科学者は宇宙を見渡し、驚くべき構造を目にします。非常に複雑なオブジェクトとプロセスがあります。私たちの宇宙のすべての行動は、数学言語で完全に表現された正確な自然の法則に従っています。これらの自然の法則は、生命、特に知的な生命をもたらすために微調整されているように見えます。これらの自然法則とは正確には何ですか?
宇宙は非常に構造化され整然としているため、当時の最も複雑で正確な仕掛けと比較することができます。 18 世紀と 19 世紀には、宇宙は完全に機能する時計や時計に例えられていました。その後、哲学者たちは時計職人について議論しました。 20 世紀と 21 世紀において、最も複雑なオブジェクトはコンピューターです。宇宙は完全に機能するスーパーコンピューターに例えられます。研究者は、このコンピューターがどのようにプログラミングを行ったのかを尋ねています。
このすべての構造をどのように説明しますか?法則が生命を生み出すのに完璧に見えるのはなぜですか? また、なぜ法則は正確な数学的言語で表現されているのでしょうか?宇宙は本当に見かけどおりに構造化されているのでしょうか?
これらの質問のいくつかに対する答えの 1 つは、プラトニズム (またはそのいとこであるリアリズム) です。これは、自然の法則は客観的であり、常に存在しているという信念です。彼らは、プラトンの領域に存在する正確な理想的な形を持っています.これらの法則は完璧な状態にあり、私たちの周りにある宇宙を形成しています。自然の法則はこの領域に存在するだけでなく、完全に形成されたすべての数学と共存しています。これは、法律が数学の言語で書かれている理由を説明するのに役立つはずです.
プラトニズムには、多くの要望が残されています。主な問題は、プラトニズムが科学ではなく形而上学であるということです。しかし、仮にそれが事実であったとしても、多くの疑問が残ります。このプラトニズムの世界には、他の法則ではなく、知的生命体を宇宙にもたらすこれらの法則があるのはなぜですか?このプラトニックな屋根裏部屋はどのように設置されたのですか?なぜ私たちの物理的な宇宙は、これらのエーテルのルールに従っているのでしょうか?科学者や数学者は、プラトンの正確な理想の小さな宝箱にアクセスするにはどうすればよいでしょうか?
マルチバースは、最近非常にファッショナブルになったもう 1 つの答えです。この理論は、私たちの宇宙が生命を与える法則を持っている理由を説明しようとする試みです。多元宇宙を信じる人は、私たちの宇宙は多くの宇宙の 1 つにすぎないと主張します。各宇宙には、独自の一連のルールと、それらのルールに付随する独自の可能な構造があります。マルチバース理論を推進する物理学者は、各宇宙の法則はいくぶん恣意的であると信じています。構造が私たちの宇宙で生命に適していると考える理由は、そのような法則を持つ非常に数少ない宇宙の1つに私たちがたまたま住んでいるからです.多元宇宙は私たちが目にする構造の一部を説明していますが、未解決の問題もあります。宇宙がそのような構造を持っている理由を尋ねるのではなく、質問を押し戻して、多元宇宙がそのような構造を持っている理由を尋ねることができます.別の問題は、マルチバースが存在する場合、私たちが提起したいくつかの質問に答えますが、実際に存在すると誰が言うのでしょうか?他の宇宙との接触はないとほとんどの人が信じているため、多元宇宙の存在に関する問題は本質的に形而上学です。
自然法則の構造については、もっと興味深い別の説明があります。宇宙が非常に構造化されていると言うのではなく、宇宙はほとんど無秩序であり、ほとんどの部分で構造が欠けていると言います.私たちが行っている構造を見る理由は、科学者がふるいのように振る舞い、構造を持ち予測可能な現象だけに注目するからです。それらはすべての現象を考慮に入れているわけではありません。むしろ、対処できる現象を選択します。
科学はすべての物理現象を研究すると言う人もいます。これは単に真実ではありません。次の大統領選挙で誰が勝利し、ホワイトハウスに入るかは物理的な問題であり、確固たる科学者があえて絶対的な予測をすることはありません。与えられた入力に対してコンピューターが停止するかどうかは、物理的な問題と見なすことができますが、この問題には答えられないことをアラン・チューリングから学びました。科学者は、さまざまな種類の雲の一般的なテクスチャと高さを分類しましたが、一般に、雲の正確な形状にはまったく関心がありません。形状は物理現象ですが、科学者はそれを研究しようとさえしません。科学はすべての物理現象を研究しているわけではありません。むしろ、科学は予測可能な物理現象を研究します。これはほとんどトートロジーです。科学は予測可能な現象を予測します。
