固有値方程式

固有値方程式の例 を解く 概念を理解するのに役立ちます。

正方行列の固有値

固有分解定理は、線形代数で使用される非常に一般的な用語で、行列 (正方行列でなければならない) を固有ベクトルと固有値方程式に分解することを意味します。 .

m と n が等しい正方行列 (Am×n) の場合、[A-λI] は固有行列と呼ばれ、未定義のスカラーです。固有行列の行列式は次のように書くことができます

|A- λI|と固有方程式は次のように表すことができます |A- λI| =0.

固有方程式のプロパティ

• 特異な行列は固有値がゼロになることがあります。
• 正方行列がある場合、正方行列の固有方程式を作成する際、λ =0 はその正方行列の固有値ではありません。
• 異なる固有値 (つまり、λ) を持つ固有ベクトルは線形独立です。
• 正方行列 A で、A の固有値が λ の場合、A の転置の固有値は同じ λ になります。
• 正方行列 A で、A の固有値が λ の場合、A の逆数の場合、固有値は λ の逆数になります。

固有値方程式の例 を確認してください これらのプロパティのアプリケーションを理解するために利用できます。

正方行列の固有値方程式と固有ベクトルの適用:

カーステレオシステム:

固有値方程式 さらに、カー ステレオ システムのチューニングにも使用され、音楽によって車の振動を生成するのに役立ちます。これは、共通言語でベースとしても知られています。

*橋のデザイン:

構造橋の調和周波数は、橋をモデル化するシステムの最小値の固有値です。エンジニアはこの情報を利用して、建物の安定性を確保しています。

*機械部品:

固有値方程式と固有ベクトルを使用すると、線形操作またはフローを「最小化」して問題を単純化できます。たとえば、固体のプラスチック オブジェクトに応力がかかると仮定すると、変形は「主方向」に分解できます (主方向とは、変形が最も発生する方向です)。そのため、主方向のベクトルは固有ベクトルと見なすことができ、各主方向で発生する変形量のパーセンテージは固有値として知られています。

*石油会社:

固有値は、ユーザーが特定の方向で利用可能なデータの分散を知るのに役立ちます。そのため、石油会社は、固有方程式からの固有値分析を使用して、石油を探すためにさまざまなタイプの土地を探索することがよくあります。原油、汚れ、およびその他の粒子はすべて、異なる固有値を持つ線形システムにつながるため、固有値分析は石油埋蔵量がどこにあるかを適切に示すことができます。石油会社は現場にプローブを設置し、地面を振動させる巨大なトラックからの波をキャッチします。波は、地面のさまざまな物質を通過するときに変化します。これらの波の分析は、石油会社を掘削可能な場所に導き、運が良ければ石油を手に入れることができます。

固有方程式は、固有値と固有ベクトルを決定するために使用されます。固有値と固有ベクトルは、自然現象を説明するためだけでなく、将来のための新しくより良い設計を発見するためにも使用されます。結果のいくつかは非常に驚くべきものです。限られた材料で屋根の重さを支えられる最強の支柱を作れと言われたら、その支柱はどのような形になるでしょうか？設計にかかる時間を短縮するだけでなく、インフラストラクチャを構築するためのコストと材料を削減するのにも役立ちます。側面からの圧力が大きい場合、この柱は最強の構造にはなりませんが、支柱が屋根を支えている場合、ほとんどの圧力は真上からかかることに注意してください。

結論

物理学および工学における固有値方程式固有値方程式 固有ベクトルを使用すると、線形操作またはフローを「最小化」して問題を単純化できます。たとえば、固体のプラスチック オブジェクトに応力がかかると仮定すると、変形は「主方向」に分解できます。各主方向で発生する変形量のパーセンテージは、固有値として知られています。その用途は、機械部品の設計からカー ステレオ システムまで多岐にわたります。構造設計手法の見直しにも役立ちます