素粒子物理学の中心に隠れている無限の無限を飼いならす方法
素粒子物理学の数学では、すべての計算の結果が無限大になるはずです。物理学者は、方程式の特定の部分を無視するだけでこれを回避します。これは、近似的な答えを提供するアプローチです。しかし、研究者らは「リサージェンス」として知られる技術を使うことで、無限を終わらせ、完全に正確な予測を達成したいと考えている。
トミー・パーカー、Quanta Magazine に登場
はじめに
量子論の中心にある致命的な欠陥を修正する秘密は、1980 年代の 3 冊のあいまいな教科書にあるかもしれません。しかし、物理学者がその中に含まれる変革をもたらす可能性のあるアイデアを見落とすことは許されます。なぜなら、そのボリュームは同時に素人っぽく、威圧的であるように見えるからです。
ジャン・エカルの最高傑作の物理的なコピーが数枚しか残っていないが、それはただの美化されたコピーにしか見えない。濃い黒のインクで走り書きされた特大の数学記号が、きれいに入力された文章を頻繁に中断します。テキストはフランス語でも書かれており、英語圏の研究者にとっては不便です。
数学自体が別の障壁になります。この三部作の 1,110 ページには、オリジナルの数学的オブジェクトや奇妙な造語が満載です。 「トランスシリーズ」、「分析可能な細菌」、「エイリアンの派生」、「加速度加算」など、奇妙な響きの用語がたくさんあります。
ジュネーブ大学の数理物理学者マルコス・マリーニョ氏は、「初めてこれを見て、よほど注意深く読まないと、おかしなことを書いている変人だと思われるかもしれない」と語る。彼は「歴史文書」と呼ぶものを本棚に保管しており、エカル社が開発したツールを毎日使っている。 「もちろん、彼は違います。彼は先見の明のある数学者の一人です。」
彼の先見の明に満ちた数学は、物理学者たちが過去 70 年間多かれ少なかれ無視してきた、概念的な当惑を克服するのにまさに必要なものなのかもしれない。その間に、物理学者は亜原子の世界について息をのむほど正確な予測を立てることを学びました。しかし、これらの予測は、正確ではあるものの、近似値です。絶対的な精度を求めると、教科書的な量子理論は破綻し、無限の答えが得られます。多くの物理学者が数学のゴミだと考える無意味な結果です。
エカルの古い教科書を研究することで、物理学者は、これらの無限の答えには無数の宝物が含まれており、十分な努力をすれば、エカルが開発した数学的ツールを使えば、どんな無限でも、量子の疑問に対する有限で完璧な答えを掘り出すことができるはずであると疑うようになりました。
「確かに、多くの場合、それは非常に見事に機能する」と、「復活」と呼ばれるこの戦略を研究している物理学者マルコ・セローネ氏は言う。 「ある時点でこのプロセスは終了し、目の前にあるのは元の問題に対する正確な解決策です。」
復興コミュニティは小規模ですが、長年にわたって着実に進歩してきました。この技術のプロトタイプでは、粒子の挙動に限定された量子力学で正確な結果が得られました。そして、より洗練された化身により、一部の物理学者は場の量子論、そして最近では弦理論の濁流にさらに踏み込むことができました。しかし、それは復興実践者たちが抱く大きな夢の始まりにすぎません。彼らが目指しているのは、物理理論における無限性についての新しい考え方にほかなりません。それは、理論上、そしておそらく実際にも、私たちの有限の世界によりよく適合するものです。
爆発的な可能性
量子場の理論、つまり電子のような粒子は実際には根底にある量子場の中で持続する波紋であるという概念は、戦後の物理学者に無限と真正面から向き合うことを強いました。
これらの量子場は想像を絶するほど複雑な獣であり、一見何もない空間に一時的な波紋とコヒーレントな波が渦巻いています。これらの通過する波紋は、原則として、いつでも、どんな数でも、どんなエネルギーでも現れる可能性があります。物理学者は、単純な実験であっても正確な結果を理解するために、際限なく続く亜原子の混合を説明する必要があります。
1940 年代、朝永振一郎、ジュリアン シュウィンガー、リチャード ファインマンは皆、量子電磁場の無限の複雑さから有限の答えを得る同等の方法を考案しました。今日、ファインマンのプレゼンテーションで最もよく知られているこの計算は、ますますビザンチン化した量子の可能性のパレードを表す「ファインマン ダイアグラム」の無限の文字列の形をとりました。まず、考えられる最も単純なイベント (たとえば、空間を移動する電子) の図から始めて、電子が磁場中でどれだけ揺れるかなど、測定可能な特性を計算します。次に、電子が一時的に光子を放出し、その場で再吸収するなど、より複雑なシナリオの結果を追加します。次に、摂動理論として知られる広く使用されている数学的手法を使用して、2 つの一時的な波紋、次に 3 つというように続く亜原子のドラマを追加します。
理論上、この特性を計算すると、終わりのない「べき級数」、つまり特定の臨界値を含む方程式が作成されます。これをxと呼びます。 、次に x 2 乗、x 3 乗、x の累乗がますます高くなります。 、すべてに異なる係数を掛けます:
F(x ) =a 0 + a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + … + a 1,000,000x 1,000,000 + ….
