ガウスの法則によれば、閉じた表面を通過する電界のフラックスは、閉じ込められた電荷を定数で割った値に等しくなります。閉じた表面の形状に関係なく、フラックスは常に封入された電荷に等しいことが実証できます。この法則は、電荷分布が与えられたときの電場を求めるために利用されます。この記事では、ガウスの法則を使用して電場を見つける方法についても説明します。
ガウスの法則とは
エレクトロニクスでは、電場のガウスの法則は、閉じた表面を横切る電束は、表面に囲まれた正味の電荷に反比例すると述べています。たとえば、単位電荷 q は、辺 a の立方体の中に置かれます。さて、ガウスの法則によると、各面を通るフラックスは
φE =Q/E0
クーロンの法則は電場を計算しますが、電場の分布はガウスの法則で調べます。表面の外側にある電荷は、電気の流れには寄与しません。
ガウスの法則の適用
ガウスの法則は、円筒対称、球対称、平面対称などの固有の対称性を持つ複雑な静電問題を解決できます。ガウスの法則は、電界の計算にも役立ちますが、これは複雑な概念であり、統合が困難です。ガウスの法則を使用して電界を直接評価できます。
無限ワイヤによるガウスの法則を使用した電場
線形電荷密度を持つ無限に長いワイヤを使用する必要があります。電場を計算するために円筒ガウス面を使用します。電場 E は放射状であるため、表面を通る磁束はゼロになります。
電界と面積ベクトルが互いに垂直であるため、磁束はゼロです。したがって、電界は曲面上のすべての点に垂直であるため、電界の大きさは一定であると言えます。
曲がった円柱の表面の面積は 2πrl です。曲線を流れる電束はE×2πrlに等しい。
次に、ガウスの法則に従って、
φ =q ⁄ ε0
E × (2 π r l) =λ l ⁄ ε0
E =λ ⁄ 2 π ε0r
無限平面シートによるガウスの法則を使用した電場
断面積 A と表面電荷密度 σ の無限平面シートを考えます。すると、シートの位置は次のようになります。
無限電荷シートは、シートの平面に垂直な電界を生成します。シートの平面に平行な軸を持つ円筒ガウス面を考慮してください。電界 E は、次のようにガウスの法則を使用して計算されます。
φ =q ⁄ ε0
連続電荷分布では、電荷 q は電荷密度 (σ) に面積 (A) を掛けた値に等しくなります。正味の電束について議論するときは、架空のガウス面の両端からの電流のみを考慮します。曲面領域と電場は直交するため、電束はゼロになります。この結果、正味の電束は次のようになります:
φ =E A − (− E A)
φ =2EA
だから、
2 E A =σ A ⁄ ε0
E =σ ⁄ 2 ε0
無限シェルによるガウスの法則を使用した電場
半径「R」と表面電荷密度 σ の薄い球殻を考えてみましょう。球面対称性がシェルの特徴です。球殻によって生成される電場は、主に 2 つの方法で決定できます。
- 球殻の外側
- 球殻内
-
球殻の外側のフィールドを考えてみましょう。
電界を取得するには、球殻の中心から半径方向の距離にある球殻の外側の点 P を見つけます。対称性のため、半径 r と中心 O のガウス球面を使用します。表面上のすべての点は、球の中心から等間隔に「r」離れているため、ガウス表面は P を透過し、全周で一定の電場 E に遭遇します。その結果、総電束は次のようになります。
φ =q ⁄ ε0 =E × 4 π r2
球面の電荷は q =σ × 4 π R2
次に、
E × 4 π r2 =σ × 4 π R2 ⁄ ε0
E =σ R2 ⁄ ε0r2
電場を電荷で書くこともできます。
E =k q ⁄ r2
-
球殻内のガウスの法則を利用した電場
球殻内の点 P を調べて、電場がどのように存在するかを見てみましょう。対称性を使用して、P を通り、O を中心とし、半径 P の半径 r の球面ガウス面を生成できます。ガウスの法則によれば、
φ =q ⁄ ε0 =E × 4 π r2
表面電荷密度は表面の外側に分布しているため、シェル内には電荷が含まれていません。その結果、上記の式から計算される電場もゼロになります。つまり、
q =0 であるため、E =0 です。
結論
この記事では、ガウスの法則を使用した電場と、ガウスの法則の例を使用した電場について説明します。ガウスの法則は、荷電粒子による閉じた空間内のフラックスの量を定義します。この法則は、多くの表面で電場を見つけるためにも使用できます。この法則は、すべての閉じたサーフェスに適用されます。ガウスの法則が有用である唯一の要件は、分布電荷が対称であることです。
