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フラクタル王の心の中

私たちの名前の由来であるオウムガイは、単なる文化的および神話的な対象ではありません。また、いくつかの豊富な (そして想像されていない) 数学も含まれています。それは自然のフラクタルの一つだからです。これらは、特定の長さスケールでの形状が、より小さなスケールのパーツの形状によって反映されるオブジェクトです。次に、フラクタルは数学をはるかに超えて拡張され、物理学を株式市場や現代音楽に結び付けます。そして、「フラクタル」という言葉を発見し、命名し、定義したブノワ・マンデルブロ教授ほど、これについて私たちに語るのにふさわしい人はいますか?確かに過去 50 年間で最も有名な数学者の 1 人であるマンデルブロは、フランスの田舎でナチスから身を隠しながら楕円を研究して育ちました。ニューヨーク州北部の IBM Research に 35 年間勤務し、75 歳でイェール大学の教授職に就いた後、フラクタルに関する彼の講演は、縮れた白い髪のショックと同じくらい有名になりました。マンデルブローは 2010 年に亡くなったのです。それでも、私たちは、未発表の 3 つを含む 18 の異なる情報源を利用して、死後のインタビューをまとめました。イタリック体の言葉は私たちのものです。残りはマンデルブロです。私たちはその男と会話する機会を逃しました。しかし、私たちが持っていれば、このようになったと確信しています。 (インタビューの完全な参照バージョンは、ここにあります。)

あなたは数学者で、たくさんの厄介なアイデアに興味があります。なぜですか?

若い頃は円、楕円、放物線が大好きでしたが、実際には非常にまれです。ガリレオが、科学においてこれらの形状が必要であると主張したことは完全に正しかった.しかし、世界のほとんどが非常に粗雑で無限に複雑であるという理由だけで、それらは十分ではないことが判明しました.壊れた石を取ります。誰もが複雑だと言います。フラクタルという言葉はフラクタスから造られたもので、ラテン語で石が割られた後のことを指します。ラフで不規則で、バラバラです。では、砕けた石の形をどう表現するか。壊れた金属片の形をどのように説明しますか?驚くべきことに、粗さを定義するために使用された手順は非常に不十分で非常に場当たり的で、物質をまったく捉えていませんでした。一方、フラクタル ジオメトリを使用すると、結果は非常に手付かずのシンプルさになります。これらの形状の性質を説明するのに適切な言語です。

フラクタルとは正確には何ですか?

フラクタルの単一の数学的定義はありません。フラクタルを理解するには、木について考えるのが一番です。ツリーで枝を取ると、サブブランチを含むブランチはツリー全体に非常によく似ていますが、当然より小さいです。より小さな枝を取ると、それは木全体または各枝のようになります。したがって、ツリーは部分に分割することができ、各部分はツリー全体とほぼ同じです。最終的な分析では、フラクタル手法は、自然であるか人工であるかにかかわらず、自己類似の方法で表現された「部分」に分解される「システム」を分析するのに役立ちます。

したがって、ラフネスと自己相似性は密接に関連しています。しかし、粗さは本当に重要ですか?

粗さは、自然と文化のいたるところに見られます。銀河の分布や、海岸線、山、雲、樹木、肺のさまざまな管の形に見られます。また、株価チャート、絵画、音楽、およびいくつかの数学的構造 (よく知られたものと私が父となったもの) にも含まれています。

つまり、科学を多くの現実世界の状況に関連付けました.

ニュートンでもコペルニクスでもなく、ケプラーでもなく、ケプラーをエミュレートできる分野を特定したかったのです。私は非常に抽象的で用途から外されたアイデア、つまりおもちゃと呼ばれるアイデアがツールに作り変えられ、自然の乱雑さの一部を理解するために使用される正確な瞬間を非常に高く評価しています.私はいつも、「純粋な」数学の必要性とギリシア神話の特定の英雄、アンタイオスとの間に密接な関係を見てきました。地球の息子である彼は、母親との接触を回復するために、時々地面に触れなければなりませんでした。そうでなければ、彼の力は弱まりました。彼を絞め殺すために、ヘラクレスは単に彼を地面から離した.

自分は応用科学者だと思いますか?

私は自分自身を数理科学者と呼んでいます。イェール大学の私の椅子の正式名称であり、慎重に選ばれました。意図的に曖昧にしています。別の時代だったら、私は自分自身を自然哲学者と呼んでいたでしょう。私を実験哲学者と呼ぶ人もいますが、この用語には他に受け入れられている意味がなく、私が本質的に哲学者であることは間違いありません。私は物理学者であり、経済学者でもあり、ある種の芸術家でもあります。

あなたは典型的な学者のようには聞こえません.