電磁場の場合、x の値 は自然の要定数であるアルファであり、1/137 に近い値です。これは勢力の相対的な弱さにふさわしい小さな数であり、この小さな数をさらに大きな累乗にすると、条件は急速に縮小します。
ファインマン図は物理学者に各項の係数、a を与えます。 は計算が難しい部分です。電子の「g 因子」の計算を考えてみましょう。これは、粒子が磁場内で揺れる様子に関連する数値です。最も単純なファインマン図はを提供します。 0、これは正確に 2 に等しい。しかし、最初の一時的なリップルが現れる、もう少し複雑なファインマン線図を考える場合は、a を計算する必要があります。 1 ターム、そしてそこが無限が頭をもたげているところです。朝永、シュウィンガー、ファインマンは、この用語を有限にする方法を考え出しました。電子の g 因子の約 2.002 という彼らの計算は、その世代の実験測定と一致し、場の量子理論が意味をなす可能性があることを証明し、3 人は 1965 年のノーベル物理学賞を受賞しました。
彼らのアプローチはまた、新しい時代を切り開きました。物理学者は、 より多くの計算を行うために、これまで以上に高いファインマン図の山を登る必要がありました。 さん。それらの山々は急峻で、スピードが速くなります。 2017 年、ある物理学者が 20 年に及ぶ熱のこもった作業を完了しました。これは、891 個のファインマン線図から毛深い方程式を計算する必要があった、電子の g 因子の正確な計算です。その結果、シリーズの第 5 期だけが明らかになりました。
ファインマン図は現代物理学において依然として非常に重要です。電子の巨大な親戚であるミューオンに関する同様の、しかしより複雑な計算のコレクションが 2021 年に見出しを飾りました。実験により、理論的予測と 10 進数 8 桁の差異が明らかになりました。このささやかな異常は、ファインマンと彼の同僚たちの仕事によって成長したそびえ立つ建造物の向こうに何があるのかを見るための最大の希望の 1 つを表しています。
しかし、この一連の実験的勝利は、心の底では場の量子論へのこのアプローチ方法が実際にはまったく機能していないという事実を隠してきました。
ファインマン図の崩壊
もう一人の戦後の先駆者であるフリーマン・ダイソンは、摂動量子論がおそらく破滅する運命にあることを認識した最初の物理学者でした。時は 1952 年で、他の人がファインマンのべき級数の最初の数項を小さく有限にできるという事実を祝っていた一方で、ダイソンは残りの級数について心配していました。
物理学者たちは、ファインマン図による電磁場の扱いが数学者の言うところの「収束」になるだろうと素朴に期待していた。収束級数では、後続の各項は前の項よりもはるかに小さく、項が多いほど合計は 1 つの有限数に収束します。対照的に、系列は「発散」することもあります。つまり、後の期間は初期の期間よりも大きくなり、系列は際限なく増加します。合計は「発散」し、明らかに意味のある答えは得られません。
ファインマンの和の最初の項は実際に縮小しました - アルファの小さな値の結果です - そしてダイソン自身も当初、摂動量子電磁気学は全体的に収束するはずであると結論付けました。
しかしその後、ダイソンは数学的推論と物理的推論を組み合わせて、シリーズの運命についてより洗練された推測を行いました。数学的に考えると、ダイソンは、x のとき、収束べき級数がより速く収束することを知っていました。 より高次の項 (x のべき乗が関係する) が大きくなるため、 は小さくなります。 ) より早く縮小します。
しかし、彼がxを許可したとき ゼロを通過するには、すべてがバラバラになってしまいました。
その理由は、正と負の電荷を持つ一時的なリップルのペアを常に生成する真空に関係しています。通常、それらの波紋は互いに引き付け合って消えていきます。しかし、アルファが負になると、それらの波紋は互いに押し広げられ、実際の粒子になります。無からの粒子の継続的な噴出は、ダイソンの言葉を借りれば、宇宙のメルトダウン、つまり「真空の爆発的崩壊」を引き起こすでしょう。
物理的には、マイナスのアルファは問題になります。しかし、数学的には、x の符号は は無関係です:系列が小さな負の x で発散する場合 この場合、小さな正の x についても発散するはずです。 。したがって、小さな正のアルファ (つまり 1/137) の場合、系列も発散するはずです。ダイソンの壊滅的な物理的状況は、ファインマンの有名な量子電磁気の扱い方が、最終的には無限を予言したことを暗示していました。
メリル・シャーマン/クアンタ・マガジン