科学者は、どの現象を研究するかの基準を説明しています。それは対称性と呼ばれます。対称性とは、何かが変化しても、同じ部分が残っているという性質です。顔に対称性があると言うとき、左側が反射されて右側と交換されても、同じように見えることを意味します。物理学者が対称性という言葉を使用するとき、彼らは物理現象の集まりについて議論しています。一連の現象は、何らかの変更を加えても同じである場合、対称性を持ちます。最も明白な例は、位置の対称性です。これは、2 つの異なる場所で同じ実験を行った場合、結果は同じになるはずであることを意味します。時間の対称性とは、実験の結果が実験がいつ行われたかに依存してはならないことを意味します。そして、他にも多くのタイプの対称性があります。
科学者が研究のために選択する現象には、さまざまな種類の対称性が必要です。物理学者が多くの現象を見るとき、まずそれらの現象に対称性があるかどうかを判断しなければなりません。彼女はさまざまな場所でさまざまな時期に実験を行っています。同じ結果が得られた場合は、それらを研究して根本的な原因を見つけます。対照的に、彼女の実験が対称的でない場合、彼女はそれらを無視します.
ガリレオやニュートンのような科学者は物理現象の対称性を認識していましたが、対称性の力を最初に真に利用したのはアルバート アインシュタインでした。彼は、実験者が光速に近い速度で動いていても、物理法則は同じであるべきだと仮定しました。この対称性を念頭に置いて、彼は特殊相対性理論の法則を構成することができました。アインシュタインは、対称性が物理学の決定的な特徴であることを最初に理解しました。対称性を持つものには、自然の法則があります。残りは科学の一部ではありません.
アインシュタインが科学的努力にとって対称性がきわめて重要であることを示した少し後、エミー・ネーターは対称性と保存則との関係を確立する強力な定理を証明しました。これは、現代物理学の中心である自然の定数に関連しています。繰り返しますが、対称性があれば、保存則と定数が存在します。物理学者はふるいにかけられ、対称性を持つ現象を研究し、対称性を持たない現象を指からすり抜けなければなりません。
この宇宙で見つかった構造の説明には、いくつかの問題があります。一つには、私たちが選択し、自然の法則を持っている現象は、まさにすべてを生成する現象のようです 現象。素粒子物理学、重力、および量子論の法則にはすべて対称性があり、物理学者によって研究されています。すべての現象は、対称性がないように見えるものも含めて、これらの理論から来ているようです。したがって、誰が次の大統領になるかを決定することは科学を超えていますが、その現象は社会学によって決定されます。社会学は心理学によって決定され、神経生物学は素粒子物理学と量子力学に依存する化学に依存する神経生物学によって決定されます。選挙の勝者を決定することは、科学者が対処するには複雑すぎますが、選挙の結果は、科学の一部である物理法則によって生成されます。
自然法則の構造についての説明のこの失敗にもかかわらず、私たちはそれがになるための最良の候補であると信じています 解決。これは、形而上学的な原則や目に見えない宇宙の存在を呼び起こさない唯一の解決策の 1 つです。宇宙で見つけた構造の原因を見つけるために、宇宙の外を見る必要はありません。むしろ、現象をどのように見ているかに注目します。
先に進む前に、私たちのソリューションにはマルチバース ソリューションと共通の特性があることを指摘しておく必要があります。私たちは、ほとんどの場合、宇宙は無秩序であり、そこにはそれほど多くの構造はないと仮定しました.ただし、存在する少量の構造のみに焦点を当てています。同様に、多元宇宙を信じている人は、ほとんどの多元宇宙には知的生命を形成するための構造が欠けていると信じています。複雑な構造が見られるのは、選択された少数の宇宙だけです。そして、この複雑な宇宙の住人は、その珍しい構造に注目しています。どちらの解決策も、混沌とした全体の中の小さな構造に焦点を当てることです。
数体系の階層
