超有限主義は無限を拒否する哲学であり、長い間数学的異端として無視されてきました。しかし、それは数学やそれ以外の分野でも新たな洞察を生み出しています。
ドロン・ザイルバーガーは、すべてのものには終わりが来ると信じている数学者です。私たちが有限な存在であるのと同じように、自然にも境界があり、したがって数にも境界があるということです。窓の外を見ると、他の人が現実を連続的な広がりとして、刻一刻と容赦なく前方に流れていくと見るのに対し、ツァイルベルガーには時を刻む宇宙が見えます。ディスクリートマシンです。彼の周囲の世界の滑らかな動きの中で、彼はパラパラ漫画の微妙なブレを捉えます。
ツァイルベルガーにとって、無限を信じることは神を信じることに似ています。これは私たちの直感を喜ばせ、あらゆる種類の現象を理解するのに役立つ魅力的なアイデアです。しかし問題は、私たちは無限を真に観察することができないので、それが何であるかを正確に言うことができないことです。方程式は黒板から続く線を定義しますが、どこまで続くのでしょうか?証明には思わせぶりな省略記号が散りばめられています。ラトガース大学の長年の教授であり、組合せ論の著名な人物であるツァイルバーガー氏によれば、これらの方程式と証明は「非常に醜く」、誤りであるという。それは「まったくナンセンスです」と彼は言い、自分の主張を主張することに疲れ果てたようなハスキーな声で一音節をハスキーに吐き出しました。
実際問題として、無限大は消去できる、と彼は主張する。 「本当に必要ありません。」数学者は、無限小の限界を完全に切り取るなど、無限を持たない形式の微積分を構築できます。曲線は滑らかに見えるかもしれませんが、細かい粗さは隠されています。コンピューターは、許容される桁数が限られている限り、数学を問題なく処理します。 (ツァイルバーガー氏は論文の共同研究者として「シャロシュ・B・エクハド」と名付けた自分のコンピュータを挙げている。)無限が排除されたことで失われるのは「まったくやる価値のない」数学だけだとツァイルバーガー氏は述べた。
ほとんどの数学者は全く逆のことを言うだろう、まったくのナンセンスを吐き出しているのはツァイルベルガーだ、ということだ。無限が宇宙の説明にとって非常に便利で自然だからというだけでなく、一連の数値 (整数など) を実際の無限のオブジェクトとして扱うことが数学のまさに核心であり、数学の最も基本的なルールと仮定に組み込まれているからです。
少なくとも、数学者は無限を実際の存在として考えたくなくても、数列、図形、その他の数学的オブジェクトには無限に成長する可能性があることを認識しています。 2 本の平行線は理論上は永遠に続くことができます。数直線の末尾には、いつでも別の数値を追加できます。
ツァイルベルガー氏はこれに同意しない。彼にとって重要なのは、原理的に可能かどうかではなく、実際に実現可能かどうかだ。これが意味するのは、実際には、無限大が疑わしいだけでなく、非常に大きな数も同様に疑わしいということです。 「スキューズ数」$latex e^{e^{e^{79}}}$ を考えてみましょう。これは非常に大きな数であり、これを 10 進数形式で書き出すことができた人は誰もいません。では、それについて実際に何が言えるでしょうか?整数ですか？プライムですか？自然界のどこにでもそのような数字を見つけることができるでしょうか?いつかそれを書き留めることはできますか？おそらく、それはまったく数字ではありません。
これにより、終点は正確にどこにあるのかなど、明らかな疑問が生じます。ツァイルベルガーは言えない。誰もできません。これが、超有限主義として知られる彼の哲学を多くの人が否定する第一の理由です。 「超有限主義の考えを初めて誰かに売り込むと、『最大の数があると思う』とかなんとか、インチキのように聞こえるでしょう」とコロンビア大学の哲学者ジャスティン・クラーク・ドアンは言う。
「多くの数学者は、提案全体がばかばかしいと考えています」とノートルダム大学の集合論者ジョエル・デイビッド・ハムキンスは言う。超有限主義は数学学会の夕食会での礼儀正しい話ではありません。それに取り組んでいる人はほとんどいません（極数と言えるかもしれません）。ツァイルベルガーのように、自分の意見を虚空に向かって叫ぶことを厭わないカードを持つ会員は、まだ少数だ。それは、超有限主義が逆張りだからというだけでなく、根本的に小さな数学、つまり特定の重要な質問をもはや問うことができない数学を提唱しているからです。
