統計を理解することは、物理学を学ぶ上で不可欠な部分です。物理学における主要な測定技術はすべて、何らかの形で統計を必要とします。エラーを解決し、測定値の精度を向上させるのに役立ちます。
相関と共分散は、物理学者が関係を決定するのに役立つ統計の 2 つの重要な側面です。共分散と相関関係は、2 つの異なる変数が互いに与える影響を判断するのに役立ちます。たとえば、プラスまたはマイナスの影響を与える可能性があります。
この記事では、共分散と相関の概念について説明します。しかし、本題に入る前に、分散と標準偏差について簡単に見てみましょう。
分散と標準偏差
2 つの重要な数学的側面である分散と標準偏差の公式は次のとおりです。
分散
まず、平均からの偏差を見つけます。次に、それらの二乗。次に、二乗平均を求めなければなりません。
σ2 =1ni=1n(xi-x̅)2
標準偏差
上記の分散の式の正の平方根です。
σ =[1ni=1n(xi-x̅)2]1/2
相関と共分散の意味を理解しましょう。
共分散と相関の意味
簡単な定義では、共分散と相関は 2 つの変数を結合し、変数間の関係を示します。それでは、相関と共分散の意味を別々に見てみましょう。
共分散
2 つの確率変数の相互の依存関係を測定します。つまり、彼らが存在する中でどのように変化するかです。 2 つの確率変数は、従属または独立に対応できます。
2 つの確率変数は、共分散が正または負に変化する場合に依存します。 2 つの変数が同じ方向に異なる場合、変化は正です。負の変化は、変数が反対方向に異なる場合に発生します。
2 つの確率変数は、一緒に変化しない場合、独立しています。したがって、共分散はゼロになります。
共分散を数学的に定義する
共分散の意味を理解したところで、数学的な定義を次に示します。
X と Y という 2 つの確率変数があるとします。変数の共分散は Cov (X, Y) で表され、次の式で与えられます。
Cov (X, Y) =∑ (X – X) (Y –Y ) / N=∑ xy/N
ここで、X =∑ X / N
Y ∑ Y / N
x =X –X
y =Y –Y
x は、X の i 番目の値の平均値からの偏差です。
y は、Y の i 番目の値の平均値からの偏差です。
相関
相関は、共分散によって定義されます。セーターの売り上げの増加と低体温症で死亡する人々の単純な例を見てみましょう.どちらの場合も、根本的な原因は温度の低下です。ここでは、気温の低下が 2 つの相関関係の理由です。
相関は、2 つの確率変数がどの程度強く関連しているかを示します。また、変数が変化する方向も研究します。
したがって、相関関係は正または負のいずれかになります。正と負の符号は、変数間の関係の方向を示します。相関がゼロの場合、2 つの変数はいずれの場合も関連していないと推測されます。共分散がゼロの場合、相関もゼロです。
相関係数
相関係数またはカール ピアソンの相関係数は次の式で与えられます:
r =∑ xy / N σx σy
r =(X –X)(Y –Y )∑(X -X)2∑(Y -Y )2
r ={[∑XY – (∑X) (∑Y)]/ N} / [√∑X2 – (∑X2)/ N] [ √∑Y2 – (∑Y)2/N]
r =N∑XY – (∑X)(∑Y) / √N∑X2 – (∑X)2 × √N∑Y2 – (∑Y)2
r =∑ xy / N σx σy
r =∑ (X –X) (Y –Y ) √∑ (X -X)2 √∑ (Y -Y )2
r の値は係数なので単位はありません。 r が負の場合、2 つの変数の間に逆の関係があります。これは、変数が 2 つの異なる方向に変化することを意味します。 r が正の場合、2 つの変数は同じ方向に変化します。 r が 0 の場合、2 つの変数は無関係です。
相関値は常に -1 と 1 の間にあります。
共分散よりも相関が優先されるのはなぜですか?
共分散は、相関ほど一般的には見られません。理由は次のとおりです。
- 共分散は単位によって異なります。しかし、相関には単位がありません。そのため、相関関係がある場合は直感的に判断しやすくなります。
- 共分散には符号がありません。したがって、2 つの変数間の関係の強さを常に判断できるとは限りません。ただし、相関関係のプラスとマイナスの兆候は、関係の強さを判断するのに役立ちます。
- 共分散がゼロであっても、変数間に関係がないことを常に意味するわけではありません。しかし、
結論
相関と共分散は、2 つの変数間の強度と関係を判断するのに役立つ便利な測定手法です。
この記事では、共分散と相関の多くの側面について説明しました。最初に、相関と共分散の意味について説明しました。また、相関が共分散よりも優先される理由も学びました。
上記の相関と共分散のメモは、熱意のある IIT/JEE の学生が物理学と数学のいくつかの概念を理解するのに役立ちます。
