クアンタ マガジンのフィリップ アモン
マイケル・アティヤの多くの称賛にもかかわらず、彼はフィールズ賞とアベル賞の両方の数学賞を受賞しています。世界最古の科学団体であるロンドン王立協会の元会長（およびエジンバラ王立協会の元会長）。ケンブリッジのトリニティ・カレッジの元修士。騎士であり、王立功労勲章のメンバー。そして本質的に英国の数学教皇 — それにもかかわらず、彼はおそらく仲人として最も適切に説明されています.彼は、しばしば自分自身と彼自身のアイデアを巻き込んで、適切な知的連絡を手配するための直感を持っており、半世紀以上のキャリアの過程で、数学の分野内の明らかに異なるアイデアの間、および数学の間のギャップを埋めてきました。
たとえば、2013 年の春のある日、バッキンガム宮殿のクイーンズ ギャラリーに座って、エリザベス 2 世との毎年恒例のメリット勲章昼食会を待っていたとき、サー マイケルは彼の生涯の友人であり同僚である偉大なロジャー ペンローズ卿との試合を行いました。数理物理学者
ペンローズは、量子重力への道である「ツイスター」理論を開発しようとしており、50 年近く研究が続けられていました。ペンローズ氏は、「私には、無限に出かけて問題を解決しようとして、再び戻ってくるという方法がありました」と述べています。彼は、もっと簡単な方法があるに違いないと考えました。そしてちょうどその時、アティヤはそれに指を置いて、ペンローズが一種の「非可換代数」を利用することを提案しました.
「ああ、なんてことだ」と思いました」とペンローズは言いました。 「ツイスター理論の中でずっとそこに座っていたこの非可換代数があることを知っていたからです。しかし、私はそれをこの特定の方法で使用することを考えていませんでした. 『それはうまくいかない』と言う人もいたかもしれませんが、マイケルはすぐに、それを機能させる方法があり、まさに正しいことを行うことができることに気づきました。」 Atiyah が提案を行った場所を考えると、Penrose は彼の改善されたアイデアを「宮殿ツイスター理論」と呼んだ.
これがアティヤの力です。大まかに言えば、彼はキャリアの前半を数学と数学を結びつけ、後半を数学と物理学を結びつけてきました。
Atiyah は、1963 年にマサチューセッツ工科大学の Isadore Singer と共に考案された (そして適切には Atiyah-Singer 指数定理と呼ばれる) 「指数定理」で最もよく知られており、解析とトポロジーを結び付けています。数学分野、そして後に物理学でも。主にこの作品で、アティヤは 1966 年にフィールズ賞を受賞し、2004 年にアベル賞を (シンガーとともに) 受賞しました。
1980 年代、指数定理から集められた方法は、ひも理論の発展に予想外の役割を果たしました — 一般相対性理論と重力の大規模な領域を、量子力学の小規模な領域と調和させようとする試み — 特に、ニュージャージー州プリンストン高等研究所のひも理論家であるエドワード・ウィッテンとアティヤは広範な共同研究を開始し、1990 年にウィッテンはフィールズ賞を受賞しました。アティヤをチャンピオンとして受賞した唯一の物理学者です。
86 歳になった現在、アティヤはほとんどハードルを下げていません。彼はまだ大きな問題に取り組んでおり、量子力と重力力の間の結合を調整しようとしています.この面では、アイデアは猛烈な速さで到着していますが、アティヤ自身が説明しているように、それらはまだ直感的で、想像力に富み、漠然とした不器用な商品です.
それでも、彼は過密なスケジュールにエネルギーを与えられて、この自由に流れる創造性の状態を楽しんでいます。これらの現在の調査と熟考の方向性を熱心に追求する中で、彼は昨年 12 月、彼が 1997 年から名誉教授を務めているエジンバラ大学で、同じ日に続けて、ダブルヘッダーの講義を行いました。彼の新しいアイデアを共有することに熱心であり、支持者を引き付けることを望んでいます.そのために、11 月にエジンバラ王立協会で「美の科学」に関する会議を主催しました。 クォンタ マガジン 王立協会の集会でアティヤと一緒に座り、その後、彼が質問をするのに十分な長さで減速したときはいつでも。以下は、キャッチ・アズ・キャッチ・カンの会話の編集版です。
QUANTA MAGAZINE:美容と科学に興味を持ったきっかけはどこですか?