今日、物理学者は、量子電気力学 (電磁気学の場の量子理論と呼ばれる) が第 137 項あたりで発散し始めると予想しています。それはおそらくです。 138x 138 は a よりも大きい可能性があります 137x 137 であり、それを合計に含めると、予測の精度が高くなるどころか、精度が低くなります。
問題は、より高次の項がファインマン図の数の爆発的な増加 (階乗増加) につながることです。つまり、a を計算することになります。 9 には、およそ 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (約 362,880) 個の図とaの図が必要になります。 10 では、約 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800) 個の図が必要になります。図のこの階乗増加は、a に寄与します。 最終的にはアルファの力の縮小を打ち破り、その合計は無限に向かって無制限に増大するでしょう。
ほとんどの物理学者にとって、最も単純な場の量子理論でさえ避けられない発散は、10億年ほどで太陽が死ぬのと同じような抽象的な問題のままです。シリーズの 10 期でさえ SF のように思える現在、テストどころか計算も、100 期をはるかに超えたところに潜む危険について心配する必要はありません。
しかし、選ばれた少数の人にとっては、現代物理学で最もよく理解されている理論が、あなたが尋ねたいと思うかもしれないどんな質問に対しても、技術的には無限の答えをもたらすという事実は、依然として非常に不安なままです。 「たとえ無限の計算リソースがあっても、原理的には世界をシミュレートする方法がわかりません」と、ファインマン図を超える新しい方法を研究しているボストン大学の物理学者エマニュエル・カッツは述べています。
悪魔の分岐
一方、数学者たちは、ダイソンが量子論について心配し始める前に、1 世紀以上にわたって発散級数について困惑していました。
ニールス・ヘンリック・アベルは 1828 年に「発散級数は悪魔の発明であり、それに基づいて実証するのは恥ずべきことです。」「ほとんどの場合、結果は妥当であり、それは真実ですが、奇妙なことです。私はその理由を探しています。」
アベルは翌年、26 歳で亡くなりました。しかし、世紀の終わり近くに、アンリ ポアンカレは、分岐シリーズの何が非常に滑りやすいのかを理解するために重要な一歩を踏み出しました。分岐シリーズは悪魔的なものではなく、単に不完全だったということです。
ポアンカレは、3 つの天体がどのようにして互いに軌道を周回するのかという長年の疑問を取り上げていました。彼は、1世紀後にファインマンとダイソンが量子場に遭遇したときと同じように、摂動理論を使用して問題に取り組み始めました。ポアンカレは、無限に長い単純な単位の合計を使用して、3 つの物体の軌跡を記述する、おそらく複雑な謎の関数を構築しようとしました。これは、単純なレゴのピースから車を組み立てるのと似たプロセスです。期待は、この級数が有限の答えに収束すること、つまりその級数が固有の関数を完全に表現していることを示すものでした。
最初、彼は成功したと思った。 1890 年、スウェーデンとノルウェーのオスカル 2 世国王は、この有名な問題に対する進歩を讃え、ポアンカレに賞を授与しました。しかし、彼の解決策が出版される直前に、彼は国王に出版を止めるよう求めた。シリーズは多岐にわたりました。さらなる分析（これはカオス理論の基礎を築きます）により、それが1つではなく2つの異なる関数と一致することが明らかになりました。それは物理学者にとってはよく知られた複雑な問題でした。
セントルイスのワシントン大学の数理物理学者であるカール ベンダーは、物理学における摂動級数の多くの項を計算し、その挙動を研究しました。
カール・ベンダー提供
ワシントン大学（セントルイス）の著名な数理物理学者、カール・ベンダー氏は、「もしあなたが興味を持っている物理学の問題が実際に収束系列に関連しているとしたら、それは完全な奇跡だ」と語る。 (今日、物理学者は、3 つの天体が無数の非常に異なる方法で相互作用する可能性があり、単純な方程式にすべての可能性を含めることはできないことを知っています。)
ベンダーは、ポアンカレが遭遇した一種の発散級数を関数のぼやけたビューに例えています。レゴ車両の塊状のシルエットがあらゆるスポーツカーにマッチするのと同じように、ぼかしは多くの可能な機能に対応します。複雑な関数をそのような「漸近」系列に拡張すると、「情報が失われる」とベンダー氏は述べています。
