固有値と固有ベクトルは数学の線形代数で使用されますが、物理学では振動解析、単純調和振動子、量子力学、行列対角化、原子軌道に広く使用されます。特に、分子物理学では固有値をイオン化ポテンシャルとして使用します。
物理系には波動関数があります。シュレディンガーの方程式は、物理システムの特定の固有値を得るための解です。したがって、物理学は環境のいたるところにあるように思われるため、これらの 固有値と固有ベクトルの解決済みの問題のメモ を作成しました。 あなたのために。固有値と固有ベクトルが何であるかを説明しようとします。 固有値と固有ベクトルの解決済みの問題にも簡単な手法を使用しました .調べてみましょう。
固有値と固有ベクトルとは?
簡単に言えば、固有値と固有ベクトルは、力学でしばしば役割を果たす固有関数です。固有ベクトルは、応力テンソルで分解できる主軸を表します。固有値は対角線を定義し、固有ベクトルは基底として使用されます。一般的に、固有値は 𝜆 で表される特性スカラー値として定義できます。同時に、Eigenvector はスカラー ファクター、つまり適用された場合の Eigenvalue の影響を受けるベクトルです。固有値は固有ベクトルの方向を変換します。
方程式は次のように表すことができます:
𝑨𝒙=𝜆𝒙
どこで、
A =ベクトル空間からの線形変換
𝜆 =Aの固有値
𝒙 =ベクトル空間 V のベクトル
固有値と固有ベクトルで解決した問題について説明する前に 、固有値と固有ベクトルのアプリケーションについて説明しましょう。
固有値と固有ベクトルの応用
固有値と固有ベクトルの方程式は、システムを通過する光波とマイクロ波に関連する問題を解くときに適用されます。固有ベクトルで頂点の中心性を測定できる場合があります。固有ベクトルは、主成分分析であっても、大規模なデータ セットを調べる手段です。相関行列の固有値は、実際の有意性を決定します。
ここで、この固有値と固有ベクトルの解決済みの問題ノートで固有値を見つける方法を探してください .
固有値を見つける方法
固有値と固有ベクトルによって解決される問題を簡単に理解するには、次の手順に従います。
- アプローチを開始する前に、質問が正方行列 𝑛 × 𝑛 になることを思い出してください。
- 𝑨 が 𝑛 × 𝑛 行列であると仮定します。 𝜆 を A の固有値としましょう。
- 固有ベクトル 𝒙 は、固有値によって引き伸ばされる方向を指すゼロ以外の実数ベクトルになります。
- 線形変換は 𝒚 =𝑨𝒙 であることを思い出してください。
したがって、固有値を見つけるには、線形代数アプローチに従う必要があります。
行列方程式は 𝑨𝒙 =𝜆𝒙
次に、 (𝑨−𝜆𝑰)𝒙 =𝟎
ここで、𝑰 は 𝑛 × 𝑛 単位行列ですが、上記の式は、行列式の値がゼロに等しい場合にのみ考慮する必要があります。
したがって、行列 (𝑨−𝜆𝑰) は特異 ⟹ 𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) =0 です。
(𝑨−𝜆𝑰) を展開すると、𝑝𝜆 =𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) が次数 𝑛 の多項式になります。
固有値と固有ベクトルが解決する問題
ここにいくつかの固有値と固有ベクトルが解決した問題があります .
1 1
問題 1:A が（4 1）の場合 𝜆1 =3, 𝜆2 =-1
→
もし (𝑨−𝜆𝑰) v =0
→ →
次に、v1 と v2 を見つけます。
解決策:
1 1 1 0 x1 0 1 1 1 0 x1 0
（4 1) -3 (0 1) (x2)=(0) ,
（4 1)-(-1) (0 1) (x2)=(0)
1 -3 1 x1 0
（4 1 -3）(x2)=(0) , ( )( ) ( )
4 1 +1 x2 =0
-2 1 x1 0 2 x1 0
（ 4 -2）(x2)=(0) , （ 4 2）(x2)=(0)
-2 x1 +x2 =0 2 x1 +x2 =0
2×1 =x2 2x1 =x2
x1 =1 x1 =-1
x2 2 x2 2
→ 1 → 1
したがって、 v1 =(2), v2 =(-2)
1 2
問題 2:A が（3 -4）の場合、𝜆1、𝜆2 を見つけます。
解決策:私たちが知っているように 𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) =0
1-𝜆 2
したがって、 ( 3 -4-𝜆)
=(1-𝜆)(-4-𝜆)-2-3
=-4-𝜆+ 4𝜆+𝜆2-6
=𝜆2+3𝜆-10
=(𝜆-2)(𝜆+5) =0
したがって、𝜆1 =2、𝜆2 =-5
1 4
問題 3:A が（3 2）の場合𝜆 =5, -2
→
もし (𝑨−𝜆𝑰) v =0
→ →
次に、v1、v2 を見つけます。
解決策:
1 -𝜆 4 x1 1-𝜆 x1
（3 2 -𝜆）(x2) =0 , （3 2 – 𝜆 ) (x2)=0
-4 4 x1 3 x1
（3 2 -5）(x2) =0 , （3 4 ) (x2)=0
1 -4
したがって、 v1 =(1), v2 =(3 )
結論
固有値と固有ベクトルは数学の線形代数で使用されますが、物理学では振動解析、単純調和振動子、量子力学、行列対角化、原子軌道に広く使用されます。特に、分子物理学では固有値をイオン化ポテンシャルとして使用します。
固有値と固有ベクトルは、物理学と化学の両方の興味深いトピックの 1 つです。量子力学では、固有値と固有ベクトルは、ハートリー フォック理論を通じて原子や分子の軌道を決定するのにも役立つ問題を解決しました。これらの固有値と固有ベクトルの問題解決ノートは、システムを通過する光波とマイクロ波に関連する問題で学生を助けることができます。