しかし、それはハムキンスや他の人々に多くのことを考える機会を与えています。ある角度から見ると、超有限主義はより現実的な数学として見ることができます。人間が作成し検証できるものの限界をよりよく反映しているのは数学です。それは物理的な宇宙をよりよく反映しているかもしれません。私たちは空間と時間を永遠に拡張し分割可能であると考えがちかもしれませんが、超有限主義者は、これらは科学がますます疑問を投げかけている仮定であると主張するでしょう。ツァイルベルガーが言うのと同じように、科学は神の玄関口に疑問をもたらしたのと同じです。
「私たちが描いている世界は、徹底的に正直である必要がある」とクラーク＝ドアン氏は語った。同氏は2025年4月、超有限主義のアイデアを探求するために専門家の異例の集まりを招集した。 「有限の数しか存在しない可能性がある場合は、最初から無限に多くのものが存在すると仮定するだけではない数学を使用する方がよいでしょう。」彼にとって、「それは確かに数学哲学のメニューの一部であるべきだと思われます。」
しかし、数学者がこの問題を真剣に受け止めるためには、まず超有限主義者たちが自分たちが何について話しているのかについて合意する必要がある。それは、ハムキンズ氏が言うように、「大げさ」に聞こえる議論を公式の理論に変えるためである。数学は形式的なシステムと共通の枠組みに染まっています。一方、超有限主義にはそのような構造がありません。
問題に少しずつ取り組むことは一つのことです。数学そのものの論理的基礎を書き直すことはまったく別のことです。 「超有限主義が却下された理由は、人々がそれに反対する十分な議論を持っているからではないと思います」とクラーク＝ドアン氏は語った。 「気持ちとしては、まあ、絶望的だということです。」
これは、一部の超有限主義者が依然として対処しようとしている問題です。
一方、ツァイルベルガー氏は、世界がそうであるように、本質的に厄介な数学を支持して数学的理想を放棄する用意がある。彼は基礎理論の人ではなく、意見の人であり、その意見のうち 195 を彼のウェブサイトにリストしています。 「この最高の仕事をしなければ、終身在職権教授にはなれない」と彼は言った。しかし、いつか数学者たちは過去を振り返って、神や迷信に疑問を抱いた昔の人々と同じように、この変人たちが正しかったことが分かるだろうと彼は付け加えた。 「幸いなことに、異端者はもはや火刑に処されません。」
反体制派の数学
アリストテレスは、無限を、向かって進むことはできるが決して到達できないものと考えていました。 「分裂のプロセスが決して終わらないという事実が、この活動が潜在的に存在することを保証している」と彼は書いた。 「しかし、無限が別に存在するというわけではありません。」何千年もの間、この無限の「潜在的な」バージョンが最高の地位を占めていました。
しかし 1800 年代後半、ゲオルク カンターと他の数学者は、無限が実際に存在し得ることを示しました。カントールのアプローチは、整数などの一連の数値を完全な無限集合として扱うことでした。このアプローチは、現在でも数学者が使用しているツェルメロ・フランケル集合論として知られる数学の基礎理論の作成に不可欠なものとなります。彼は、無限が現実であることを示しました。 オブジェクト。さらに、さまざまなサイズがあります。これらの異なる無限を操作し比較することによって、数学者は、一見すると無限とはまったく関係がないように見える驚くべき真実を証明することができます。高次の無限の領域に多くの時間を費やす数学者はほとんどいないが、「現在では、ほぼすべての数学者が現実主義者です」とハムキンズ氏は言う。デフォルトでは無限大が想定されます。
しかし、この現代数学の基礎は、最初に提案されて以来、激しい議論を引き起こしました。理由の 1 つは、無限に関する中心的な仮定を受け入れると、奇妙なパラドックスを構築できるためです。たとえば、ボールを 5 つの部分に切り分け、それらを使用して、それぞれ最初のボールと同じ体積を持つ 5 つの新しいボールを作成することが可能になります。
もう 1 つの反論は、より哲学的なものです。カントールの啓示から数十年後、一部の数学者は、数学的構造の存在を単純に主張することはできず、精神的な構築のプロセスを通じてその存在を証明しなければならないと主張しました。たとえば、この「直観主義者」の哲学では、円周率は、無限に繰り返されない 10 進展開を伴う数値というよりは、数字を生成するためのアルゴリズム プロセスを表す記号です。
