（a）バルーンの外側の電気強度e（r> r）
Gaussの法則を使用して、バルーンの中心から距離Rで電気強度Eを決定できます。バルーンと同心円状の半径Rの球状ガウス表面を考慮します。電界はどこにでも表面に垂直であり、その大きさは表面上で一定です。したがって、表面を通る電流フラックスは次のように与えられます。
∮_s\（\ overrightArrow e \ cdot d \ overrightArrow a \）=eax4πr^2
表面で囲まれた総電荷はqです。したがって、ガウスの法律によれば、私たちは次のようにしています。
∮_s\（\ overrightArrow e \ cdot d \ overrightArrow a \）=\ frac {q_ {in}} {\ varepsilon_0}
ここで、ε₀は自由空間の誘電率です。上記の方程式を組み合わせて、次のようになります。
$$e≤4πr^2 =\ frac {q} {\ varepsilon_0} $$
$$ e =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {q} {r^2} $$
これは、風船の外側の電気強度の表現です。風船の中心からの距離の正方形と逆に変化します。
（b）バルーン内の電気強度e（r
風船内では、電界はゼロです。これは、電界が風船の表面の電荷によるものであり、風船内に電荷がないためです。
（c）バルーンの外側の電位v（r> r）
バルーンの中心から距離rの電位vは次のように与えられます。
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int \ frac {dq} {r} $$
電荷はバルーンの表面に均一に分布するため、dq =σ対Daを書き込むことができます。σは表面電荷密度であり、DAは表面の面積の要素です。バルーンの総電荷はq =σσ4πr²で、ここで、rはバルーンの半径です。これらをvの方程式に置き換えると、次のようになります。
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_s \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r}対\ int_s da $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r}⋅4πr²$$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} \ frac {1} {r} $$
これは、風船の外側の電位の表現です。風船の中心から距離と逆に変化します。
（d）バルーン内の電位v（r
風船内では、電位は一定であり、次のように与えられます。
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_0^r \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r}⋅4πr²$$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} $$
これは、風船内の電位の表現です。それは一定であり、風船の中心からの距離に依存しません。