ほぼすべての大学を、かなり小規模で非常に狭い範囲の事業、つまりさまざまな学部の集合体として説明することができます。私の研究は、科学の分断が非常に有害であるという強い信念に触発されました.

どうして?

驚くべき、そしてがっかりする程度に、科学は自分自身をプロスポーツの特徴に喜んで引き下げました。そこでは、アスリートの価値は、狭義に定義されたイベント内でのみ評価されます。私にとって、これはオリンピックを非常に退屈な形式のプロのエンターテイメントにしています.

そして、あなたは逆に喜びました。

私が最も喜ばしいことは、通常の状況下では有機的なつながりがなく、完全に分離されていたはずのさまざまな側面が、同じリズムでまったく異なる方向に完全に一緒に発展したという事実です.

このアプローチに代償を払いましたか?

かつて、まだ比較的若い頃、私は米国のトップ大学から非常に魅力的なオファーを受け取りましたが、学部長が他のいくつかの分野での私の専門的な活動に懸念を示した後、翌日撤回されました.既存の査読の鳩穴に私をどのように適合させるかを知らなかったので、その大学は私を雇う方法を見つけませんでした。経済学で働いていたとき、私は自分の研究論文で、私の方法が一般的な哲学の一部であり、不規則性とカオスへの特定のアプローチの一部であり、物理学でも重要であることを明らかにすることが許されることを望んでいました.常に、審判は私にこれらの陳述を削除するように求めました.その後、私は乱気流の研究を続け、編集者は彼らが「疑わしい哲学」として軽蔑したものを切り取り、より多くの公式と操作の詳細を示すように強制しました.いずれの場合も、私は現場の技術者のふりをしていました.

どのようにして経済学に興味を持ちましたか?

その背景は、個人所得の分配の法則という古代のトピックに関して私が以前に行ったいくつかの研究にあります。 Hendrik S. Houthakker が指揮するハーバードのセミナーで講演するよう招待されました。 「ハンクス」のオフィスに入ると、その日が私の人生で最も記憶に残る日になったという驚きがありました。彼の黒板に描かれた独特の図は、私が講義で描こうとしていたものとほとんど同じに見えました!個人の収入について私が発見したばかりの何かがすでに展示されているのはどうしてですか? 「何をおっしゃっているのかさっぱりわかりません。この図は綿の価格に関するものです。」彼は私が到着する前に学生と一緒に勉強していて、黒板はまだ消されていませんでした.

図が似ているのはなぜですか?

すべての価格チャートは似ています。もちろん、上がる人もいれば下がる人もいます。しかし、毎日、毎月、毎年、全体的な外観に大きな違いはありません。日付と価格マーカーを取り除くと、どれがどれであるかわかりません.それらはすべて同じように揺れています。しかし、それはまさに綿花データで確認できるもの、つまりフラクタル パターンです。ここでは、カリフラワーの小花などの形状に対して、フラクタルの拡大縮小は行われていません。むしろ、価格の変化という別の種類のパターンに適用されています。金融の心臓部はフラクタルです。したがって、すべてが一周します。 Houthakker のコットン チャートが私の収入チャートと似ていたのは偶然ではありませんでした。数学は同じでした。

異なるアイデアを視覚的に結び付けました。

それは私の科学的人生の物語です:私が探すとき、私は絵を見て、見て、見て、そして遊んでいます。写真を一目見ることは、科学機器を読むようなものです。 1つでは決して十分ではありません。私のドイツ生まれの友人で、偉大な生物学者であり哲学者でもある彼は、科学の進歩は可能な限り写真を排除することにあると理論化するまでに至りました。数学は完全に絵を排除していたので完璧でした…小学校の教科書からさえ。写真を元に戻しました。これは私の同僚のほとんどから非常に敵対的な態度で受け取られました。それ以来、写真への反対は弱まりました。その理由は、写真が非常に実り多いものであり、人間が絶え間なく変化しているためです.

この種のツールには危険がないわけではありませんが?

写真は人を欺くだけでなく、教えることもできます。脳はパターンとして想像するものを強調します。矛盾する情報は無視します。人間の本性は、世界の秩序とヒエラルキーを見たいと切望しています。見つからないところから発明します。

この種の考え方が一般的ではないのはなぜですか?

写真は科学において過小評価されています。彼らは信頼されていません。これは、フランスの数学者ラグランジュとラプラスの 200 年にわたる遺産の一部です。ずさんな図は疑わしいものでした。彼らの動機は、部分的には技術的なものだったと私は信じています。しかし、私たちが生きているうちに、コンピューターがすべてを変えてしまいました.