しかし、直観主義は、与えられた精神的構造が理論上可能であることのみを要求します。 それは実際のことを禁止します。 無限ですが可能性を許可します 無限大。一部の数学者はまだこれに満足していませんでした。彼らは、スキューズの数や他の価値観があまりにも大きく、書き留めることができないことに悩み続けました。そこで彼らは、直観主義的な考えを極限まで突き詰めようとしました。
オックスフォード大学の哲学者オフラ・マジドール氏は、「この見方にどの数字が存在するかを考えているなら、それは理論的に構築するだけでなく、実際に構築できる数字でなければなりません」と述べています。
こうした実際的な制約を念頭に置いた直観主義の新しいバージョンは、1960 年代から 70 年代にかけて、ソ連の数学者で詩人のアレクサンダー エセーニン ヴォルピンの作品によって具体化されました。
エセーニン＝ヴォルパンは何よりもまず政治的反体制派として知られていた。抗議活動を主導し、反ソ連のレトリックや詩を広めたために、彼は施設に入れられた。 「彼は『私は人間だ。私には基本的権利がある』と言いました」と、1970年代にソ連がエセーニン＝ヴォルピンを強制移住させた後、エセーニン＝ヴォルピンを自宅に迎え入れたニューヨーク市立大学の論理学者、ロヒット・パリクは語った。エセーニン＝ヴォルパンは奇妙な家客で、一晩中パリクの屋根裏部屋を歩き回り、妻の愛する陶磁器を灰皿として使いながら、潜在的な無限だけでなく非常に大きな数、つまり人の頭の中で組み立てることができない数さえも拒否する奇妙な理論に取り組んでいました。
アレクサンダー エセーニン ヴォルピンは、ソビエトの反体制派、数学者、詩人でしたが、人権活動のために何度も投獄されました。
アイリーン・シーザー
論理学者のハーヴェイ・フリードマンはかつてエセーニン＝ヴォルパンに、数値が大きすぎる基準を正確に示すよう依頼した。 2n のような式を指定すると、 、n の値は何ですか 数字が止まるのか？ 20という数字は本当に数字だったのでしょうか？ 2100 までの 21、22 などはどうでしょうか?エセーニン＝ヴォルピンはそれぞれの番号に順番に答えた。はい、21 個存在しました。はい、22人が参加しました。しかし、そのたびに、彼は返事を待つ時間が長くなりました。会話はすぐに果てしなく長くなりました。
エセーニン＝ヴォルパンは自分の主張を主張した。後にパリクらが述べたように、数の限界は、時間など、その存在を証明するために必要な限られたリソースに根ざしています。または、利用可能なコンピューターのメモリ、または証明の物理的な長さ。 「ほとんどの超有限主義者は、有限と無限の区別は本質的に曖昧であるという見解を持っています」とクラーク ドアン氏は述べています。
Esenin-Volpin の場合、条件は n に当てはまる可能性があります。 、およびnの場合 + 1 — そうでなくなるまで。子どもはどんどん成長していきますが、いつかは子どもではなくなります。特定のエンドポイントを指定する必要はありません。重要なことは、終わりはどこかにあるということです。
エセーニン＝ヴォルパンの研究は、ある意味、曖昧さを許容できる新しい種類の数学を求めるものでした。超有限主義者たちはその後、彼の中断したところから再開し、彼の曖昧で無意味な境界線にある数学を確実なものにする方法を模索しています。
危機管理
1976年のある朝、プリンストン大学の数学者エドワード・ネルソンは目覚め、信仰の危機を経験しました。 「無限の数の世界が実際に存在すると信じている私を傲慢だと断罪する人の圧倒的な存在を瞬間的に感じました」と彼は数十年後に振り返り、「私はベビーベッドの中で指折り数える幼児のような状態になりました。」
数学には基本的なルール、つまり公理があります。ネルソンは、単純な算術演算を可能にする基本的な公理にも、無限に関する仮定が含まれていることを知っていました。たとえば、数値に 1 を加算して新しい数値をいつでも作成できることなどです。彼は最初からやり直して、無限を完全に禁止する新しいルールを構築したいと考えていました。これらの新しい公理だけから数学を構築できるとしたら、数学はどのようなものになるでしょうか?