現象のサブセットを選択しているために構造しか見えないというこの考えは斬新で、理解するのが難しいです。数学には、はるかに理解しやすい類似の状況があります。この選択プロセスを非常に明確に見ることができる 1 つの重要な例に焦点を当てます。最初に、いくつかの数体系とそのプロパティについて簡単に説明する必要があります。
実数を考えてみましょう。高校の初めに、教師はボードに実数の線を引き、これが必要なすべての数であると言います。 2 つの実数が与えられた場合、それらの足し算、引き算、掛け算、割り算の方法を知っています。それらは、科学のあらゆる側面で使用される数体系を構成します。実数にも重要な特性があります。それらは完全に順序付けられています。これは、任意の 2 つの異なる実数が与えられた場合、一方が他方よりも小さいことを意味します。実数直線について考えてみてください。直線上の 2 つの異なる点が与えられると、一方は他方の右側になります。このプロパティは非常に明白であるため、ほとんど言及されていません。
実数は全体像のように見えますが、話はそれだけではありません。すでに 16 世紀には、数学者はより複雑な数体系に注目し始めていました。彼らは「虚数」の数 i を使い始めました 2 乗が -1 であるという性質を持っています。これは、二乗が決して負にならない実数とはまったく対照的です。彼らは、実数と i の積として虚数を定義しました。 .数学者は、実数と虚数の合計である複素数を定義しました。 r1 の場合 そして r2 が実数の場合、r1 +r2 私 は複素数です。複素数は 2 つの実数から構成されるため、通常、それらすべてを 2 次元平面に描画します。実数直線は複素平面にあります。これは、すべての実数 r1 、複素数として見ることができます r1 +0私 (つまり、複雑なコンポーネントがゼロのそれ自体)。
複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算を知っています。ただし、複素数とは異なる性質が 1 つあります。実数とは対照的に、複素数は完全に順序付けられていません。 2 つの複素数が与えられた場合、たとえば 3 + 7.2
話は複素数で終わりではありません。実数のペアから複素数を構成できるように、複素数のペアから四元数を構成することもできます。 c1 としましょう =r1 + r2 私 そしてc2 =r3 + r4 私 複素数であること。次に、q =c1 として四元数を構築できます。 + c2 じ ここで j は特別な番号です。すべてのクォータニオンは次のように記述できることが判明しました
r1 + r2 私 + r3 じ + r4 k 、
ここで 私 、j 、および k すべて複素数に似た特殊な数です (これらは ijk によって定義されます) =-1 =私 =j =k ）。したがって、複素数は 2 つの実数で構成されますが、四元数は 4 つの実数で構成されます。すべての複素数 r1 + r2 私 特別なタイプのクォータニオンと見なすことができます:r1 + r2 私 + 0j + 0k .四元数は、複素数をその 2 次元サブセットとして持つ 4 次元空間と考えることができます。私たち人間は、そのような高次元空間を視覚化するのに苦労しています.
四元数は本格的な数体系です。足し算、引き算、掛け算、割り算が簡単にできます。複素数と同様に、それらは完全に順序付けられていません。しかし、それらは複素数よりもさらに構造が少ないです。複素数の乗算は可換ですが、つまり、すべての複素数 c1 に対して そしてc2 c1 があります c2 =c2 c1 、これはすべての四元数に当てはまるわけではありません。これは、クォータニオン q1 があることを意味します そして q2 q1 q2 q2 とは異なります q1 .
数体系を新しい特殊数で 2 倍にするこのプロセスは、数学者アーサー ケイリーとレナード ユージン ディクソンにちなんで名付けられた「ケイリー ディクソン構成」と呼ばれます。特定のタイプの数体系が与えられると、元の数体系の 2 倍の次元の別の数体系が得られます。開発する新しいシステムは、最初のシステムよりも構造が少ない (つまり、公理が少ない) ものです。
Cayley–Dickson の構成を四元数に適用すると、八元数と呼ばれる数体系が得られます。これは八次元数体系です。つまり、各八元数は次のように 8 つの実数で記述できます。
r1 + r2 私 + r3 じ + r4 k +r5 私 + r6 分 + r7 いいえ + r8 p .