ポアンカレの時代以来、数学者や物理学者は、他の種類の項、つまり最も小さなべき乗項よりもさらに小さな「あらゆるオーダーを超えた」項があることを認識するようになりました。これらの「指数的に小さい」用語は、e の形式で表すことができます。 (−1/x ）、たとえば、失われた情報を提供します。それらをシリーズに含め、適切な「再開」手順を選択してシリーズを有限にすると、すべてではないにしても、一部のぼやけを取り除くことができます。これらは、フェラーリとランボルギーニを見分けるのに必要なナノレゴ ブロックです。
物理学者はこれらの追加項を「非摂動項」と呼びます。これは、これらの項が摂動理論の範囲を超えているためです。ファインマン図を描き、a を計算するには、1 兆年を費やすことができます。 そして、これらの非摂動的な用語でエンコードされた特定の物理的出来事について学ぶことは決してありません。これらの小さな用語で説明される効果は稀であるか微妙かもしれませんが、現実の世界では劇的な変化をもたらす可能性があります。
たとえば、粒子の波状の挙動を説明する量子力学のシュレディンガー方程式を考えてみましょう。これは複雑な方程式であり、物理学者は摂動理論を使用して近似することがよくあります。結果として得られる無限系列は多くの実験を見事に予測していますが、粒子が本質的にバリアを通ってテレポートするトンネリングとして知られる、非常に起こりそうにない (しかし不可能ではない) イベントを完全に見逃しています。
トンネルは量子物理学における多くの非摂動現象の 1 つですが、非摂動効果はあらゆる場所に存在します。雪片の分岐成長、穴のあるパイプを通る液体の流れ、太陽系の惑星の軌道、丸い島の間に閉じ込められた波のさざ波、その他無数の物理現象は非摂動です。
「それらは存在しており、極めて重要です」とダラム大学の物理学者ダニエレ・ドリゴニ氏は言う。 「摂動理論だけでは十分ではありません。」
その普遍的な性質により、多くの数学者や物理学者が、非摂動項の計算方法というメタ問題のさまざまな側面に取り組んできました。そして 20 世紀の終わりに向けて、さまざまな研究者が摂動系列が必要以上に多くのことを知っているようだという興味深いヒントを発見し始めました。
これらの研究者の中で、1980 年代にフランスのサクレー核研究センターのグループは、量子力学におけるトンネル効果の正確な結果を得るために、摂動的なべき乗項と非摂動的な指数項を組み合わせる方法の開発に貢献しました。彼らの技術は、ボレル再開として知られる世紀初頭の重要な数学的技術に依存できる限りにおいては機能しました。ボレル再開は、発散系列から有限数を取得するための当時最も強力なツールでしたが、限界がありました。時々、間違った結果や矛盾する結果が得られ、1 つのシリーズが 1 つの実験の結果を正確に予測することを期待していた物理学者をイライラさせました。
「物理学者は、ボレル加算可能ではない系列を発見すると、基本的に諦めるでしょう」とマリーニョ氏は言いました。
彼らには知られていないが、サクレイのグループからわずか数マイル離れたところで孤立して研究している風変わりな数学者が、漸近級数の無限に高い峰の前例のない探査をすでに開始していた。
ファインマン図の逆襲
ジャン・エカルは、10 代の頃から無限の数学に魅了されてきました。彼は、高校時代のある夏、渓流のほとりでリラックスし、微分演算のより一般的なバージョンがあるのではないかと考えたことを思い出します。これは、生徒が初等微積分で最初に学ぶ無限小の演習です。
教育を続けるうちに、エカルは一人で働くことに慣れてきました。彼は、仲間の数学者の考え方が確立されたマンネリに引きずり込まれることを恐れて、彼らの著作を読むことさえ避けようとしました。
「私は数学の文献に没頭するのを嫌います」とエカルさんは言う。 「また、数学文献に深く没頭しすぎると創造性が抑制される傾向があることも何度も観察しました。」
2014 年、現代復興理論の父であるジャン・エカルと、その主要な実践者の 2 人、ミタット・ウンサル (左) とリカルド・スキッパが両脇を固める。
ミハイル・シフマン
1970 年代初頭、エカルは好奇心に駆られてポアンカレの足跡をたどりました。彼は、天体の研究で生じたさらに抽象的な数学的対象を分析し始めました。途中で漸近級数が現れ、高校時代に彼が推測したより一般的な導関数も同様に現れました。エカルは最終的に、「最も見込みがなく不定形に見える状況、つまり発散から自然発生的に生じる、正確で輪郭のはっきりした構造、つまり異質な微積分」と表現したものを開発することになります。