著しく弱いことが判明した。ネルソンは、無限を追放するさまざまな公理セットを研究し、それらのいずれかを使用して基本的な算術を実行しようとすると、 次のステートメントのような単純なことを証明することが不可能になることを発見しました。a + b 常に b に等しい + a 。べき乗などの基本的な演算は、常に可能であるとは限りません。数値 100 や数値 1,000 は構築できるかもしれませんが、数値 1001,000 は構築できません。数学者のツール キットの中で最も強力なテクニックの 1 つである、帰納法として知られる方法です。これは、ステートメントが 1 つの数値について真であることを証明できれば、そのステートメントはすべての数値についても真であるはずであるというものですが、完全に失われています。
ネルソンにとって、この弱さは真実の輝きを表していました。彼は、数学者が当然だと思っていたより強力な算術公理 (無限を許容する「ペアノ公理」) には根本的な欠陥があり、矛盾を引き起こす可能性があることを示したかったのです。 「私たちが数学で確立していると考えているものの多くは覆されるだろうと私は信じています」と彼はかつて言いました。
しかしネルソンは彼らを倒すことができなかった。 2003 年、彼は自分の弱い公理を使ってペアノの公理の矛盾を見つけたと発表しましたが、その派手な結果はすぐに誤りであることが暴かれました。
ネルソンのより限定された算術、およびパリクらによって開発された非標準算術の関連形式は、研究者がアルゴリズムが何を効率的に証明できるか、何が証明できないかを理解したいと考えているコンピュータの領域で役立つことが証明されました。数学に対するこれらの超有限主義的アプローチは、計算効率の言語に翻訳され、アルゴリズムの能力の限界を調査するために使用されてきました。
ネルソンにとって、数学とは「あなたが信じることを選択した真実」、つまりあなたが正しいと判断した公理がすべてです。これは、デフォルトの公理を信じることを選択した場合でも当てはまります。もちろん、超有限主義者は安定した基盤を持たない異端者として、証明すべきことがまだたくさんあります。
忍耐強く練習する
2025 年 4 月、コロンビア大学で無限の廃止に関する会議が開催されるため、多彩なスタッフがニューヨーク市に集まりました。彼らには、物理学者、哲学者、論理学者、数学者が含まれていました。ツァイルベルガーのようなカードを扱う超有限主義者もいました。あらゆる種類の無限を信じる集合論者。そして単に好奇心が強いだけです。その結果、会議の主催者であるクラーク・ドアン氏は「全員にとって忍耐の訓練となった」と振り返った。哲学者は一般に、教室で激しく意見の相違があり、その後ビールを飲みながら集まることに慣れている。数学者はそうではありません。通常、彼らの意見が異なる場合、それは誰かが大失敗をしたことを意味します。
明らかだったのは、超有限主義の普遍理論に向けた進歩が止まっているということだ。その理由の一つは、この運動に対する明確な動機や、その根底にある論理がどうあるべきかを決定するための特異なアプローチがないことである。したがって、ネルソンのように基本ルールにこだわるのは、おそらく正しいアプローチではないでしょう。 「それは無駄だと思います」とパリクは私に言いました。 「形式主義を双眼鏡として使用し、自分が見ているものにもっと注意を払わなければなりません。双眼鏡自体を研究し始めたら、ゲームに負けてしまいます。」
ツァイルベルガーは、たとえ無限が生き生きと存在する世界でそうしなければならないとしても、（おそらく歪んだ）鏡を通して物事を見ることを喜んでいます。彼は、無限を持たない数学をゼロから再構築することを望んでいません。彼は代わりにトップダウンで仕事をすることができます。たとえば、実数と関数がどのように動作するかを扱う実数解析を考えてみましょう。ツァイルベルガー氏は、これを離散解析（連続的なオブジェクトではなく個別のオブジェクトの動作を研究する）の「退化ケース」と呼んでいます。現実の連続する風景を、ごくわずかではあるが、無限ではない価値の違いによって区切られた数字の「個別のネックレス」に置き換えることができる、と彼は言います。これを使用して、微積分方程式と微分方程式 (現在は「差分」方程式と呼ばれています) のルールを書き換えて、微妙な無限の使用も削除することができます。困難な状況であることは彼も認めているが、特にコンピュータの助けがあれば実行可能だという。そして、その結果は古典的な数学よりも洗練されていないように見えるかもしれませんが、それは彼が本当に信じている物理的現実を反映しているため、より美しいと彼は言います。
