積分が計算の重要な部分であり、さまざまな方法を使用して実行されることはわかっています。積分に用いられる方法のうち、部分分数による積分はその方法の 1 つです。これでは、複素数の有理分数が部分分数に変換されます。部分分数は、有理分数を部分分数に分解するための式を使用して、より単純な形式になります。次に、統合が実行されます。複素有理分数を使って、部分分数による積分を実行する方法を見てみましょう。
部分分数の定義
分数の形式の代数方程式が複雑な場合、分数またはより単純な部分に分割されます。これらの単純な部分は、部分分数と呼ばれます。たとえば、6/8 は 1/4+1/2 に分割できます。同様に、複素有理分数をより単純な分数に分割できます。
2/(x+1) – 1/x
追加すると、
2/(x+1) – 1/x =(x-1)/(x2+x).
もしあれば
(x-1)/(x2+x)
これを分解して
(x-1)/(x2+x) =2/(x+1) – 1/x
上記から、部分分数が単純分数に変換されていることがわかります。したがって、この分数を統合するのは簡単です。したがって、部分分数による積分は、
∫[f(x)/g(x)]dx =∫[p(x)/q(x)]dx + ∫[r(x)/s(x)]dx
ここで、f(x)/g(x) =p(x)/q(x) + r(x)/s(x) および
g(x) =q(x).s(x)
有理分数を部分分数に分解する規則
以下は、有理分数を積分しやすい部分分数に分割するために使用できる式です
部分分数はどのような場合に機能しますか?
適切な有理分数の場合、部分分数を直接行うことができます。不適切な有理分数の場合、それを適切な有理分数に分割する必要があります (多項式の長除法を使用して行うことができます)。
部分分数による積分 (メモ).
部分分数による積分は、理解すれば簡単にできます。部分分数による積分過程の例を見てみましょう。
取りましょう、∫[6/(x2-1)]dx
式:x2-1 =(x+1)(x-1)
方程式の数式を使用すると、次のようになります:
∫[6/(x2-1)]dx =∫[6/(x+1)(x-1)]dx
この種の有理式に部分分数の式を使用すると、次のようになります:
6/(x+1)(x-1) =A/(x-1) + B/(x+1)
ここで、A と B の値を、両側で共通の分母を作ることによって見つける必要があります。
6/(x+1)(x-1) =[A/(x-1)][(x+1)/(x+1)] + [B/(x+ 1)][(x-1)/(x-1)]
6/(x+1)(x-1)=[A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)
分母が両側の分母と等しいので、分子も等しくなります。
6 =[A(x+1) + B (x-1)]
解くと、
A =3、B =-3
したがって、次のように記述できます
6/(x+1)(x-1) =3/(x-1) + (-3)/(x+1)
次のように記述できます:
∫[6/(x2-1)]dx =∫[3/(x-1) – 3/(x+1)]dx
解くと、次のようになります:
∫[6/(x2-1)]dx =−3ln(|x+1|)+3ln(|x−1|)+C
部分分数を解くためのヒント
適切な分数がある場合はそれから始めますが、不適切な分数がある場合は、それを分割して適切にする必要があります。
底辺は線形因子に分解する必要があります。
この後、すべての因数の部分分数と指数を書きます。
ここで、方程式全体に底を掛ける必要があります.
底辺にゼロを代入して係数を解きます。
部分分数による積分の解例
Q. ∫xx+23-2xdx
解決策:部分分数の公式を使用して、
I =∫xx+23-2xdx
したがって、
A (3 – 2x)+ B(x + 2) =x
また、以下を取得します。
3 – 2x=0
では、x の値を見つけてみましょう。
3 =2x
したがって、x=32
A (0) + B (32+ 2) =32
計算すると、
B (72) =32 B の値 =37
さらに計算すると、
さて、x + 2 =0 を取ると、x =-2 になります
A (7)+B(0) =-2
今、A =-27
取得、 ∫xx+23-2xdx=-27 × 1x+2 + 37 × 13-2x
これは、∫xx+23-2xdx =∫1x+2 dx + 37∫13-2xdx と書くことができます
x について積分すると、
=-27 log |x + 2|+ 37 × 1-2log|3-2x| + C
これで、
=-27log |x + 2|+3-14 log|3 – 2x| + C
したがって、上記は部分分数の例と積分の解です。
結論
したがって、上記のことから、すべての有理分数を統合するのは容易ではないと結論付けることができます。一部の有理分数は、積分を実行するためにいくつかの公式を使用して部分形式に変換する必要があります。不適切な有理分数を分割して適切な有理分数に変換し、次の手順を実行する必要があります。対照的に、適切な有理分数の場合、それらを部分分数に変換してから積分を行うことができます。