一般の人々の間では、あなたはいくつかのことで最もよく知られています あなたの作品から生まれた美しいフラクタル画像

数学は、美しい形の不当に効果的な情報源です。彼らは私たちにアーティストと彼ら自身の条件で競争する特権を与えてくれます.それは、創造の偉大な画家によるものと同等ではない可能性のある形を作成することです.彼らは初心者であり、その分野の専門家ではありません.私たちは絵を描くことを学んでいます。コンピューター アートのレンブラントやピカソは、まだ姿を現していません。しかし、私たちがすでに見ていることは非常に心強いものであり、おそらく公式による芸術が新しい形の芸術の始まりである可能性があります.

ブノワの身体フラクタルクイズ

人体はフラクタルでいっぱいです。それらのいくつかを引き出しました。どのフラクタル形状が体のどの部分に合うか推測できますか?

芸術は数学をセクシーにできますか?

私の友人の多くは、フラクタル幾何学の素晴らしい点の 1 つは、妻との関係が改善されたことだとコメントしています。長い間、彼らは妻たちに、自分たちがしていることは非常に美しいものであり、幻想的で美しい定理、古い定理の幻想的で美しい証明、または何かについての幻想的で美しい考え方を見つけたと言い続けていました.そして、彼らの妻は「はい、親愛なる」と言ってうなずいていました。その後、同じ夫が私の物や彼らの物のために写真を持って戻ってきて、私のような考え方を使用して、妻に「ほら、私は美しさについて話してきました…」と言いました。

フラクタル アートが特別な理由は?

最もミニマルなアーティストのアートでも、受け取った人が正確に再現できるように、手紙で正確に説明するようにしてください。そのためには、非常に長い言葉での説明が必要になります。しかし、フラクタル ドラゴンを生成する方程式は 1 行の長さであり、適切な知的コンピューティング機器を備えた人に与えれば、正確に再現することができます。したがって、このアートはすべての中で最もミニマルです。

数学と芸術がこのように相互作用するのは珍しいことですか?

数学者は、他のすべての科学者とは異なり、実際には他のすべての人間とは異なります。数学はあいまいさを許容しないように訓練するためです。それは要件です。しかし、私たちは、論争の的になっているが古いテーマの新しい形を扱います。それは、数学的な概念のすべてのグラフィカルな表現は芸術の一形態であり、画家の用語を借りて「最小限の芸術」と呼ぶことができる場合、最も単純な場合に最適です。 」 M.C.を連想させるものはありますか?エッシャー?エッシャーは、1897 年の Fricke &Klein の双曲的なタイリングから着想を得たという長所を持っていたからです。フラクタルな「新しい幾何学的芸術」は、グランド マスターの絵画やボザール様式の建築との驚くべき類似性を示しています。フラクタル アートは、なじみのないものではないため、容易に受け入れられる可能性があります。

アートとのつながりがこれほど強いのなら、アーティスト自身があなたの作品に注目したに違いありません。

非常に多くのアーティストがフラクタルの性質の理解を表現するための語彙を持っていませんでしたが、そのような理解は彼らの作品にはっきりと表れています.

いくつか例を挙げていただけますか?

厳密なフラクタル音楽の流派がいくつかあります。 [アメリカの作曲家チャールズ] ウオリネンはフラクタル テーマを作品に非常に強く使用していますが、フラクタル音楽自体を作曲しているわけではありません。 [ハンガリーの作曲家] ジェルジ・リゲティともとても仲良しです。彼は、どの言語でも説明できない音楽に存在する特定の構造についての感覚を持っていると言いました。彼は多かれ少なかれ模範によって学生にそれを教えなければならないでしょう。そしてフラクタルに関する本を初めて見たとき、彼はこの構造が単なるフラクタル構造であり、彼はそれに非常に影響を受けていることに気付きました。彼は、私の写真を見るまで、音楽の重要な側面を理解していなかったと打ち明けました。音楽学校は、音楽とノイズを区別する方法を教えたことはありません。ウォリネンもリゲティも私のところに来て、音楽がどんなものかやっと理解できたと言いました。なぜなら、彼らは幼い頃に、細部がむき出しすぎる曲もあれば、詳細が多すぎる曲もあると教えられたからです。小さなディテール、中程度のディテール、大きなディテールの適切なパターンが必要でした。モーツァルトのソナタを聴けばよくわかります。それはバラバラにされ、何かが常に変化します。そして、その基本的なアイデアは、音楽が受け入れられるために不可欠です。

外の音楽は?