ブリュッセル自由大学の数学哲学者ジャン・ポール・ヴァン・ベンデゲムにとって、超有限主義への旅は数字ではなく、小学校の幾何学から始まりました。彼は数学の先生が黒板に無限に伸びると思われる線を引くのを見ていた。 「どこへ？」彼は尋ねたことを思い出した。右側が一方向に無限に進み、左側が別の方向に無限に進んだ場合、それらは同じ場所に到着しますか?それとも、さまざまな無限がボードの端に潜んでいたのでしょうか?先生は彼に、質問するのをやめるように言った。
Jean-Paul van Bendegem は、点と曲線に幅がある有限バージョンの幾何学を開発しました。
インゲ キネット
ヴァン・ベンデゲムは、後に超有限論論理の第一人者となる学者となり、線または曲線が幅を持ち、有限かつ有限で割り切れる幾何学を考慮することで、これらの懸念に対処しました。信じられないほど小さいですが、無限に分割できるわけではありません。これらの点、線、曲線を使用して構築する構造も有限でなければならず、古典的な幾何学の離散的な類似物を提供します。これらのツールは依然として限定的ですが、超有限主義のためだけではなく、有限の物理学を発展させるには物の形状を分類することが重要であるため、過去数十年にわたって深く研究されてきました。
私たちは物理宇宙が無限に広大で無限に分割可能であるとよく想像しますが、物理学者自身がこの仮定に疑問を抱いています。プランク スケール (宇宙のピクセル サイズとも呼ばれる) などの基本的な制限があり、それを超えると距離という概念そのものが意味を失います。そして、物理学者の方程式に無限が現れると、それは問題となる可能性があり、彼らは避けたいものです。量子力学の有限論的モデルを実験したジョンズ・ホプキンス大学の物理学者ショーン・キャロル氏は、「際限なく成長し、それを繰り返す宇宙で何が起こるかを予測することなど、非常に難しいことが判明した」と語る。 「ほとんどの宇宙論者がこの問題に対処する方法は、問題が存在しないふりをすることです。」
ドイツのブレーメンにあるコンストラクター大学とジュネーブ大学の量子物理学者であるニコラス・ギシン氏にとって、直観主義数学は、物理学における核心的な謎の 1 つについて考える方法を提供します。それは、大規模なスケールでは、物理システムの挙動は決定論的で予測可能です。しかし、量子の領域ではランダム性が支配します。粒子には複数の量子状態があり、予測できない方法でそのうちの 1 つに崩壊します。物理学者は過去 1 世紀にわたり、この不一致の原因を理解しようと努めてきました。
Nicolas Gisin は、物理学における最大の謎の 1 つは、無限に関する誤った仮定に起因する可能性があると提案しました。
キャロル・パロディ
ギシン氏は、それは誤った仮定によるものだと主張する。研究者らは、宇宙の始まりから、粒子の量子状態は無限の桁数の実数によって無限の精度で定義できると暗黙のうちに信じている、と彼は言う。しかし、ギシン氏によれば、実数を使うのは間違いだという。代わりに直観主義的な数学を使用すると、決定論は非現実的に完璧な情報を持っていることの産物にすぎないことが明らかになります。物理システムの大規模で決定論的な動作は当然不正確で予測不可能になり、古典領域と量子領域の間の溝が解消されます。ギシンの理論は、ビッグバンのような現象に関するパラドックスを解決するのに役立つ可能性があるため、他の物理学者にとっても興味深いことが判明しました。
しかし、彼の作品は、潜在的に到達できるものというアリストテレス的な意味での、潜在的な無限を廃止するものではないことに注意することが重要です。直観主義の数学者が時間と労力をかけてより大きな、またはより正確な数値を計算するという伝統の中で、ギシンはより多くの情報を作成することを可能にします。いつか、宇宙には完璧で無限に正確な情報が含まれるようになるでしょう。でもそんなことは関係ない、そんな日は決して来ないからだ。 「ここでの潜在的な無限とは、実際には無限の時間を待つことであり、それは現実とは何の関係もありません」とギシン氏は言う。重要なことは、無限大がデフォルトの想定ではなくなったことです。
