながります。この定理は、欠陥と呼ばれるいくつかのタイプのハゲ スポットが存在し、トポロジカル チャージが付与されていることを示しています。これは、常にコーミングされた表面の特性を合計する必要があります。

この特性は、穴の数と次元に沿った厳粛な正確な形状を無視して、表面を再び分類します。たとえば、コーヒー マグには 1 つの穴 (取っ手) があり、したがってトポロジー的にはドーナツと同一であり、両方とも 0 の特性を持ちます。別の非常に大きな形状のグループは球体であり、任意の形状を含みます。穴を含まない私たちの 3D 世界では、特性は 2 です。

物理実験は、さまざまな物理システムを観察しました。湾曲した基板上で成長する結晶であり、ドメインの特性によって決定的に影響を受けます。物理学者は、規則的な結晶構造などの物理的な好ましい状態がシステム全体に伝播できず、局所的な好ましくない状態 (規則的な結晶構造の欠陥など) につながることを説明する、幾何学的フラストレーションという用語を作り出しました。これらの物理的欠陥には、ポアンカレ ホップの定理の概念も適用できます。

物理学とドメインの幾何学的特性の相互作用に関する研究は、生物応用物理学の盛んな分野から新たな注目を集めています。たとえば、多くの生物学的構造では、代謝プロセスは封入膜によって制御されています。哺乳動物では、小胞と呼ばれる細胞貯蔵および輸送コンパートメントが、棒状の粒子からなるエマルジョンで覆われています。これらの粒子は平行に整列する傾向がありますが、非常に不規則でありながら球状の形状の幾何学的制約により、完全な表面全体でそのような秩序を表現できず、欠陥が発生します。このようなベシクルの生成と分解のプロセスを調査すると、ベシクル表面の欠陥位置が、ベシクルの分解がトリガーされる重要なポイントであることが示されます。

私たちの研究では、表面上の棒状粒子からなる一般的なシステムに焦点を当てています。それらの順序付けは、すべてのロッドが互いに平行に、また表面に平行に整列する、目的の基底状態を定義する自由エネルギーによって記述されます。この基底状態からの逸脱にはペナルティが課せられるため、欠陥は必然的にエネルギーを消費します。しかし、ポアンカレ ホップの定理により、表面全体で基底状態を確立できないなどの欠陥を回避できませんでした。私たちの仕事の 1 つの側面は、そのような粒子システムとエネルギー極小値に向けたそのダイナミクスの数値シミュレーションの方法を開発することです。これらの方法を使用して、発生した欠陥構成とシステムの形状への依存性、より正確には局所的な曲率の影響を体系的に調査します。欠陥は、その位相電荷に応じて、曲率が一致する領域に引き寄せられることが、理論と実験によって確立されています。さらに、反対の電荷の欠陥は互いに引き付け合い、接触すると消滅し、秩序化エネルギーが減少します。

私たちの理論的議論と数値実験は、曲率が欠陥に局所的な力をどのように誘発するかについての洞察を提供します。十分な強い曲率の場合、これらの幾何学的力は引力を上回り、ペアワイズ欠陥消滅を抑制します。曲率をさらに大きくすると、欠陥ペアの作成が観察されます。したがって、曲率の局所変調がポアンカレ ホップの定理の実現をどのように定義し、非最小欠陥構成を可能にするかを実証することができました。

これらの側面に加えて、体積(3D)と表面(2D)における粒子系の記述の間のギャップを埋める理論的議論を提供します。表面を厚さが消失する管状のボリュームと見なすと、曲率が最小の曲率の線に沿って粒子のグローバルに優先される配置をどのように誘導するかが明らかになります。特に、これらの結果は次の論文で発表されています:

  • M. Nestler、I. Nitschke、S. Praetorius、A. Voigt – 表面の配向秩序 – トポロジー、ジオメトリ、ダイナミクスの結合
  • I. Nitschke、M. Nestler、S. Praetorius、A. Voigt – 曲面上のネマティック液晶 – 薄膜限界

これらの調査結果は、ジャーナル オブ ノンリニア サイエンスに掲載された Orientational Order on Surfaces:The Coupling of Topology, Geometry, and Dynamics というタイトルのジャーナル記事で説明されています。この作業は、ドイツのドレスデンにあるドレスデン工科大学の Institut für Wissenschaftliches Rechnen の Michael Nestler が主導しました。


  1. 川の洪水リスクの不確実性を解明
  2. EPA の「透明性ルール」は、政策立案における科学の役割を制限する可能性がある
  3. 雨の中走ったり歩いたりすると濡れますか?
  4. 2019年に世界で最も人口の多い国
  5. 突然変異したチェルノブイリの動物は宇宙飛行士を教えることができる
  6. 地球全体が地図化されましたか?