あなたがライフガードで、誰かが難を逃れようとしているのを見たと想像してみてください。責任あるライフガードであるため、できるだけ早く彼らに連絡したいと考えています。泳いでいるときはかなり速いですが、砂の上を走るとさらに速くなります。では、スイマーに到達するための最速のルートは何ですか?そのようには聞こえないかもしれませんが、有名な物理学者のリチャード・ファインマンによって展開されたこのパズルは、実際には光の振る舞いのアナロジーです。最初に読んだのは 10 年以上前ですが、光がどのように移動するかについての教訓は心に残っています。
最初は、直線 (経路 A) が最速の経路であるかどうかを検討するかもしれないと考えました。これは確かに最短ですが、最速ではありません。ビーチに沿ってさらに走ると、水中よりも陸上でより多くの距離をカバーできるため、もっとうまくやることができます.陸上の方が速いので、短時間で到着できます。
おそらくオプションBが最も速いでしょうか？すべての選択肢の中で、この道は最も泳ぎが少ないです。しかし、それも正しくありません。今は速く動いていますが、このルートは長すぎて遅くなります。
ご覧のとおり、ここにはトレードオフがあります。ファインマンは次のように述べています。水量の少ない経路には土地が多すぎます。最短時間の道は、両者の妥協です。 」 最も速いルートは C です。これは、A と B の間のどこかにある非常に特殊なパスです。
微積分の学生は、この種の最適化問題を解くことを学びます。 しかし、ライフガードはどのようにそれを行うのですか? ライフガードは導関数を計算し、頭の中で方程式を解いていますか?疑わしい。バスケットボール選手がフリースローを行うために発射体の動きの法則を理解する必要がないのと同じように、彼らはトレーニングと純粋な本能の組み合わせを使用していると思います。どういうわけか、明示的に計算を行わなくても、かなりトリッキーな数学の問題の解を近似することができます。 (海流などの変数が追加されるため、実際に解決するのはさらに困難です。)
これが光と何の関係があるのか疑問に思われるかもしれません。 1657 年、フランスの弁護士で数学者のピエール ド フェルマー (フェルマーの最終定理の背後にいる人物) は、光がある場所から別の場所に移動するとき、常に最短時間の経路をたどることを発見しました。奇妙な意味は、ライフガードができるだけ早くどこかに行く必要がある場合、彼女は光が何をするかを自問する必要があるということです.
これを理解する方法は次のとおりです。たとえば、レーザー ポインターを水が入ったボウルに向けて照射するとします。ライトは現在、ライフガードと同様の状況にあります。空気中を移動しているときは信じられないほど速く動きますが、水中にいる間は水の分子にぶつかり続けるため速度が低下します。そして、あなたは光が何をするか分かりますか？ライフガードが水に着いたときの道筋と同じように曲がります。
実際、スネルの法則と呼ばれる式があり、光が通過する材料と表面に当たる角度に応じて、光が曲がる正確な角度を正確に予測します。この式は機能しますが、(いわば) 特に明快ではありません。正しい答えは得られますが、理由はわかりません なぜ 光が曲がります。
しかし、フェルマーはこれを別の方法で見ていました。彼は、光が移動するとき、可能なすべての異なるルートから、特定のエンドポイントで可能な限り最速のパスを選択するとどうなるかを尋ねました. それはどういう意味ですか? そして、彼がこの推測の結果を導き出したとき、彼は古き良きスネルの法則が飛び出すことを発見しました.フェルマーの推測は完全に当てはまります * これは、光の特異な振る舞いに対する理にかなった説明であり、その狂気への隠された方法です。
そして、それは光がどのように曲がるかだけではありません。フェルマーの最小時間の原理は、光が鏡で対称的に跳ね返る理由、メガネのレンズがそのような形状をしている理由、パラボラ アンテナが放物線である理由も説明しています。 (これらの優れたアプリケーションについては、ファインマン自身からテキストまたはビデオで学ぶことができます。)