エカルのエイリアン微積分は抽象的で多面的です。しかし、それが最終的に遭遇することになる物理学者に与えたメッセージは明らかでした。摂動系列は、たとえ分岐していても、非摂動情報の完全なライブラリを隠します。このシリーズには、ぼやけを取り除き、対応する独自の機能の鮮明なイメージを復元する方法でアップグレードするために必要なすべてが含まれています。結局のところ、ブロック状のレゴ ブロックで十分なのかもしれません。
その深刻な影響にもかかわらず、エカルの仕事は最初は低迷しました。それは物理学者にとって（フランス語圏の物理学者であっても）あまりにも曖昧で抽象的すぎました。そして、それは数学者の目に留まるほど厳密ではありませんでした。
「彼は、すべての事件に関する詳細な証拠は重要ではないと考える天才の一人です。本当に重要なのは全体像です。」とマリーニョは言いました。
エカルは、1976 年に最初に 3 つの論文で復活の中核概念を概略的に描き、1981 年から 1985 年にかけて 3 冊の教科書を執筆し、その中で復活の異質な計算を徹底的に説明しました。彼らは数学雑誌に掲載されることはありませんでした。代わりに、彼は手で方程式を埋めながら、大学の数学部を通じて三部作を出版しました。
もし物理学者たちが彼の著書をすぐに掘り下げることができていたら、彼らの経験は知的地球外文明との接触と何ら変わらなかったでしょう。彼らは、これまでよりも何光年も早く数学的機械に出会っていたでしょう。
「復活というのは非常に派手なことだ」とベンダー氏は語った。しかし、できるだけ簡単に言うと、実務者は漸近級数 (たとえば、ファインマン線図を使用して計算) の遠い項を掘り下げ、固有の関数 (たとえば、トンネリングを記述する関数) を指定するために必要な欠落部分を明らかにすることができます。つまり、摂動理論で記述される物理的事象と非摂動項で記述される物理的事象を結び付ける橋が明らかになります。 「それは非常に複雑な関係です」とベンダーは言いましたが、それを説明しようとすることを丁重に拒否しました。
現在76歳のエカルさんがクアンタ・ マガジンから連絡を受けたとき。 復活の歴史についての質問に対して、彼はこのテーマに関する 24 ページの論文を 6 日間で作成して答えました。これは、復活とその発展についてのさらなる情報を求めている研究者にとっては嬉しいことです。 「これは宝物です」と、パリの天力学研究所の数学者であり、エコール解読者として有名なデビッド・ソーザン氏は言いました。
以下に、このアプローチの非常に大まかな漫画版を示します。
まず、典型的な摂動級数を書き出します。用語は最初は縮小しますが、 最終的にはaとして急速に成長します。 は本当に大きくなります。 a の成長をプロットします。 と、階乗増加にほぼ一致する (正確ではないが) 速度で上昇していることがわかります。 a によってなぞられた線の違いを調べてください。 と、ナノレゴ ブロックの中で最大の最初の非摂動項を学習するために階乗的に成長する曲線です。
しかし、それはほんの始まりにすぎません。 Borel 再開の最初のステップを適用します。これにより階乗増加が排除され、摂動項の動作をより詳細に確認できるようになります。変更された a の結果のプロット は飛躍的に成長するはずです。しかし、注意深く調べてみると、摂動データが少しずれていることがわかります。この偏差は、最初の非摂動項を乗算する、まったく新しい漸近系列から得られます。
手順は続行されます。摂動データから指数関数的な増加を取り除くと、鋭い観察力があれば、2 番目の非摂動項を明らかにするさらなる逸脱を見つけることができるかもしれません。よく見ると、この非摂動項にはさらに別の漸近系列が含まれていることがわかります。
結局のところ、漸近系列が付加された非摂動項はいくつでも存在する可能性があります。お腹の空く限りこれらを見つければ、トランスシリーズと呼ばれるオブジェクトが手に入るでしょう。トランスシリーズはおなじみの摂動シリーズから始まります。次に、非摂動項 (シリーズ付き) が来て、さらに次から次へと続きます。
エコールのトランスシリーズは、以前物理学者を悩ませていたボレル再開の困難を克服しました。電子の g 因子など、何らかの測定値を記述する経時系列を知っている場合は、ボレル再開により 1 つの正しい答えが得られます。さらに、リサージェンスは、トランスシリーズの先頭にあるおなじみの摂動シリーズの微妙な逸脱が、その後に続く潜在的に無限のパレードについて知るべきすべてを物語っていると断言します。
この数学的構図は、物理学者にとって 2 つの顕著な結果をもたらします。まず、量子場やその他の複雑なシステムについては、単なる近似ではなく正確な結果が存在する可能性があることを示唆しています。もしそうであれば、量子論は有限かつ合理的なものとして確立されるでしょう。
