宇宙人が地球に着陸し、私たちの最も差し迫った質問である「神は存在するのか?リーマン予想は本当ですか？オズワルドは一人で行動したのですか?
情報をいただければ幸いですが、回答者がどのようにして回答を得たかを知らなければ、あまり役に立ちません。
これが、数学が現在置かれている状況です。 1 月には、コンピューター科学者のチームが、今世紀のこの分野で最高の結果の 1 つとして称賛されている抜本的な証拠を投稿しました。しかし、証明はコンピュータ サイエンスをはるかに超えていました。長い一連の含意を通じて、数学の主要な未解決の問題も解決しました。
問題が発生する作用素代数の分野の数学者は、遠くから知識を授けられた地球人のようになりました。コンピューター サイエンスは、彼らが気にかけている推測は誤りであると彼らに告げました。しかし、その情報を有効に活用するには、証明を理解できる言語に翻訳する方法を見つける必要があります。
カナダのウォータールー大学の数学者である Vern Paulsen は、次のように述べています。 「やるべきことがたくさんあります。」
推測
数学的問題は、1976 年にフランスの高等科学研究所の Alain Connes によって提起された Connes 埋め込み予想です。これは、量子力学の数学で発生する特定の数値オブジェクトに関係しています。
まず、より単純なシナリオを考えてみましょう。空中に投げられたボールを想像してください。 x に沿った位置を指定するには、3 つの数字が必要です 、はい と z 空間軸。これらの数値を方程式に代入することで、ボールの軌道をモデル化できます。
わかりました。
ここで、光線を数学的に記述したいとします。これは、数学者と物理学者が数の正方配列を方程式に代入することによって記述する量子力学系です。行列と呼ばれるこれらの配列は、ボールの例で数字の役割を果たします。これらの配列には、光線の位置を記述するために必要なすべての情報が含まれています。
しかし、ボールを説明するにはわずか 3 つの数字で十分ですが、光線を説明する行列は膨大です。行列には無限の行と列の数字が含まれています。
なぜそんなに多いのですか？光のビームは実際には光子の流れだからです。
それについて考える 1 つの方法は、個々の光子からモデルを構築することです。単一の光子を含む光ビームは、2 行 2 列の行列で表すことができます。この行列の数値は、光子の「振動角」を表し、測定値はその進行方向にほぼ対応します。 2 倍のフォトン (2 つ) を持つビームには、4 行 4 列の行列が必要です。 3 つの光子には 8 行 8 列の行列が必要です。 4 つのフォトンは 16 行 16 列の行列を取り、フォトンを追加するたびに行と列の数が 2 の累乗で増加します。
では、最終的に光のビーム全体にたどり着くとしたら、それを記述するにはどのくらいの大きさの行列が必要になるでしょうか?それは、ビームに含まれる光子の数に依存します — そして量子力学は、ある意味で、ビームを無制限の数の光子を含む波と見なします.
「それを無限の流れと考える必要があります」とポールセンは言いました。そのビームは、それを記述するために無限の行と列を持つマトリックスを必要とします。数学者で博学者のジョン・フォン・ノイマンは、1930 年代に量子力学系から生じる無限次元行列の研究を開始しました。
40 年後、Connes はこの作業を基に開発を進めました。彼は、光子の流れのようなシステムを記述する無限次元行列について体系的な考え方を提案し、より小さな有限次元行列から規則正しく構築できると推測しました。
このように考えることができます。
地球の表面の平らな地図があり、あらゆる場所の温度を知りたいと想像してください。このマップ上の無数のポイントのそれぞれで温度計の読み取り値を取得できます。次に、無数の行と列を持つ行列を構築することで、これらの測定値を表すことができます.
