確率論と統計では、ベイズ定理 (またはベイズの法則またはベイズの規則) は、事前の情報または条件の知識が提供されると、イベントの可能性が高まると主張します。たとえば、がんが年齢に関連しているとします。その場合、年齢を知らずにがんの可能性を判断する代わりに、ベイズの定理を使用して、がんの可能性をより正確に評価できます。
初等統計では、条件付き確率の概念が導入されています。イベントの条件付き確率は、別のイベントがすでに発生しているという知識に基づいて計算されます。事象 A がすでに発生していると仮定すると、事象 B が発生する条件付き確率は P(B|A) で表されます。
ベイズの定理の意味
ベイズ定理またはベイズ ルールは、イベントの条件付き確率を計算するために統計学および確率論で使用される便利な数式です。ベイズの定理は、状況の事前知識に基づいてイベントの可能性を表します。
Thomas Bayes は、新しい証拠を使用して以前の信念を更新できる方程式を提案することで、これを導入しました。条件付き確率が P(B|A) の場合、ベイズ法を使用して逆確率 P(A|B) を取得できます。
この定理は次のことを述べています:
ランダムな実験または以前のデータが新しい情報または追加情報を提供する場合、確率を変更できます。あいまいさに直面して適切な結論に達するために、ビジネスおよび管理のリーダーは、新しい情報に照らして現在の (所与の) 確率を更新できなければなりません。
P(A|B) =P(B|A) ×P(A) / P(A)
以下は、上記の主張を説明するために使用できる大まかなステートメントです:
P(Ai|B) =P(B|Ai) × P(Ai)i=1n (P(B|Ai) × P(Ai))
P(Ai) は、i 番目の出現確率、Ai です。
派生
条件付き確率の定義によれば、P(A|B)=P(A∩B)P(B)、P(B)≠0であり、P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A)P(A)、つまり
P(A|B) =P(B|A)P(A)P(B)
したがって、イベントのベイズの定理式が導き出されます。
ベイズの定理の証明
ベイズの定理を証明するために、条件付き確率と全確率の式が使用されます。
イベント A の全確率を計算するための証拠が不十分な場合、イベント A に関連する他のイベントを使用してその確率を推定します。他の同様のアクティビティがすでに発生しているという条件で、イベント A が発生する可能性は、条件付き確率として知られています。
(Ei) はサンプル空間 S の分割です。発生したイベントを A とします。 A を (Ei) で表しましょう。
A =A ∩ S
=A ∩ (E1, E2, E3,…,En)
A =(A ∩E1) ∪ (A ∩E2) ∪ (A ∩E3)….∪ ( A ∩En)
P(A) =P[(A ∩E1) ∪ (A ∩E2) ∪ (A ∩E3)….∪ ( A ∩En)]
A と B が互いに素な集合であることがわかります。P(A∪B) =P(A) + P(B)
したがって、P(A) =P(A ∩E1) +P(A ∩E2)+ P(A ∩E3)…..P(A ∩En)
従属事象の乗法定理によると、
P(A) =P(E)。 P(A/E1) + P(E)。 P(A/E2) + P(E)。 P(A/E3)……+ P(A/エン)
したがって、P(A) の全確率 =i=1n P(Ei)P(A|Ei), i=1,2,3,…,n — (1)
ここで、条件付き確率を思い出してください。
P(Ei|A)=P(Ei∩A)/P(A), i=1,2,3,…,n —(2)
P(A|Ei) の条件付き確率の式を入れる
P(Ei∩A) =P(A|Ei)P(Ei) — (3)
式 (1) と (3) を式 (2) に置き換えると、
P(Ei|A)=P(A|Ei)P(Ei)/k=1n P(Ek)P(A|Ek), i=1,2,3,…,n
したがって、ベイズの定理が証明されます。
ベイズの定理に関連する用語
ベイズの定理の式と導出で使用されている概念に関連するいくつかのフレーズの定義を理解しましょう:
- 条件付き確率 – 別のイベント B に基づいてイベント A が発生する確率です。P(A|B) は、イベント B が既に発生した場合に A が発生する可能性を示します。
- 同時確率 – 2 つ以上の事象が同時に発生する確率は、2 つのイベント A と B の P(A∩B) で示される同時確率によって測定されます。
- 確率変数 – 確率変数は、値が偶然に決定される真の変数であり、実験的確率は特定の変数の確率を指します。
- 事後確率 – 関連するすべてのデータを考慮した後に推定される事象の確率であり、条件付き確率とも呼ばれます。
- 事前確率 – 新しい情報が考慮される前に計算されたイベントの確率です。実験の前に、特定の結果の確率が現在の情報に基づいて計算されます。
ベイズの定理ノート
- 条件付き確率は、ベイズの定理を使用して計算されます。
- 2 つの独立した出来事 A と B が発生すると、P(A|B) =P(A) および P(B|A) =P(B)
- 連続確率変数の場合、ベイズの定理で条件付き確率を計算できます。
結論
ベイズの定理には、金融の世界に限定されない幅広いアプリケーションがあります。たとえば、ベイズの定理を使用して、特定の人が病気にかかる可能性と検査の全体的な精度を考慮して、医療検査結果の精度を推定できます。
