はじめに
1 世紀以上にわたる物理学の大きな進歩はすべて、対称性に関する啓示をもたらしたと言っても過言ではありません。それは、一般相対性理論の黎明期、標準模型の誕生、ヒッグス粒子の探索の際に存在します。
そのため、物理学全般の研究は現在最高潮に達しています。これは、2014 年の論文「一般化された大域対称性」によって始まりました。この論文は、20 世紀の物理学の最も重要な対称性が、今日の物理学者が研究している基本的な理論的枠組みである場の量子論に適用するために、より広範囲に拡張できることを実証しました。
この分野での初期の研究を具体化したこの再定式化により、物理学者が過去 40 年間に行った異種の観察が、実際には同じ隠れた対称性の現れであることが明らかになりました。そうすることで、物理学者が現象を分類して理解するために使用できる組織化原則が作成されました。カリフォルニア大学サンタバーバラ校の物理学者、ナサニエル・クレイグ氏は「これはまさに天才の賜物だ」と語った。
この論文で特定された原理は、「高次の対称性」として知られるようになりました。この名前は、空間内の 1 点にある粒子などの低次元のオブジェクトではなく、線などの高次元のオブジェクトに対称性が適用される方法を反映しています。この論文は、対称性に名前と言語を与え、以前に観察された場所を特定することによって、物理学者に対称性が現れる可能性のある他の場所を探すよう促しました。
物理学者と数学者は、これらの新しい対称性を数学的に解明するために協力しています。そして場合によっては、物理学における他のすべての対称性とは顕著な対照として、対称性が一方通行のように機能することを発見しています。同時に、物理学者は、特定の粒子の崩壊速度から分数量子ホール効果のような新しい相転移に至るまで、幅広い疑問を説明するために対称性を適用しています。
オックスフォード大学の物理学者サクラ・シェーファー・ナメキ氏は、「既知の種類の物理的問題に異なる視点を置くことで、巨大な新領域が開かれただけだ」と述べた。
対称性は重要
潜在的な対称性の広さを単に指摘するだけの論文がなぜこれほど大きな影響を与えることができるのかを理解するには、まず対称性が物理学者の仕事をどのように容易にするかを理解するのに役立ちます。対称性があるということは、追跡する必要がある詳細が少なくなることを意味します。これは、高エネルギー物理学を行っている場合でも、バスルームのタイルを敷いている場合でも同様です。
バスルームのタイルの対称性は空間的な対称性であり、それぞれを回転したり、裏返したり、新しい場所に移動したりすることができます。空間対称性は物理学においても重要な単純化の役割を果たします。それらはアインシュタインの時空理論の中で顕著であり、それらが私たちの宇宙に関係しているという事実は、物理学者が心配することが 1 つ少なくなることを意味します。
「研究室で実験を行っていて、それを回転させても、答えは変わらないはずです」と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所の理論物理学者ネイサン・サイバーグ氏は言います。
今日の物理学で最も重要な対称性は、空間的対称性よりも微妙ですが、同じ意味を持っています。つまり、何かを確実に同じ状態に保つために何かを変換する方法に対する制約です。
1915 年の画期的な洞察により、数学者エミー ネーターは対称性と保存則の関係を定式化しました。たとえば、時間の対称性 (実験を今日実行するか明日実行するかは関係ありません) は、数学的にエネルギー保存則を意味します。回転対称性は角運動量保存則につながります。
「あらゆる保存則は対称性に関連付けられており、あらゆる対称性は保存則に関連付けられています」とサイバーグ氏は述べた。 「よくわかりましたし、とても奥が深いです。」
これは、対称性が物理学者が宇宙を理解するのに役立つ方法の 1 つにすぎません。
物理学者は、あるシステムからの洞察がいつ別のシステムに適用できるかを知るために、類似したものを類似したものに分類して物理システムの分類を作成したいと考えています。対称性は優れた組織化原則です。同じ対称性を示すすべてのシステムは同じバケットに入れられます。
さらに、物理学者がシステムが特定の対称性を持っていることを知っていれば、システムがどのように動作するかを記述する多くの数学的作業を回避できます。対称性はシステムの可能な状態を制約します。つまり、システムを特徴付ける複雑な方程式に対する潜在的な答えが制限されます。