少し複雑ですが、八元数の足し算、引き算、掛け算、割り算の方法が知られています。すべての四元数は、最後の 4 つの係数がゼロである特別なタイプの八元数として記述できます。
四元数と同様に、八元数は完全な順序でも可換でもありません。ただし、八元数も結合できません。詳細に言えば、これまで議論してきたすべての数体系は連想特性を持っています。これは、任意の 3 つの要素 a、b、c について、それらを乗算する 2 つの方法 a(bc) と (ab)c が等しいことを意味します。ただし、八元数は結合できません。つまり、八元数 o1 が存在します。 、o2 そしてo3 o1 (o2 o3 ) ≠ (o1 o2 )o3 .
この倍加を続けて、セデニオンと呼ばれるさらに大きな 16 次元の数体系を得ることができます。セドニオンを記述するには、16 個の実数を指定する必要があります。八元数は特別なタイプのセドニオンです:最後の 8 つの係数はすべてゼロです。しかし、セデニオンは重要な特性を失うため、研究者はセデニオンを避けています。セデニオンを加算、減算、および乗算することはできますが、それらを適切に分割する方法はありません。ほとんどの物理学者は、これは淡白で「公正な」数学を超えていると考えています。数学者でさえ、セデニオンを扱うのは難しいと感じています。 32 次元の数体系や 64 次元の数体系などを定式化することができます。しかし、現在のところ、多くのアプリケーションがないため、通常は議論されません。八元数に集中します。すべての数体系の要約は、このベン図で見ることができます:
これらの数体系の適用可能性について説明しましょう。実数は物理学のあらゆる面で使用されます。物理的なオブジェクトまたはプロセスのすべての量、測定値、および長さは、実数として与えられます。複素数は方程式を解くのを助けるために数学者によって定式化されましたが (i は方程式 x =-1 の解です)、物理学者は 19 世紀半ばに波を議論するために複素数を使用し始めました。 20 世紀になると、複素数は量子力学の研究の基礎となりました。今では、複素数の役割は、物理学のさまざまな分野で非常に重要です。クォータニオンは物理学に現れますが、主要なプレーヤーではありません。八元数、セデニオン、およびより大きな数のシステムは、物理学の文献にはめったに現れません。
私たちが見つけた数学の法則
これらの数体系の通常の見方は、実数は基本的なものであり、複素数、四元数、および八元数は、数学者や一部の物理学者を忙しくしている奇妙で大きな集合であると考えています。より大きな数のシステムは重要ではなく、あまり面白くないようです.
この見方をひっくり返してみましょう。実数を中心として、八元数を奇妙なより大きな数体系として見るのではなく、八元数を基本として、他のすべての数体系を八元数の特別な部分集合として考えてください。実際に存在する唯一の数体系は八元数です。レオポルド・クロネッカーの言葉を言い換えると、「神が八元数を作った、それ以外はすべて人間の仕事である」。八元数には、必要になるすべての数が含まれています。 (そして、前に述べたように、セデニオンや 64 次元数体系でも同じトリックを行うことができます。八元数でアイデアを修正します。)
私たちがよく知っている数体系のすべての特性を導き出す方法を探ってみましょう。八元数の乗算は連想的ではありませんが、連想的な乗算が必要な場合は、八元数の特別なサブセットを見ることができます。 (「サブセット」という言葉を使用していますが、数体系の演算を尊重する特殊なタイプのサブセットが必要です。そのようなサブセットは、「サブグループ」、「サブフィールド」、または「サブノルム除算代数」と呼ばれます。)したがって、フォームのすべての八元数のサブセットを選択すると
r1 + r2 私 + r3 じ + r4 k + 0l + 0分 + 0n + 0p 、
その場合、乗算は連想的になります (四元数のように)。さらにフォームのすべての八元数を見ると
r1 + r2 私 + 0j + 0k + 0l + 0分 + 0n + 0p 、
その場合、乗算は可換になります (複素数のように)。フォームのすべての八元数をさらに選択すると
r1 + 0私 + 0j + 0k + 0l + 0分 + 0n + 0p 、
次に、それらは完全に順序付けられた番号システムになります。満足させたいすべての公理は、八元数の「内部」にあります。
これは奇妙ではありません。構造があるときはいつでも、特定のプロパティを満たす特別な要素のサブセットに焦点を当てることができます。たとえば、任意のグループを考えてみましょう。グループの要素を調べて、それらの X を選択できます すべての要素 Y に対して 、その XY があります =YX .この部分集合は可換 (アーベル) 群です。つまり、どの群にも可換群である部分集合があるというのは事実です。公理を満たす部分を単純に選択し、そうでない部分は無視 (「ブラケット アウト」) します。私たちが指摘しているのは、システムが特定の構造を持っている場合、そのシステムの特別なサブセットが開始システムよりも多くの公理を満たすということです.