「場の量子論において、実際に物事は復活する可能性があるということを確立できれば、大きな進歩となるだろう」とセローネ氏は述べた。
第二に、非摂動的な部分の潜在的に無限の組み合わせは、その発散がダイソンを悩ませた摂動的な系列から完全に演繹できることを示唆しています。何十年もの間、物理学の独立した領域のように見えていたものは、実際には密接に関連しています。
「摂動級数を分岐して多くの問題を引き起こすものとして考えるのではなく、それは非常に複雑で魅力的な世界への入り口にすぎません。」
とマリーニョは言いました。実際、それが復活という名前の由来である、ノースカロライナ大学チャペルヒル校の物理学者ギョクチェ・バシャール氏は、「摂動級数の後期項の挙動が非摂動項で『復活』する」と述べている。複雑ではあるが、「むしろ美しい」と彼は言いました。
物理学への突入
エカルの発見、つまり摂動理論を通じて非摂動的な知識に秘密裏にアクセスできるという認識は、徐々に数理物理学の世界に浸透してきました。そこでは、物理学者がすでにこの理論を使用して、21 世紀で最も熱心に研究されている 2 つの理論、つまり強い力の理論とひも理論に隠された新しい部分を特定しています。
ノースカロライナ州立大学の物理学者であるミタット・ウンサル氏は、クォークを結び付けて陽子やその他の粒子を形成する強い力を理解することにキャリアの多くを捧げてきた。 2008 年、分岐シリーズに関する 1993 年の記事で復活について読んだ後、彼はエカルの作品の概要を探しました。 「私のフランス語は非常に汚いですが、推奨用語が記載された英語の序文がありました」とウンサルさんは思い出します。 「私はそれをマスターし、理解しようと努めました。」
その後、彼はカンファレンスでコネチカット大学のジェラルド・ダンと会い、コーヒーを飲みながら話をしているときに、同じ記事が二人とも自分自身で復活を教え始めるきっかけとなったことを発見した。彼らは力を合わせることにしました。
両方の物理学者は、ダイソンとファインマンが直面しているものよりもさらに複雑なものを理解しようとしているという事実によって動機付けられました。それらの物理学者は電磁場の開発に成功しました。アルファはわずか 1/137 と非常に弱いです。もう 1 つの基本的な力である弱い相互作用も、アルファのバージョンがさらに 10,000 分の 1 小さいため、同様に簡単に制御できることが判明しました。これら 2 つの力は非常に弱いため、摂動理論が偶然にも機能します。なぜなら、それらはまるで存在しないかのようだからです。
コネチカット大学の物理学者であるジェラルド ダンは、場の量子論の計算においてリサージェンスを実用化する方法を模索しています。
ブリー・ディアス
しかし、物理学者がこの強い力に立ち向かおうとしたとき、その幸運は終わりました。この強力な力は電磁力の約 100 倍、アルファ値は約 1 であり、無視できません。 1 を 2 乗または 3 乗しても縮小効果はまったく生じないため、摂動級数は最初の項から無限に向かって真っすぐに進みます。物理学者たちは、スーパーコンピューターを使用して強い力を処理する代替方法の開発に数十年を費やし、その過程で目覚ましい成果を達成しました。しかし、数値計算では、強い力がどのように作用するのかについてはあまり洞察が得られません。
ウンサルとダンは、発散系列を制御する力を持つリサージェンスが、紙と鉛筆で強い力を理解するという夢に向けて一歩を踏み出せる可能性があることを認識しました。特に、彼らは強い力の理論を 40 年間悩ませてきた謎を解くことに着手しました。
1979 年、物理学者のジェラルド・ト・ホーフトとジョルジョ・パリシは、強い力の計算に小さく奇妙な項が存在することを推測しました。彼らはそれらをレノーマロンと呼びましたが、誰もそれをどう解釈すればよいのか分かりませんでした。レノーマロンは、特定の波紋やその他の具体的なフィールドの動作に対応しているようには見えませんでした。しかし、計算をめちゃくちゃにしていたのです。
ウンサルとダンは復活してレノーマルロンに取り組みました。たとえ強力な力の 2D アナログで作業していたとしても、完成にはおよそ 1 年かかりました。しかし 2012 年に、彼らは、少なくとも単純化したモデルにおいては、フーフトとパリシの繰り込み関数が物理学者が理解している挙動と一致しないことを示しました。
ハーバード大学の物理学者ジョーダン・コトラー氏は、「彼らは謎を解き、レノーマルロンが何に対応するのかを突き止めることができた」と述べたが、他にもまだ謎が残っていると付け加えた。彼は現在、強い力のより現実的な理論でこれらの謎の一部を理解するために、同様の試みを行っています。