フェルマーの考えが少し奇妙に聞こえるかもしれませんが、それはあなただけではありません。フェルマーの時代の主要な光の専門家の 1 人であるクロード クレルセリエは、次のように書いています。
フェルマーの原理が原因であるはずがありません。そうでなければ、知識を自然に帰することになります。[自然] は、予知も選択もなしに、必要な決定によって行動します。
フェルマーのアイデアについて皆を悩ませたのは、それが代理店を必要とするように思われたということです.光はどのように選択できますか 通り？どうして知ることができるのか どのパスが最速でしたか?どういうわけか他のパスを嗅ぎつけますか?フェルマーはその時それを知りませんでしたが、答えはイエスです。 Feynman は次のように説明しています。
最小時間の原則は、自然の仕組みに関するまったく異なる哲学的原則です。それは因果関係だと言う代わりに、私たちがあることをすると別のことが起こる、などと言うのではなく、次のように言っています:私たちは状況を設定し、光はどちらが最短か極端かを決定し、選択しますその道。しかし、それは何をしますか、どのように見つけますか？近くの小道のにおいをかぎ、それらを相互にチェックしますか?答えは、はい、ある意味ではそうです。
「量子消しゴム」のようなデモンストレーションにおける光の奇妙な量子挙動のように、これは、人間のサイズのスケールで物理がどのように機能するかについての私たちの直感的な理解と一致させるのが非常に困難です.しかし、実験は、眼鏡や放物線皿の継続的な有用性とともに、光が効果的に嗅ぎ分け、利用可能な最短経路を選択することを確実に確認しています.
最近、ライフガードやライトと同じトリックを実行する動物の 2 つのストーリーに出くわしました。なぜ彼らがこれを知っているのかは謎です.
最初の生き物は、ティム・ペニングスという名前の数学教授と一緒に住んでいた犬、エルビスと呼ばれるウェルシュ・コーギーです。ティムはミシガン湖のほとりでエルヴィスと遊んでいました。彼がエルヴィスのお気に入りのテニス ボールを水に投げ込むと、エルヴィスは飛び出してそれを取りに行きました。
このフェッチ ゲーム中に、ティムはエルヴィスが何か面白いことをしていることに気付きました。彼がボールを水に投げ入れたとき、エルビスは波に飛び込んでずっと泳いだだけではありませんでした。エルヴィスは通常、直接の道を選ぶ代わりに、海岸に沿って走り、ある時点で突然水に変わり、ボールを求めて泳ぎました。
これはティムの心に疑問を投げかけました：もしエルヴィスが最短時間の道を歩んでいるとしたら?数学の教授であるティムは腰を下ろし、微積分を使ってテニスボールの問題の最適解を見つけました。その後、彼は自分のアイデアを試すことにしました。
彼はミシガン湖で犬と一緒に 1 日を過ごし、テニス ボールを水に投げ込み、マークを付けて、エルヴィスが海岸に沿って走った距離とボールが移動した距離を測定しました。そのようなデータ ポイント (上の図の x と y の値はメートル単位) を 35 個収集した後、それらをプロットしました。これらのデータ ポイントに加えて、彼は以下の直線で示される最適な軌道もプロットしました。
実際、エルヴィスは最適な経路を見つけるのに非常に優れた仕事をしました。彼は一貫して最短ルートではなく、可能な限り最速のルートを選択していました!数学的モデルでは、水に流れがないこと、エルヴィスが疲れることなく一定の速度で走ったり泳いだりしていること、海岸が直線であることなど、単純化するための多くの仮定を立てなければならなかったことに注意してください。実際には、Elvis は、モデルによって予測されたソリューションよりもさらに速かった可能性があります。
ティムはエルビスのトリックに感銘を受け、「犬は微積分を知っているか?」という論文を書きました。その中で彼は、「エルヴィスは微積分を知らない…実際、」ティムは次のように付け加えています。もっと真剣に言えば、彼は計算をしていませんが、エルヴィスの行動は、自然がしばしば最適解を見つける不思議な方法の一例です。」
(ちなみに、犬の最適化者はエルヴィスだけではありませんでした。別の論文では、2 人の数学者が、女性のラブラドールであるサルサも、フランスの湖でキャッチボールをするときに最も短い時間の道を選んだことを裏付けています。所有者の能力の?)