これは、私たちが物理学で行っていることと似ています。私たちはすべての現象を見ているわけではありません。むしろ、対称性と予測可能性の要件を満たす現象を選択します。数学では、部分集合をそれを記述する公理で記述します。物理学では、選択された現象のサブセットを自然法則で記述します。
次の図を使用して、作成した類推を説明できます。
公理を満たすために選択されたサブセットの数学は、セット全体の数学よりも簡単であることに注意してください。これは、数学者が公理を扱うためです。彼らは定理を証明し、公理を使用してモデルを作成します。このような公理が欠けていると、数学はより複雑または不可能になります。
私たちのアナロジーに従うと、現象のサブセットは、数学で述べられた自然の法則でより簡単に記述できます。対照的に、より大きな一連の現象を見ると、自然法則と数学がより複雑または不可能になることを見つけるのは難しくなります.
協力して前進する
物理学と数学の間には重要な類似点があります。どちらの分野でも、システム全体を見るのではなく、システムの特別なサブセットを見ると、より多くの構造が見えます。物理学では、特定の現象 (ある種の対称性を持つもの) を選択し、残りを無視します。数学では、構造の特定のサブセットを見て、残りを無視します。これら 2 つの括弧操作は連携して機能します。
物理学の仕事は、観測された物理現象の集合から数学的構造への関数を定式化することです:
観測された物理現象 → 数学的構造。
つまり、観測する世界に数学的構造を与える必要があります。物理学が進歩し、観測された物理現象をますます理解しようとするにつれて、ますます大規模な数学のクラスが必要になります。この関数に関して言えば、関数の入力を拡大するには、関数の出力を拡大する必要があります。
このように物理学と数学が拡張された例は数多くあります。
物理学者が量子力学に取り組み始めたとき、彼らは、完全に順序付けられた実数は、彼らのニーズに対して制限が強すぎることに気付きました。彼らは、公理の少ない数体系を必要としていました。彼らは複素数を見つけました。
アルバート アインシュタインが一般相対性理論を記述したいと考えたとき、彼は、平坦性の公理 (ユークリッドの第 5 公理) を含むユークリッド空間の数学的構造が制限的すぎることに気付きました。彼は、一般相対性理論の時空を記述するために、湾曲した非ユークリッド空間を必要としていました。
量子力学では、一部の系では、最初に X を測定してから Y を測定すると、最初に Y を測定してから X を測定する場合とは異なる結果が得られることが知られています。この状況を数学的に説明するには、可換性。彼らは、可換性が想定されていない、より大きなクラスの構造を必要としていました。
ボルツマンとギブスが統計力学について話し始めたとき、彼らは、彼らが思いついた法則がもはや決定論的ではないことに気付きました。実験の結果は、もはや発生しない (p(X) =1) か発生しない (p(X) =0) かのいずれかです。むしろ、統計力学では確率論が必要です。実験の特定の結果の可能性は確率です (p(X)) は、限定的な有限部分集合 {0,1} ではなく、無限集合 [0,1] の要素です)。
科学者が量子事象の論理について話し始めたとき、分配的な通常の論理はあまりにも限定的であることに気付きました。彼らは、分配公理が必ずしも成り立たない、より大きなクラスの論理を定式化する必要がありました。これは現在、量子論理と呼ばれています。
ポール A.M.ディラックは、約 85 年前に次のように書いたとき、この公理の緩みを理解しました:
物理学の着実な進歩は、その理論的定式化のために絶えず進歩する数学を必要とします.これは当然のことであり、当然のことです。しかし、前世紀の科学者たちが予期していなかったのは、数学の進歩の線がとる特定の形でした。つまり、数学はますます複雑になると予想されていましたが、公理と実際、現代の物理的発展は、その基礎を継続的にシフトし、より抽象化する数学を必要としています.非ユークリッド幾何学と非可換代数は、かつては純粋に心のフィクションであり、論理的思想家の娯楽であると考えられていましたが、現在では、物理世界の一般的な事実を記述するために非常に必要であることがわかっています.抽象化を高めるこのプロセスは将来も続くと思われ、物理学の進歩は、固定された数学スキームの論理的発展ではなく、数学の基礎にある公理の継続的な修正と一般化に関連している.