しかし昨年、研究者らは復活を利用してさらにしわを加えた。マリーニョと彼の共同研究者らは、より厳密な計算を実行し（ただし、これも単純化された理論で）、同グループがト・ホーフトとパリシの「標準的な伝承」と呼んでいるものを超える新しい反復法を発見した。マリーニョ氏は現在、レノルマロンは非摂動的な氷山の一角にすぎないと疑っている。リサージェンスやその他の非摂動的な手法は、物理学者が個々の数学用語を特定の事象に一致させるという歴史的な成功によって台無しにされてきたことを明らかにするかもしれない。彼の言うことが正しければ、量子の世界はいつか今よりもさらに視覚化することが難しくなるかもしれません。
「この図、つまり 1 つの物体に対する 1 つの指数関数が一般的な場の理論で通用するかどうかは疑問です」と彼は言う。 「もしかしたら、指数関数的補正の世界は本当にワイルドなものになるかもしれません。」
マリーニョはまた、ひも理論における新しい非摂動効果、宇宙が点状の粒子でできているのではなく、ひもなどの拡張されたオブジェクトで構成されているという推測的で証明されていない概念の発見においても重要な役割を果たしています。このような糸の揺れが、私たちが観察する粒子の性質を決定するでしょう。
弦理論は、量子理論と同様に、通常、ますます複雑な方法で結合および分割する弦を表す、ファインマンのような一連の摂動的な図として扱われます。しかし、量子理論家とは異なり、弦理論家には理論の非摂動効果へのわずかなガイドさえありません。彼らは、量子論にトンネリングとレノーマルロンが含まれているのと同じように、弦理論の完全な非摂動的定式化にもドラゴンが含まれていると想定しています。
One striking example of non-perturbative phenomena in string theory — sheetlike objects known as D-branes — was discovered in the 1990s. D-branes would later spur some of string theory’s biggest developments.
Mariño wondered what else might be out there.
He was part of a group that in 2010 noticed a series of negative counterparts hiding in the shadow of the D-brane terms. It wasn’t clear what physical phenomenon these partner terms might describe.
A clue came six years later, when Cumrun Vafa of Harvard and his collaborators explored a generalized string theory where certain quantities could go negative. They found D-branes with negative tension — the brane version of having negative mass. These exotic beasts warped the structure of reality around them, creating multiple dimensions of time and violating the fundamental principle that probabilities must always add up to 100%. But the group found no indication that these objects should escape from their bizarro world and show up in standard string theory.