この驚異的な能力を持つ 2 番目の生き物は、世界で最も侵略的な種の 1 つである小さなヒアリ、または Wasmannia auropunctata です。 .アリは、移動中にフェロモンの痕跡を残すことで互いの移動を助け、時間の経過とともに、これらの痕跡は食料源から巣までの直線に収束します。これらの小さな男は生来のオプティマイザーであり、非常に複雑な迷路の中で最短経路を見つけることさえできます.
しかし、アリがライフガードのジレンマに直面したときに何が起こるかを実際に研究した人は誰もいませんでした。滑らかな表面 (高速な場所) から非常に粘着性のある表面 (低速な場所) に移動するとき、直接的な経路を選択しますか?それとも、最短時間の経路を選択しますか?
そこで研究グループは、砂と水に似たガラスの表面と粗い緑色のフェルトの表面を使用して、これをテストすることに着手しました。彼らは、アリの軌跡が直接的な経路よりも最も速い経路にはるかに近いことを発見しました。ライトやライフガードのように、これらのアリは距離ではなく時間を最小限に抑えるように見えました.
しかし、彼らはどのようにそれを行うのですか？確かに彼らは計算をしていませんか？研究者たちは、おそらく運が良かったために一部のアリがより速いルートに迷い、より効率的であるため、これらのルートがメインルートになるまで強化されることを示唆しました.しかし、これらのアリがライフガードのジレンマをどのように解決するかは誰にもわかりません。まだ未解決の問題です。
進化はもちろんオプティマイザーであり、遺伝子プールでの代表性を高めることで効率を高めます。巧妙で効率的な戦略は、最大の利益をもたらします。おそらく、非常に異なる生き物が非常に異なる手段で同じトリックに到達することは驚くべきことではありません.今度、家に帰るための最速の道を見つけようとして渋滞に巻き込まれたときは、アリ、犬、または光からも学ぶべきかもしれません.
脚注
*フェルマーの原理の現代的な声明は、光は経路の長さのわずかな変化が移動時間に影響を与えないように経路を選択するというものです.ほとんどの場合、これは最短時間のパスに短縮されます。ファインマンの講義には、これに関する詳細があります。
微積分に傾倒している読者のために:Perruchet と Gallego による上記の論文は、犬が軌道全体を事前に知る必要なく、経路を最適化するために従うことができる巧妙な規則を考案しています。面白い読み物です。ここでは、フェルマーの原理からスネルの法則と反省の法則に到達する方法を導き出します。
参考文献
ファインマン、リチャード・フィリップス。 QED:光と物質の奇妙な理論 .プリンストン大学出版局、2006 年
ペニングス、ティモシー J.「犬は微積分を知っていますか?」 大学数学ジャーナル 34.3 (2003):178-182.
ペルシェ、ピエール、ホルヘ・ガレゴ。 「犬は最適化ではなく関連率を知っているのか?」 大学数学ジャーナル 37 (2006):1.
エトラー、ヤン、他。 「フェルマーの最小時間の原理は、基板の境界でのアリの軌跡の屈折を予測します。」 PloS One 8.3 (2013):e59739.
Feynman Lectures の最小時間の原理に関する章は、現在オンラインで無料で入手できます。
Aatish Bhatia は最近物理学の博士号を取得しました。プリンストン大学で科学と工学をより多くの人に届けるために働いています。彼は受賞歴のある科学ブログ Empirical Zeal を執筆しており、Twitter では @aatishb を使用しています。
注目:スティーブン ホーキング博士が発見したことで有名なブラックホールは、1 年前にリチャード ファインマン氏によって黒板上で発見されました。
天体物理学者で小説家。 data-credits="" style="width:733px">
この古典的な Facts So Romantic の投稿は、もともと 2014 年 3 月に公開されました。
