角速度とは?
角速度は、角度位置の時間変化率として定義できます。ベクトル量です。その方向は、位置ベクトルとその速度の方向に垂直です。
ベクトル解析から、一定の角速度 ω で点の周りを回転するときの時間におけるベクトル量 A の変化率は、次の式で与えられることがわかっています。
dA/dt =ω×A
したがって、点に対する位置ベクトル r の変化率は、
dr/dt =ω X r
⇒ v =ω X r
ここでの V は、その点に関する速度です。これは、角速度と速度ベクトルの間の標準的な関係です。位置ベクトルと角速度の方向が互いに直交する場合、上式は v =ωr と書くことができます。ここで、この場合、基準点は静止しています。
角速度は、時間における角度の変化率として定義することもできます.
ω =dΦ/dt
相対速度:
物体の相対速度は、同じく動いている別の物体の座標系におけるその物体の速度として定義できます。 B と角度 Φ で移動する物体 B に対する物体 A の相対速度は、次のように記述できます。
vAB =(va2 + vb2 – 2vavbcosΦ)½
剛体の回転における相対角速度。
回転軸を中心とした剛体上の点の角速度は、剛体の角速度と常に等しくなります。しかし、基準点を回転軸から遠ざけると、その剛体上の点の相対角速度は、選択した点に応じて変化します。
たとえば、下の図に示す円盤の回転を見てみましょう。
ここでは、円盤上の 2 つのポイントを検討しました。この 2 点を p と q とします。ここで、ディスクは角速度 ω で回転します。したがって、点 p と q の角速度は次の式で与えられます
vp =ωrp and vq =ωrq ( rp と rq は中心から p と q の距離、それぞれ）
ここで、p に対する点 q の相対角速度を見つける必要があります。したがって、p に対する q の角速度を ωqp と書きます。したがって、ωqp は次の式で与えられます。
ωqp =( vqp の垂直成分 ) / (rq – rp) , (vqp =間の相対速度p と q)
したがって、ωqp =(vq – vp)/(rq – rp)
⇒ ωqp =(ωrq – ωrp)/(rq – rp)
⇒ ωqp =ω
これは、2 点間の相対速度の値です。この値は 2 点間の距離に依存しないため、ωqp =ω はその円盤上の任意の 2 点間の相対角速度になると言えます。
さらに、この分析を使用して、剛体上の 2 点間の相対角速度の値がその物体の回転の角速度に等しいと断言できます。
相対速度は、目的の座標系に対する位置ベクトルの変化率であるとも言えます。
注:ここでは相対速度を単純な形式で取得しましたが、より大きな計算では、相対角速度の式はより複雑になります。
ある角度で移動する 2 つの物体間の相対角速度。
下の図に示すように、2 つの物体 x と y がそれぞれ速度 vx と vy で動いているとします。
ここで、x と y の間の相対速度の垂直成分を見つける必要があります。
2 つの物体を結ぶ線に垂直で、2 つの物体を結ぶ線に平行な速度ベクトルを分解すると、相対速度の垂直成分は次のようになります
vxy丄 =vysinΦ1 + vxsinΦ2
したがって、2 つの物体間の相対角速度は、
ωxy =vxy丄 / rxy
⇒ ωxy =( vysinΦ1 + vxsinΦ2) / rxy
注:2 点間の角度の変化率と相対角速度には違いがあります。同じように見えるかもしれませんが、2 点間の角度の変化率は、単純に角速度と相対角速度の差であり、ある点の別の点に対する回転速度を支配します。
結論:
2 点間の相対角速度は、1 点の他の点に対する回転速度です。この値は、それぞれの角速度の差に常に等しいとは限りません。剛体の 2 点間の相対角速度は、剛体の角速度に等しくなります。ランダムな角度で移動する 2 つのランダムな物体間の相対速度は、それらの距離と相対的な向きによって異なります。相対角速度を見つけるために、常に相対速度の垂直成分を見つけます。