これらの物理学に基づいた無限への挑戦は、超有限主義の数学者を喜ばせる傾向があり、彼らはそれを自分たちの数学が現実をより正確に記述している証拠であると主張します。 2025 年の会議で、宇宙は本当に無限なのか、それとも彼の言葉を借りれば「単に非常に大きいだけ」なのかについてのキャロルの講演により、彼はコロンビア大学のホールでちょっとした有名人になりました。しかし、立証責任は無限の疑いを持つ人々に残されている、と彼は警告する。物理宇宙が実際に有限であることを何らかの方法で実験的に証明できれば、高次の無限を最も熱心に支持する人たちでさえ、少し立ち止まって熟考するでしょう。実際に無限の塔が存在することを考えると、集合論の一貫性についてさえ疑問に思うかもしれません。とにかく、それは時々行うのが健康的なことです。
たとえこれが起こったとしても、無限を研究し、使用する集合論者は、動じることなく研究を続ける権利を依然として有するだろう。おそらく、ここが物理学と数学が互いに分岐しなければならない場所であると言えるだろう。数学と物理学が同じものを記述する必要はありません (ただし、多くの人はそう信じています)。無限は、より大きなプラトン的な意味で存続する可能性があります。
しかし、これらの実験が反対のこと、つまり自然界には無限が存在するということを証明した場合、超有限主義者が交渉する余地ははるかに少なくなるでしょう。 「実際の物理世界に無限があるとしたら、超有限主義者になるのは難しいでしょう」とキャロルは言いました。
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「人々はそれを理解せずに無視してしまうので、超有限主義者には申し訳ないと思う」とキャロルは後に私に語った。 「しかしその一方で、超有限主義者は自社の製品を十分にマーケティングできていません。」
数学の分野では、より優れたマーケティング キャンペーンはおそらく、ネルソンが求めていたような一貫した理論のように見えるでしょう。これは、現代数学の基礎となるような、無限を除外するが有用な数学を実行するのに十分強力な、一連の正式な規則です。
クラーク・ドアン氏は、アイデアには不足はないが、初期のキャリアを賭けてアイデアを開発しようとする大学院生はおそらく不足していると述べた。彼にとって、ニューヨークでの集会は変化の兆しであり、人々はそれをもう一度見てみるのに十分な好奇心を持っており、潜在的な反発をあまり恐れていません。 「人々はこの見解について話しており、その見解を真剣な基盤に置く方法について積極的に考えようとしています」と彼は言いました。
ほとんどの数学者は、こうした環境の外に住んでいます。数学全体を包含する形式的な理論は彼らには関係ありません。彼らは何が機能するか、特定の問題を解決し、証明を構築することに興味を持っています。基本的な質問 — 数字は物理的な現実を超えて存在しますか?数学は発明または発見のプロセスですか? — 数学者は、ある日危機的状況に陥って目覚めたときにのみ、少しうんざりするような気分になることがあります。
しかし、この現役数学者は、同様に集合論者や哲学者の議論を気にしないツァイルベルガーとの共通点を見つけるかもしれない。彼の手法は、数学を一つ一つ分解して何が必要なのかを問う、非情な実践の手法である。おそらく、私たちはあまりにも多くのことを想定し、無限をデフォルトにしすぎ、幻想を信じすぎたのだと彼は言います。そこからある程度の満足を得て、それを真実のオプションのメニューに追加するには、自分が超有限主義者であると宣言する必要はありません。
ツァイルベルガーは、2010 年の BBC ドキュメンタリーで自分自身の言葉を引用するのが好きですが、これが彼の名声の 15 秒間だと彼は考えています。 「無限は存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。神は存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。」と彼は言いました。 「しかし数学においては、無限も神も存在すべきではない。」彼は、空を見上げて無限の広がりの美しさを把握することができなかったツァイルベルガーを残念に思うと述べた、有力な集合理論家であり、より高い無限の最も勇敢な探検家の一人であるヒュー・ウッディンに非同期で返信していた。 「彼が生き続けるためには無限のアヘン剤が必要だということを残念に思います」とツァイルベルガー氏は語った。 「木々や地面には美しいものがたくさんあります。フィクションに目を向ける必要はありません。」
「ですから、私たちはお互いに申し訳ないと思っています」と彼は言った。相手が自分が選んだ信仰の世界に閉じ込められていると感じてしまうのは残念です。