マイケル・アティヤ:私は 86 年前に生まれました。それが私の興味の始まりです。私はフィレンツェで生まれました。両親は私にミケランジェロという名前を付けるつもりでしたが、誰かが「それは小さな男の子にとっては大きな名前だ」と言いました。それは災害だったでしょう。描けない。私にはまったく才能がありません。
あなたは、ロジャー ペンローズの「数学におけるアートの役割」の講義中に何かが「カチッ」と音を立て、共同論文のアイデアを思いついたと言いました。このクリック、プロセス、または状態とは何ですか? 説明できますか?
それは、あなたがそれを一度見たら、それが真実であれ、真実であれ、ただあなたの顔を見つめるだけのものです.真実はあなたを振り返っています。探す必要はありません。ページ上で輝いています。
それがあなたのアイデアが生まれる一般的な方法ですか?
これは壮観なバージョンでした。数学のクレイジーな部分は、アイデアが頭に浮かんだときです。通常は眠っているときです。天国からアイデアが浮かんできます。空に浮かんでいます。あなたはそれを見て、その色を賞賛します。それはただそこにあります。そして、ある段階で、それをフリーズさせようとしたり、しっかりとしたフレームに入れたり、現実に直面させようとしたりすると、消えてしまいます。しかし、それは構造に置き換えられ、特定の側面を捉えていますが、それは不器用な解釈です.
いつも数学的な夢を持っていましたか?
そう思います。夢は昼に見ますが、夜に見ます。それらはビジョンまたは直感と呼ぶことができます。しかし、基本的には、言葉、絵、公式、またはステートメントのない心の状態です。それはすべて「前」です。プレプラトンです。とても原始的な感覚です。繰り返しますが、それをつかもうとすると、常に死んでしまいます。そのため、朝起きたときに漠然とした残り物、つまりアイデアの亡霊が残っています。それが何であったかを思い出そうとしても、半分しか正しくありません。それが最善の方法かもしれません。
Quanta Magazine の Philipp Ammon
ビデオ: Michael Atiyah が数学の美しさについて説明します。
想像力はその一部ですか?
絶対。想像上のタイムトラベルは安くて簡単です。チケットを購入する必要さえありません。人々は過去にさかのぼり、自分がビッグバンの一部であると想像し、その前に何があったのかを尋ねます.
イマジネーションを導くもの — 美?
それはあなたが指し示すことができる種類の美しさではありません — それはもっと抽象的な意味での美しさです.
少し前に、ロンドン大学ユニバーシティ カレッジの神経生物学者である Semir Zeki や他の共同研究者と共同で、The Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates に関する研究を発表しましたね。
今まで書いた記事の中で一番読まれました！素敵な音楽を聴いたり、素敵な詩を読んだり、素敵な写真を見たりすると、脳の一部が活性化することが長い間知られており、これらの反応はすべて同じ場所 [「感情的な脳」、具体的には内側眼窩前頭皮質]。質問はこうでした:数学的美の評価は同じですか、それとも異なりますか?そして結論は、それは同じでした。音楽、芸術、詩の美しさを評価する脳の一部は、数学的な美しさの評価にも関与しています。これは大きな発見でした。
ファンクショナル MRI で数学者の反応を記録しながら、数学者にさまざまな方程式を示すことで、この結論に達しました。最も美しい方程式として選ばれたのはどれですか?
ああ、最も有名なのはオイラーの方程式です。これには π が含まれます。数学定数 e [オイラー数、2.71828 …]; 私 、虚数単位。 1;と 0 — 数学で最も重要なことをすべて 1 つの式にまとめたもので、その式は非常に奥が深いものです。誰もが、それが最も美しい方程式であることに同意しました。私はよく、これはハムレットの「To be, or not to be」というフレーズに数学的に相当するものだと言いました。非常に短く、非常に簡潔ですが、同時に非常に深いものです。オイラーの方程式は 5 つの記号しか使用していませんが、美しく深いアイデアをカプセル化しており、簡潔さは美しさの重要な部分です。
あなたは、指数定理だけでなく、ドイツのトポロジー学者フリードリッヒ・ヒルツェブルッフと共に開発された K 理論の 2 つの非常に美しい作品で特によく知られています。 K理論について教えてください。
指数定理と K -理論は実際には同じコインの裏表です。最初は違っていましたが、しばらくすると、絡み合ってほぐれなくなってしまいました。どちらも物理学に関連していますが、方法が異なります。
K 理論とは、平らな空間と、動き回る平らな空間の研究です。たとえば、球体の地球を考えてみましょう。大きな本を地球の上に置いて動かしてみましょう。これは、湾曲したジオメトリ上を動き回る平らなジオメトリです。 K 理論は、その状況のすべての側面、つまりトポロジーとジオメトリーを研究します。そのルーツは地球のナビゲーションにあります。
地球を探索するために使用した地図は、ロケットで宇宙に出る大規模な宇宙と、原子や分子を研究する小規模な宇宙の両方を探索するためにも使用できます。私が今していることは、それらすべてを統合しようとしていることです.K -理論はそれを行うための自然な方法です。私たちはこの種のマッピングを何百年も行ってきましたが、おそらくあと何千年も行うでしょう.
