1 次導関数は、1 つの変数によって決定される関数の導関数、または独立変数に関する従属変数の導関数です。高次導関数は、2 つの変数によって選択される点での導関数です。たとえば、グラフなどのある点で接線の傾きをとった場合、それは 1 次導関数です。二次導関数により、関数のグラフを理解することができます。
二次導関数
二次導関数が何であるかを理解するには、まず導関数とは何かを理解する必要があります。導関数は、任意の点での関数の勾配を示します。二次導関数は、関数の導関数の導関数です。一次導関数を使用して作成されます。したがって、最初に関数の導関数を取得し、次に一次導関数の導関数を描画します。 1 次導関数は f'(x) または dy/dx で表され、2 次導関数は f"(x) または d2ydx2 で表されます。
凹面と変曲点は、二次導関数を使用して決定できます。
一次導関数と二次導関数
与えられた関数の一次導関数の導関数は、二次導関数です。
一次導関数は、特定の位置での関数の勾配をグラフィカルに表示しますが、二次導関数は、グラフ内の独立変数が変化したときに勾配がどのように変化するかを説明します。勾配が変化する関数の 2 次導関数は、グラフの曲率を説明します。
二次導関数の例:
<オール>与えられた:y =log x、d2ydx2 を見つけますか?
答え:
関数として、y =log x
次に、dy/dx =d/dx は一次導関数 (log x) です
dy/dx =(1 / x)
二次導関数を発見するために、それをさらに区別します。
d2ydx2 =ddxdydx
=ddx1x
=-1×2
二次導関数を発見するために、それをさらに区別します。
d²y/dx² =d/dx (dy/dx)
=d/dx (ex (5cos5x + sin5x))
=ex(5(-sin5x)5 + 5cos5x) + (5cos5x + sin5x)(ex)
=ex(10cos5x – 24sin5x)
=2ex(5cos5x – 12sin5x)
グラフで表現された二次導関数
一般的に言えば、関数の傾きを測定するには、一次導関数と二次導関数の 2 つの方法があります。一次導関数は、特定の点での勾配の値を示します。一次導関数は、指定された点における曲線の勾配です。つまり、その点での曲線に対する接線の勾配です。
2 次導関数は、1 次導関数がどれだけ速く変化するかを示します。微積分コースを受講したことがある場合は、この概念に精通しているでしょう。導関数を計算するには、まず曲線の方程式を決定する必要があります。これは、数学的またはグラフィカルな方法で行うことができます。デリバティブを計算する場合、ビジネス上の問題の状況に応じて、時間に関するデリバティブと、お金、売上などに関するデリバティブの 2 つを求める必要があります。
関数に 2 次導関数がある場合、グラフの湾曲または凹みがグラフに見られる場合があります。二次導関数係数が正の場合、関数のグラフは縦に凹に見えます。
機能の凹み
f(x) が便利な区間で微分可能な関数であることを許可します。したがって、f(x) のグラフは次のように分類できます。
上に凹む:左から右に移動するにつれて y 値がますます速いペースで上昇する場合、曲線のそのセグメントは上に凹んでいます。
下へ凹み:これは上への凹みの逆であり、y 値が左から右へと低下し、下への凹みと呼ばれます。
変曲点:変曲点は、機能の凹みが変化するポイントです。たとえば、「上に凹む」から「下に凹む」などです。
極大値または極小変曲点の値は、関数の 2 次導関数によって決まります。これらは、次の基準を使用して認識できます:
f”(x) が -ve の場合、関数 f(x) は x で極大値を持ちます。
関数 f(x) は、f”(x) が +ve の場合、x で極小値を持ちます。
f”(x) =0 の場合、点 x について結論を出すことは不可能です。
二次導関数がこれらの結果を生成する理由を明確にするために、実際の比較が利用される場合があります。急速に加速するが、最初は負の加速度を持つ車両を考えてみましょう。速度がゼロに近づくときの車両の位置は、明らかに開始場所からの最大距離になります。この間隔を超えると、速度が負になり、車両は後退します。
結論
与えられた関数の一次導関数の導関数は、二次導関数です。一次導関数は、特定の位置での勾配の勾配をグラフィカルに表示しますが、二次導関数は、グラフ内の独立変数が変化したときに勾配がどのように変化するかを説明します。勾配が変化する関数の 2 次導関数は、グラフの曲率を説明します。