ロシアの画家、ワシリー カンディンスキーが約 3 フィート四方の紙に取り組んでいる様子が撮影されました。彼は全体にスラッシュを付け始め、次に短いスラッシュを追加しました。映画が止まったとき、彼はもっと短いスラッシュをたくさん描いていて、私がカンディンスキーの絵を見たときの感覚を裏付けていた。主にイタリアで活動したフランスの画家クロード・ロランは、現実的であると主張する風景画を描きましたが、実際には非常に単純化されており、フラクタル用語で簡単に解釈できます。ジョセフ・ターナーの海で燃える船の並外れた野生のイメージは、ユークリッドとフラクタルの形状を完全に組み合わせています。ウジェーヌ・ドラクロワは、彼の「若い画家へのアドバイス」の中で、フラクタル性を直感的に理解していることを示しましたが、当時は誰もフォローアップできませんでした。科学者が見逃していた現象や、画家や写真家が実装したものの形式化されたことのない現象をまとめる役割を果たしたことを非常に光栄に思います.

特にフラクタルがアーティストの共感を呼んだのはなぜですか?

キリスト以前の 6 世紀には、美の概念が非常に要約されていました。何よりもまず、美とは部分と全体のバランスを意味するということです。熟練したアーティストは、あらゆるサイズの渦の混合のように、バランスが取れているように見える配置を見つけなければなりません。それは、あらゆるサイズの要素が自然な、つまりフラクタルな方法で分布していることを意味するのではないでしょうか?パリのオペラ座は巨大な建物であるにもかかわらず、人間のスケールではないと言う人は誰も聞いたことがありません。なぜ、その感情を呼び起こさないのでしょうか。建築家のシャルル・ガルニエは、彼のデザインがあらゆる規模の特徴を確実に取り入れているためです.

芸術と共鳴する数学の他の例は?

ユークリッドの最初の翻訳はフィレンツェ語でした。言い換えれば、イタリア語で。イタリアで最初にユークリッドを説明したのは誰?数学者ではなく、建築家と画家です。 1300 年頃のジョットのような画家たちは、遠近法を表現する方法を探していました。彼らは失敗しました。その後、ユークリッドが知られるようになり、遠近法が定着するまで。ピエール デッラ フランチェスカの 1500 年頃の作品では、遠近法が非常に強力で圧倒されているため、絵の中に空間と物体が分離されていることに初めて気づきました。多くの人々は、この絵画の影響が科学に非常に大きかったと信じています。その科学自体も基準点とそこで起こっている出来事を分離することができます.

では、芸術と科学の間には双方向の道があるのでしょうか?

芸術と科学を分けたり、それぞれの活動をコミュニケーションのない部分に分けたりするのは間違っていると思います。 [物理学者のリチャード] ファインマンが亡くなる少し前に素晴らしい訪問をしましたが、そのことだけを話しました。そして彼は、あなたがこれらの用語で表現していないものはすべて不完全で理解できないという考えを非常に強調していました.

あなた自身はどうですか?自分の作品を芸術と見なしましたか?

私は毎日数学と芸術を混ぜています。ドイツ語が kunst [art] を自由に使用することにそれほど消極的でない場合、このオペラ愛好家は自分の人生の努力を Gesamtkunstwerk [すべてを包含する芸術形式] と表現するでしょう。

あなたはフラクタルのアイデアに強く共感しましたね。

今日、フラクタル幾何学が組織化されるまで、私の人生はフラクタル軌道をたどったと言うかもしれません。思春期の頃から私を駆り立ててきた、生き残り、輝きたいという野生の野望について考え続けています。部分的な成功のたびに、古い期待や古い空腹が生じました。皮肉なことに、これと同じパターンは、私の研究でしばしば扱ってきたものです。何度も何度も、私は他の科学者に勝る競争上の優位性に恵まれてきましたが、その理由は私が数学者としてより強力だからではなく、私の思考が独自の道を進む方法を持っていたからです.私のライフストーリーの[外観]は、絶えず壊れているように見えます。私は何かのアイデアを追求しているように感じました。多くの分野で非常にぼんやりとした糸を追求しているように感じました。それは、私の訓練と、何も知らない分野に足を踏み入れることで愚か者と呼ばれることへの意欲のおかげでした。中年になって、再び自分の名前を綴らなければならない分野に足を踏み入れ、宇宙の平和を乱していた完全に不愉快な部外者として扱われることによって.

では、この薄暗いスレッドからどのような結論に達しましたか?

数学、科学、美は、心の別々の活動ではありません。それらはまったく同じです。 1 つの大きくて素晴らしいドメインのさまざまなコーナー。

最近公開されたものからのすべての抜粋 Benoit B. Mandelbrot による Fractalist は、Random House, Inc. の一部門である Pantheon の許可を得て抜粋されています。Copyright © 2012 by Benoit Mandelbrot.全著作権所有。この抜粋のいかなる部分も、発行者からの書面による許可なしに複製または転載することはできません。本は購入できます こちら.

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  1. 乱流と流線流
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