「通常、一部のランダムな物理方程式は解けませんが、十分な対称性があれば、その対称性が考えられる答えを制約します。これが唯一の対称的なものであるため、解はこれでなければならないと言えます。」とカナダ、ウォータールーの理論物理学ペリメーター研究所のテオ ジョンソン フロイド氏は述べています。
対称性は優雅さを伝え、後から考えるとその存在が明らかになることがあります。しかし、物理学者がその影響を特定するまで、関連する現象は区別されたままになる可能性があります。これは、1970 年代初頭から物理学者が行った多数の観察で起こったことです。
フィールドと文字列
20 世紀の物理学の保存則と対称性は、点状粒子を主な対象とします。しかし、現代の場の量子理論では、量子場は最も基本的な物体であり、粒子はこれらの場の変動にすぎません。そして、これらの理論内では、点や粒子を超えて、一次元の線または文字列 (弦理論の文字列とは概念的に区別されます) について考えることが必要になることがよくあります。
1973 年に物理学者は、磁石の極の間に超伝導材料を配置することを含む実験について説明しました。彼らは、磁場の強さを増加させると、磁極間を走る一次元の超伝導糸に沿って粒子が配列することを観察しました。
翌年、ケネス・ウィルソンは、古典的な電磁気学の設定で文字列、つまりウィルソン線を特定しました。陽子を構成する素粒子であるクォーク間に強い力が働く様子にも弦が現れます。クォークをその反クォークから分離すると、それらの間に糸が形成され、それらを再び引き寄せます。
重要なのは、文字列は物理学の多くの分野で重要な役割を果たしているということです。同時に、それらは粒子の観点から表現される伝統的な保存則や対称性とは一致しません。
「現代的なことは、私たちは点の性質だけに興味があるわけではありません。線や文字列の性質にも興味があり、それらの保存則も存在する可能性があります」と、ペリメーター研究所のダヴィデ・ガイオット、カリフォルニア工科大学のアントン・カプースティン、当時高等研究所の博士研究員だったブライアン・ウィレットとともに 2014 年の論文を共同執筆したサイバーグは述べた。
この論文は、粒子の総電荷が常に保存されるのと同じように、弦に沿った電荷を測定し、系が進化しても電荷が保存されたままであることを証明する方法を提示しました。そしてチームは、文字列そのものから注意を移すことでそれを実現しました。
Seiberg と彼の同僚は、1 次元の文字列が表面、つまり 2 次元の平面で囲まれているものとして想像し、紙の上に描かれた線のように見えるようにしました。彼らは、弦に沿って電荷を測定する代わりに、弦を囲む表面全体の総電荷を測定する方法を説明しました。
「本当に新しいのは、帯電した物体を強調し、それを囲む[表面]について考えることです」とシェーファー・ナメキ氏は言いました。
次に、4 人の著者は、システムが進化するにつれて周囲の表面に何が起こるかを検討しました。もしかしたら、最初に測定した完全に平らな表面から反ったり、ねじれたり、その他の変化が生じる可能性があります。次に、表面が変形しても、表面に沿った総電荷は変わらないことを実証しました。
つまり、紙上のすべての点で電荷を測定し、紙を歪めて再度測定すると、同じ数値が得られます。電荷は表面に沿って保存されていると言えます。また、表面は文字列にインデックス付けされているため、最初に使用した文字列の種類に関係なく、文字列に沿って電荷も保存されていると言えます。
「超電導ストリングと強力な力を持つストリングの仕組みはまったく異なりますが、これらのストリングの数学と保存則は全く同じです」とサイバーグ氏は述べた。 「それがこのアイデア全体の美しさです。」
等価サーフェス
表面が変形した後でも同じままである、つまり同じ電荷を持っているという示唆は、トポロジーの数学的分野の概念を反映しています。トポロジーでは、数学者は、一方のサーフェスを裂くことなく他方のサーフェスに変形できるかどうかに基づいて分類します。この観点によれば、ボールを膨らませれば球体が得られるため、完全な球体と偏ったボールは同等です。しかし、球と内側のチューブはそうではありません。内側のチューブを取得するには球を切り裂かなければならないからです。