しかし、それは大変な作業です。そこで、より大まかな概算を試してみましょう。マップを 4 つの象限に分割し、各象限の平均気温を計算します。この情報は単純な 2 行 2 列の行列で表すことができます。
もう少しうまくやりたいとしましょう。各象限を象限に分割します。これで、全部で 16 の領域ができました。それぞれの平均気温を計算し、その情報を 4 行 4 列の行列で表します。このように続けて、象限を象限に分割し、象限の平均温度を行列として表し、行と列の数をどんどん増やしますが、それでも有限です。
ここで、各有限次元行列について、次のことを自問できます:無限次元行列の温度測定値をどれだけ近似できるか?たとえば、2 行 2 列の行列では、象限の平均温度が、その象限内の各ポイントでの実際の温度の 10% 以内になることを期待できます。 4 行 4 列の行列はもう少し洗練されているため、各ポイントで実際の温度の 9% 以内に収まるように、もう少し改善することをお勧めします。
Connes の埋め込み予想にも似た趣があります。しかし、地図上の温度の読み取り値ではなく、光のビームのような量子力学的システムを記述する行列と関係があります.
Connes は、簡略化されたレベル (2 行 2 列の行列バージョン) でシステムの動作を知ることで、ある程度の誤差範囲内でシステム全体の動作を常に概算できると予測しました。この誤差は、行列のサイズが大きくなるにつれて小さくなります。光子を追加して行列のサイズを拡大すると、光のビームで何が起こっているかを実際に説明する無限次元の行列に近づきます。
誤りであることが証明された
しかし、コンピューター サイエンスの新しい結果は、Connes の予測が誤りであることを証明しています。これは、近似スキームが量子力学系を記述する一部の無限次元行列に対して機能する一方で、それらすべてに対して機能するわけではないことを意味します。
「彼の推測では、各サブシステムについて十分な情報を知ることは、システム全体を説明するのに十分な情報であると予測していましたが、多少の誤差はあります」と Paulsen は電子メールに書いています。 「そうではないことがわかりました。」
Connes 埋め込み予想の失敗は、数学にいくつかの意味を持ちます。 1 つ目は、すべての無限次元行列が有限次元行列で適切に近似できるわけではないという上記の点です。
2 番目の意味は、数学者が知らない無限次元行列のファミリが存在する必要があるということです。 Connes は、無限次元行列のすべてのファミリは有限次元行列で適切に近似できると予測しました。これまでのところ、常にそうでした。新しい証明は、この近似スキームが常に機能するとは限らないことを立証しますが、実際には、それから逸脱する特定の行列ファミリーを識別しません.そのため、数学者は機能しないものを探しに行かなければなりません。
波紋は他の方向にも行きます。他の多くの予想は、コンネスの埋め込み予想に結びついていました:多くの数学者がそうであると仮定したように、もしそれが本当なら、それらの他の問題も自動的に真実になるでしょう.しかし、それは誤りであるため、これらの他の推測はこれまで以上に不確実になっています。そして、数学者はこれまでそれらを無視してきました.
「これにより、人々はこれらの問題に取り組むことができなくなりました。しかし今、ゲームは再び進行中です」と Paulsen 氏は言いました。
ただし、数学者がこれらの意味を追求する前に、それらを引き起こしたコンピューター サイエンスの結果を理解する必要があります。簡単ではありません。新しい証明は、数年かけて開発された膨大な 165 ページの作品であり、作用素代数ではなく、計算理論にしっかりと根ざしています。 Quantaとして 最近説明されたように、それはアラン・チューリングの初期の計算理論を思い起こさせ、量子もつれと非ローカルゲームと呼ばれる面白いクイズショータイプのコンテストも利用しています.これの多くは数学者にはなじみのないものです.
「過去 2 年間注意を払っていなかったとしたら、行列に関する問題である Connes を [これらの方法で] 解決したことは、非常に驚くべきことです。」
数学者は現在、論文を自分で読もうとしています。それを理解している人は、それを他の人に教えるためにセミナーを開催しています。これを書いた 5 人のコンピューター科学者は、自分たちの研究を数学コミュニティに説明するための講演も計画しています。
最終的に、数学者は新しい結果を吸収し、彼らの分野の言語でそれを再解釈する方法を見つけるでしょう.しかし、人類の文明は、一晩で地球外の洞察の衝撃に順応することはできません.数学もそうではありません。
「しばらく時間がかかります」と Paulsen 氏は言いました。