K 理論と指数定理が物理学で重要であることが判明したことに驚きましたか?
ああ、そうです。私はこの幾何学をすべて、物理学にリンクするという考えを持たずに作成しました。 「まあ、あなたのやっていることは物理学に関連しています」と人々が言ったとき、それは大きな驚きでした。それで私はすぐに物理学を学び、優れた物理学者と話をして何が起こっているのかを調べました。
ウィッテンとのコラボレーションはどのようにして実現したのですか?
私が物理学と数学の関係に興味を持ち始めた 1977 年にボストンで彼に会いました。私は会議に出席し、年配の男性と一緒にこの若い男がいました。私たちは話し始め、数分後、若い男性が年配の男性よりもはるかに頭が良いことに気付きました。彼は私が話している数学をすべて理解していたので、私は彼に注意を向け始めました。それがウィッテンでした。それ以来、彼とは連絡を取り合っています。
彼はどのような仕事をしていましたか?
2001 年、彼は私をカリフォルニア工科大学に招待し、そこで客員教授を務めました。大学院生に戻った気分でした。毎朝、私はその部門に足を踏み入れ、ウィッテンに会いに行き、1時間ほど話しました。彼は私の宿題をくれました。私は立ち去り、追いつくために次の23時間を費やしました。その間、彼は外に出て、他に半ダースのことをしていました。私たちは非常に強力なコラボレーションを行いました。優秀な監督者と一緒に仕事をするようなものだったので、信じられないほどの経験でした。つまり、彼は私が答える前にすべての答えを知っていたということです。私たちが議論したことがあるなら、彼は正しく、私は間違っていました.恥ずかしかったです！
あなたは以前、数学と物理学の間に時折現れる予期せぬ相互関係があなたにとって最も魅力的なものだと言っていました — あなたは自分が不慣れな領域に足を踏み入れていることに気付くのが好きです.
右;多くの数学は予測可能です。誰かが 1 つの問題を解決する方法を教えてくれますが、同じことを繰り返します。一歩前進するたびに、前に来た人の足跡をたどっていることになります。時々、誰かがまったく新しいアイデアを思いつき、みんなを揺るがします。人々は最初はそれを信じていませんが、信じるようになると、まったく新しい方向に進みます。数学は順応して始まります。継続的な発展があり、突然誰かが新しいアイデアを思いついたとき、不連続なジャンプがあります。それらは本当に重要なアイデアです。それらを取得すると、重大な結果が生じます。もう1つ予定されています。アインシュタインは 100 年前に良いアイデアを思いつきましたが、私たちを前進させるには別のアイデアが必要です.
しかし、そのアプローチは指示的というよりも調査的でなければなりません。科学を方向付けようとすると、人々はあなたが指示した方向にしか進まなくなります。科学はすべて、人々が興味深い脇道に気づくことから生まれます。探索には非常に柔軟なアプローチが必要で、さまざまな人がさまざまなことを試すことができるようにする必要があります。時流に乗らなければ仕事を得られないので、これは難しいことです。
あなたの将来を心配して、あなたは列に並んでおかなければなりません。それが現代科学の最悪の点です。幸いなことに、あなたが私の年齢になれば、そのことを気にする必要はありません。好きなことを言えます。
最近、物理学の膠着状態を打破することを期待して、いくつかの新しいアイデアを試していますか?