物理学が進歩し、ますます多くの物理現象に気付くようになるにつれて、数学構造のますます大きなクラスが必要になり、ますます少ない公理を見ることでそれらを取得します。ディラックは、公理の少ないこれらの数学的構造を「抽象化の増加」および「公理の一般化」と呼んでいます。ディラックが今生きていたら、八元数の台頭や、必要な数体系内のセデニオンについてさえも話したことは間違いありません.
より多くの現象を記述するためには、数学的構造のクラスがますます大きくなり、したがって公理がますます少なくなります。この傾向の論理的な結論は何ですか?これはどこまでいけますか？物理学は、私たちの宇宙でますます多くの現象を記述したいと考えています。 すべてを説明することに興味があるとしましょう 私たちの宇宙の現象。どのような種類の数学が必要になるでしょうか?すべての現象を説明するには、数学的構造にいくつの公理が必要ですか?もちろん、予測することは困難ですが、推測しないことはさらに困難です。考えられる結論の 1 つは、宇宙全体を見て、現象のサブセットを分類しない場合、必要な数学には公理がまったくないということです。つまり、宇宙全体には構造がなく、それを説明する公理は必要ありません。完全無法！数学は、構造のない単なる集合です。これにより、自然法則と数学的構造を扱う際に、最終的にすべての形而上学が排除されます。構造の錯覚を与えるのは、宇宙の見方だけです.
この物理学の見方によって、私たちはさらに深遠な問題に直面します。これらは科学の将来のプロジェクトです。私たちが見ている構造が幻想であり、特定の現象を見る方法から生じる場合、なぜこの錯覚を見るのでしょうか?科学者によって定式化された自然法則を見る代わりに、科学者と、科学者が (現象のサブセットとそれに付随する) 自然法則を選択する方法に目を向ける必要があります。人間がふるいを上手にこなせるのはなぜでしょうか。宇宙を見るのではなく、道を見るべきです 私たちは宇宙を見ています。
Jim Cox、Karen Kletter、Avi Rabinowitz、Karl Svozil には多くの有益な会話をしていただき、感謝しています。
Noson S. Yanofsky は博士号を取得しています。ニューヨーク市立大学の大学院センターで数学の博士号を取得しています。彼は、ニューヨーク市立大学ブルックリン カレッジのコンピューター サイエンスの教授です。共同執筆した研究論文の執筆に加えて コンピュータ科学者のための量子コンピューティング 著者 理性の外側の限界:科学、数学、および論理が教えてくれないこと。 ノーソンは妻と 4 人の子供と一緒にブルックリンに住んでいます。
参考文献
1. ディラック、P.A.M.電磁場における量子化された特異点。 王立協会の議事録 133 , 60-72, (1931).
追加資料
Dray, T. &Manogue, C.A. 八元数の幾何学 World Scientific Publishing Company、シンガポール (2015).
エディントン、A.S. 物理科学の哲学 ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク州ニューヨーク (1939 年)。
van Fraassen, BC. 法則と対称性 オックスフォード大学出版局、ニューヨーク州ニューヨーク (1989)。
グリーン、B. 隠された現実:パラレル ユニバースと宇宙の深遠な法則 クノップ、ニューヨーク、ニューヨーク (2011).
ステンガー、V.J. 理解できる宇宙:物理法則はどこから来るのか? Prometheus Books、アマースト、ニューヨーク (2006).
Tegmark、M. 私たちの数学的宇宙:現実の究極の性質のための私の探求 クノップ、ニューヨーク、ニューヨーク (2014).
Yanofsky、N.S. 理性の外側の限界:科学、数学、論理が教えてくれないこと MIT Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州 (2013).
主な画像コラージュのクレジット:Marina Sun / Shutterstock;
この記事は、もともと 2017 年 6 月の「The Absurd」号に掲載されたものです。
