2つの量子状態間のオーバーラップ積分、$ | \ psi \ rangle $および$ | \ phi \ rangle $は、次のように与えられます。
$$ \ langle \ psi | \ phi \ rangle =\ int \ psi^*（x）\ phi（x）dx $$
ここでは、$ \ psi^*（x）$および$ \ phi（x）$は、それぞれの状態を表す波動関数の複雑なコンジュゲートであり、統合は状態空間全体で実行されます。
オーバーラップ積分は、0から1の間の値をとることができます。
-0の値は、状態が完全に直交していることを示します（つまり、それらは重複していません）。
-1の値は、状態が同一であることを示します。
- その間の値は部分的なオーバーラップを表し、値が高いほど類似性が大きくなります。
特に複雑な量子システムでは、オーバーラップ積分を分析的に計算することは困難な場合があります。ただし、重複を推定するために使用できる数値的手法と近似手法があります。
量子状態間の重複にはいくつかの重要な意味があります。
状態差別 ：量子システムを測定する場合、特定の結果を取得する確率は、システムの状態と測定演算子の対応する固有状態との間のオーバーラップによって決定されます。
量子干渉 ：量子状態の重複は、干渉効果につながる可能性があります。干渉効果は、重ね合わせ、絡み合い、ダブルスリット実験などの量子現象の基本です。
量子アルゴリズム ：非構造化データベースを検索するためのGroverのアルゴリズムなど、多くの量子アルゴリズムは、状態オーバーラップの概念を利用して、古典的なアルゴリズムよりも指数関数的なスピードアップを実現します。
量子エラー補正 ：オーバーラップ計算は、エンコードされた量子状態間の類似性が悪用され、エラーを検出および修正するために活用されます。
全体として、量子状態間の重複を計算することは、量子システムを理解し操作するための重要なツールであり、研究者と実践者が量子力学の力を探求し、活用できるようにします。