ええと、ご覧のとおり、原子物理学があります。電子、陽子、中性子など、原子を構成するすべてのものです。これらの非常に非常に小さなスケールでは、物理法則はほとんど同じですが、重力という無視できる力もあります。重力は宇宙の全質量から来るため、どこにでも存在します。それ自体が相殺されるわけではなく、正の値も負の値もありません。すべて加算されます。そのため、ブラック ホールや銀河がどれだけ離れていても、電子や陽子であっても、宇宙のあらゆる場所で非常に小さな力を発揮します。しかし、物理学者はこう言います。私たちはそれほど小さいものを測定しません。それがなくても完全にうまくいきます。」私の出発点は、それは間違いだということです。その間違いを正せば、はるかに優れた理論が得られます。
私は今、約100年前にあり、そのアイデアが何を達成しようとしているのかを人々が理解できなかったために破棄されたいくつかのアイデアをもう一度見ています.物質は重力とどのように相互作用しますか?アインシュタインの理論は、物質を少し入れると空間の曲率が変わるというものでした。そして、空間の曲率が変化すると、物質に作用します。これは非常に複雑なフィードバック メカニズムです。
私はアインシュタインと [ポール] ディラックに戻って、彼らを新しい目でもう一度見ています。人々が見逃していたものを見ていると思います。新しい発見を考慮して、歴史の穴を埋めています。考古学者が物事を掘り起こしたり、歴史家が新しい写本を見つけたりすると、まったく新しい光が当てられます。それが私がやってきたことです。図書館に行くのではなく、家の自分の部屋に座って考えます。よく考えれば、良いアイデアが浮かびます。
つまり、重力は無視できないということですか?
物理学者が直面してきたすべての困難は、それを無視することから来ていると思います。無視してはいけません。要点は、数学を取り入れれば数学は単純化されると私は信じているということです。
ほとんどの人は、原子物理学を見るとき、重力について心配する必要はないと言うでしょう.スケールは非常に小さいため、私たちが行うような計算では無視できます。ある意味で、答えが欲しいだけなら、それは正しいです。しかし、理解が必要な場合は、その選択を間違えています。
私が間違っていれば、まあ、私は間違いを犯しました。しかし、私はそうは思いません。このアイデアを取り上げると、あらゆる種類の素晴らしい結果が得られるからです。数学は一緒です。物理は一緒です。哲学は一致しています。
ウィッテンはあなたの新しいアイデアについてどう思いますか?
まあ、それは挑戦です。過去に私のアイデアのいくつかについて彼に話したとき、彼はそれらを絶望的であると却下し、それらが絶望的である10の異なる理由を教えてくれました.これで自分の陣地を守れると思います。私は多くの時間をかけて考え、さまざまな角度から考え、戻ってきました。そして、私の新しいアプローチにメリットがあることを彼に納得してもらいたいと思っています.
あなたは自分の評判を危険にさらしていますが、それだけの価値があると思います.
私の評判は数学者として確立されています。もし私が今それを台無しにすると、人々は「彼は優れた数学者だったが、彼は人生の終わりにビー玉を失った」と言うだろう.
私の友人であるジョン・ポーキングホーンは、私が入学しようとしていたちょうどその時、物理学を辞めました。彼は教会に入り、神学者になりました。 80 歳の誕生日に話し合ったところ、彼はこう言いました。先に進んで、自分の考えを考えてください。」そして、それが私がやってきたことです。必要なメダルはすべて持っています。何を失う可能性がありますか？だからこそ、私は若い研究者がする準備ができていない賭けをする準備ができています.
キャリアのこの段階で、新しいアイデアにこれほど夢中になっていることに驚きましたか?
息子の一人が私に言いました。数学者は 40 歳になるまでに最善を尽くします。そしてあなたは 80 歳を超えています。今すぐ良いアイデアを思い付くことは不可能です。」
80 歳を超えてもまだ目が覚めており、頭が冴えている場合は、長生きして多くのことを見てきたという利点があります。私は現在 86 歳ですが、ここ数年でこれらのアイデアを思いつきました。新しいアイデアが生まれ、あちらこちらで少しずつ拾い上げます。今は機が熟していますが、5 年前や 10 年前には機が熟していなかったかもしれません。
いつもあなたを導いてきた大きな質問はありますか?
なぜ物事が機能するのかを常に理解しようとします。意味を知らずに数式を取得することに興味はありません。私は常に舞台裏を掘り下げようとしているので、公式があれば、それがなぜそこにあるのか理解できます。そして理解は非常に難しい概念です。
人々は、定理と証明を書き留めたときに数学が始まると考えています。それは始まりではなく、終わりです。私にとって、数学の創造的な場所は、物事を紙に書き始める前、数式を書き込もうとする前にある.いろんなものをイメージして、頭の中でひっくり返します。ミュージシャンが音楽や詩人を作ろうとしているのと同じように、あなたも作ろうとしているのです。定められたルールはありません。あなたは自分のやり方でそれをしなければなりません。でも最後に、作曲家が紙に書き留めなければならないのと同じように、書き留めなければなりません。しかし、最も重要な段階は理解です。証明だけでは理解できません。長い証明があっても、なぜそれが機能するのか最後にはわからないことがあります。しかし、なぜそれが機能するのかを理解するには、そのことに対して一種の直感的な反応が必要です.あなたはそれを感じなければなりません.