等価性についての同様の考え方は、文字列の周囲の曲面にも当てはまり、ひいてはそれらの曲面が内部に描かれる場の量子理論にも当てはまります、とサイバーグと彼の共著者らは書いている。彼らは、表面上の電荷を測定する方法をトポロジカル演算子と呼びました。 「トポロジカル」という言葉は、平面と歪んだ表面の間のわずかな変化を見逃してしまう感覚を伝えます。それぞれの電荷を測定し、結果が同じであれば、2 つのシステムがスムーズに相互に変形できることがわかります。
トポロジーを使用すると、数学者は小さな変化を無視して、異なる形状が同じになる基本的な方法に焦点を当てることができます。同様に、より高度な対称性は物理学者に量子システムのインデックス付けの新しい方法を提供すると著者らは結論づけた。これらのシステムは互いにまったく異なって見えるかもしれませんが、深い意味では同じルールに従っている可能性があります。より高度な対称性はそれを検出できます。そしてそれを検出することで、物理学者はよりよく理解されている量子システムに関する知識を取得し、それを他のシステムに適用することができます。
「これらすべての対称性の発展は、量子システムの一連の ID 番号を開発するようなものです」とストーニーブルック大学の理論物理学者 Shu-Heng Shao 氏は述べています。 「一見無関係に見える 2 つの量子システムが同じ一連の対称性を持っていることが判明することがあります。これは、それらが同じ量子システムである可能性を示唆しています。」
量子場の理論における弦と対称性に関するこれらの洗練された洞察にもかかわらず、2014 年の論文では、それらを適用する劇的な方法については詳しく説明されていませんでした。新しい対称性を備えた物理学者は、新たな疑問に答えられることを期待するかもしれませんが、当時、より高度な対称性は、物理学者がすでに知っていたことを再特徴付けるためにすぐに役立つだけでした。ザイバーグ氏は、彼らがそれ以上のことはできなかったことに失望したことを思い出します。
「『キラーアプリが必要だ』と考えて回ったのを覚えています」と彼は言いました。
新しい対称性から新しい数学へ
キラー アプリを作成するには、優れたプログラミング言語が必要です。物理学においては、数学がその言語であり、対称性がどのように連携するかを形式的かつ厳密な方法で説明します。この画期的な論文に続いて、数学者と物理学者は、対称性を記述するために使用される主要な数学的構造であるグループと呼ばれるオブジェクトに関して、より高度な対称性をどのように表現できるかを調査することから始めました。
グループは、形状またはシステムの対称性を組み合わせることができるすべての方法をエンコードします。これは、対称性がどのように機能するかのルールを確立し、対称性の変換後にシステムが最終的にどのような位置になる可能性があるのか (そして、どの位置または状態が決して発生しないのか) を示します。
グループの符号化作業は代数の言語で表現されます。代数方程式を解くときに順序が重要になるのと同じように (4 を 2 で割ることは、2 を 4 で割ることと同じではありません)、群の代数構造は、回転を含む対称変換を適用するときに順序がどのように重要であるかを明らかにします。
「変換間の代数的関係を理解することは、あらゆる応用の先駆けです」とシカゴ大学のクレイ・コルドバ氏は述べています。 「『回転とは何ですか?』を理解するまでは、世界が回転によってどのように制約されているかを理解することはできません。」
メリル・シャーマン/クアンタ・マガジン
これらの関係を調査することで、2 つの別々のチーム (1 つはコルドバとシャオの研究者、もう 1 つはストーニー ブルックと東京大学の研究者が含まれる) は、現実的な量子系であっても、群構造に適合しない非可逆対称性が存在することを発見しました。これは、物理学における他のすべての重要なタイプの対称性が当てはまる特徴です。代わりに、これらの対称性は、対称性を組み合わせる方法についてより緩やかなルールを持つカテゴリと呼ばれる関連オブジェクトによって記述されます。
たとえば、グループでは、すべての対称性が逆対称性、つまり対称性を元に戻し、作用するオブジェクトを開始位置に戻す操作を持つ必要があります。しかし、昨年発表された別の論文で、2 つのグループは、より高次の対称性の一部は非可逆的であること、つまり、一度システムに適用すると、最初の場所には戻れないことを示しました。
