微分方程式は、F(x) などの関数と、dy/dx などの 1 つ以上の導関数を持つ方程式です。物理量は一般に微分方程式の関数で表され、物理量の変化率は導関数で与えられます。微分方程式は、関数とその導関数の間の関係を記述する数式です。 y を x の関数として調べると、変数 x と y の有無にかかわらず、x に関する y の導関数 (または y と x の微分) を組み込んだ方程式が微分方程式です。
微分方程式の順序
これは導関数の最高次数を表します。以下にいくつかの例を示します:
<オール>- 最初のケースでは、順序は 1 です
- 2 番目のケースでは、方程式が 2 次導関数 d2 y/ dx2 を持つため、次数は 2 です
- 3 番目のケースでは、方程式が 2 次導関数 d2 y/ dx2 を持つため、次数は 2 です
- 4 番目のケースでは、方程式が二次導関数 d3 y/ dx3 を持つため、次数は 3 です
- 5 番目のケースでは、順序は 1 です
微分方程式の次数
- 微分方程式の次数と呼ばれる最高次導関数のベキ
- 微分方程式は、微分電力の最高次数が次数と呼ばれる多項式形式である場合があります。
- 正の整数を選択し、最高次数を見つけます:
( d5ydx5 )4 + 7 ( dydx )8 + 9y =7 秒 7x
、ここで dx5 は方程式の最高次数であるため、最高次数は 4 です
微分方程式の種類
微分方程式には 2 種類あります。それらは:
<オール>常微分方程式
- ODE – 導関数を持つ 1 つの独立変数からの 1 つまたは複数の関数を含む微分方程式は、常微分方程式 (ODE) として知られています。
たとえば、x に関するいくつかの導関数 y’+y”+y”’+y””+……… yn があります
例:(d2y/dx2) + (dy/dx) =3y tan x
偏微分方程式
複数の関数と複数の独立変数を含む方程式は、偏微分方程式 (PDE) と呼ばれます。
以下にいくつかの例を示します:
- 5𝛿u/𝛿x + 7𝛿u/𝛿y =0,
- 21𝛿2u/𝛿x2 + 8𝛿2u/𝛿y2 =0
微分方程式の練習問題
- 微分方程式 (5x- 8y).dy/dx =(4x+2y) が同次微分方程式であることを示してください。
解決策:
(5x – 8y).dy/dx =(4x + 2y) は与えられた微分方程式です
上記の微分方程式が同次であることを証明するために、x =δ x と y =δ y を代入しましょう。
ここに F(x, y) =(4x+2y)/(5x−8y) があります
F(δx, δy) =( δ4x+δ2y)/( δ5x− δ8y)
F(δx, δy) =f(x, y)
したがって、与えられた方程式が同次微分方程式であることを証明します。
<オール>解決策:
与えられた微分方程式は x sin(y/x).dy/dx =y sin(y/x) + x
dy/dx ={y sin(y/x) + x } / xsin(y/x)
dy/dx ={x((y/x).sin(y/x)+1)} / x sin(y/x)
dy/dx =((y/x).sin(y/x)+1 / sin(y/x)
ここで、上記の式の y/x =v を置き換えてみましょう
dy/dx =(v sinv+1) / sinv
ここで y/x =v を y =vx の形式で書きます
方程式の両辺で y =vx を微分すると
dy/dx =v + x.dv/dx、これは上記の式に代入されます
v + x.dv/dx =( v sinv + 1)/ sinv
x.dv/dx =(v sinv+ 1 / sin v) – v
ここでは変数を両側に分割します
x.dv/dx =1/sinv
sinv.dv =dx/x
両方の方程式を統合すると、以下の方程式が得られます
∫sinv.dv=∫dx/x
-cosv =Logx + C
ここで y/x =v に戻ります
-cos y/x =Logx + C
したがって、同次微分方程式の解は – cos y/x =Logx + C
結論:
導関数を消去 (つまり、積分) した後に生成される変数 x と y の両方の間の接続、または接続が方程式の次数を示す任意の定数を含む場合は、微分方程式の基本的な解です。一階微分方程式の解には任意定数が現れ、二次微分方程式の解には二つの任意定数が現れます。微分方程式の解は、任意の定数に特定の値を与えることによって導き出されます。