この非可逆性は、より高い対称性が量子系を、確率的に同時に 2 つのものである状態の重ね合わせに変換できる方法を反映しています。そこからは、元のシステムに戻ることはできません。高次の対称性と非可逆対称性が相互作用するこのより複雑な方法を捉えるために、ジョンソン・フレイドを含む研究者は、高次融合圏と呼ばれる新しい数学的オブジェクトを開発しました。
「これは、これらすべての対称性の融合と相互作用を記述する数学的体系です」とコルドバ氏は語った。 「それは、それらがどのように相互作用するかについての代数的可能性をすべて教えてくれます。」
高次の融合カテゴリは、数学的に可能な非可逆対称性を定義するのに役立ちますが、特定の物理的状況でどの対称性が役立つかはわかりません。彼らは物理学者が着手する探索のパラメータを確立します。
「物理学者としてエキサイティングなことは、そこから得られる物理学です。それは単なる数学のための数学であるべきではありません。」とシェーファー ナメキ氏は言いました。
早期申請
より高度な対称性を備えた物理学者は、新しい証拠に照らして古い事例を再評価しています。
たとえば、1960 年代に物理学者は、パイオンと呼ばれる粒子の崩壊速度の不一致に気づきました。理論的な計算ではそれは別のことであるはずでしたが、実験の観察では別のことがわかりました。 1969年、2つの論文が、パイオン崩壊を支配する場の量子理論が実際には物理学者が考えていたような対称性を持たないことを示し、緊張を解決したかに見えた。その対称性がなければ、不一致は消えてしまいます。
しかし昨年5月、3人の物理学者が1969年の判決は半分に過ぎないことを証明した。それは、前提とされている対称性が存在しなかっただけではなく、より高度な対称性が存在したのです。そして、これらの対称性が理論的全体像に組み込まれると、予測された崩壊率と観測された崩壊率は正確に一致しました。
「このパイオン崩壊の謎を、対称性の欠如という観点からではなく、新しい種類の対称性の存在という観点から再解釈することができます」と、論文の共著者であるシャオ氏は述べています。
同様の再検討が物性物理学でも行われている。相転移は、物理システムが物質のある状態から別の状態に切り替わるときに発生します。正式なレベルでは、物理学者はこれらの変化を対称性の破れという観点から説明します。つまり、ある段階に関係していた対称性は次の段階では適用されなくなります。
しかし、すべての位相が対称性の破れによってきちんと記述されているわけではありません。 1 つは分数量子ホール効果と呼ばれるもので、電子の自発的な再組織化が関係しますが、明らかな対称性は破れません。このため、相転移の理論内では不快な外れ値となりました。つまり、マサチューセッツ工科大学のシャオガン・ウェン氏による 2018 年の論文で、量子ホール効果が実際に対称性を破るということが証明されるまでは、それは単に従来の対称性ではなかったということです。
「対称性の概念を一般化すると、対称性の破れと考えることができます」とハーバード大学のアシュビン ヴィシュウィナート氏は言います。
これらのより高度で非可逆な対称性の初期の応用、つまりパイオン崩壊率や分数量子ホール効果の理解への応用は、物理学者が予想していたものと比べると控えめなものです。
凝縮物物理学では、研究者は、より高度で非可逆な対称性が、物質の考えられるすべての相を特定して分類するという基本的なタスクに役立つことを期待しています。そして素粒子物理学では、研究者たちは、標準模型を超えて物理学を組織する原理とは何かという、最も大きな未解決の問題の 1 つを解決するために、より高度な対称性に注目しています。
「一貫した量子重力理論から標準模型を導き出したいのですが、これらの対称性が重要な役割を果たします」とペンシルベニア大学のミルジャム・クヴェティック氏は述べています。
対称性についての理解を拡大し、システムを同一にするものについてのより広範な概念を中心に物理学の方向性を完全に再設定するには、しばらく時間がかかるでしょう。非常に多くの物理学者や数学者がこの取り組みに参加しているということは、彼らがこの取り組みには価値があると考えていることを示しています。
「私たちがこれまで知らなかった衝撃的な結果はまだ見ていませんが、このような結果が起こる可能性が非常に高いことに疑いの余地はありません。なぜなら、これは問題について明らかにはるかに優れた考え方だからです。」
訂正: 2023 年 4 月 18 日
回転対称性は、 記事が最初に述べたように、 単なる運動量ではなく、 角運動量の保存を意味します。