Now Ricardo Schiappa, a friend of Mariño’s and a theoretical physicist at the University of Lisbon, believes he’s found evidence otherwise. In recent months, Schiappa and his collaborators used resurgence to scrutinize a handful of simple string theory models. They found that Vafa’s negative-tension D-branes exactly matched the exponentially small terms that Mariño had found in 2010. Negative D-branes are unavoidable partners of D-branes, the group argued in a January preprint. “What we have discovered now is that they are fundamental for perturbation theory,” Schiappa said.
Other theorists aren’t yet sure what to make of the fresh finding. Vafa notes that Schiappa’s crew did their calculations in stripped-down string models, and that the result isn’t guaranteed to hold in more sophisticated formulations. But if it does, and if string theory actually describes our universe, it must contain some other way of stopping negative D-branes from forming.
“They shouldn’t be there as a regular object in that theory,” Vafa said. Otherwise, “this opens a whole Pandora’s box of puzzles.”
Black Swans and Other Anomalies
Despite their progress in spotting renormalons and negative branes, physicists cite two formidable obstacles to crowning resurgence the official successor to perturbation theory.
First, not all theories have been proved to have resurgent structure. The question is particularly acute for quantum field theories, which physicists have been checking on a case-by-case basis. It’s a painstaking process, a bit like studying mammals one species at a time. After observing humans, dolphins and cats, you might start to feel confident that live birth is a universal mammalian feature. But there’s always the chance that around the next corner you’ll find a platypus laying an egg.
That’s why Serone has devoted the last three years to stress-testing resurgence in certain quantum field theories. In 2021, he and his collaborators studied a theory that shares key features with the strong force but is still simple enough to allow them to calculate the many a ’s needed to perform resurgence. They calculated the energy of empty space in such a universe using resurgence and two other methods, showing that all three agreed. There have been qualitative arguments that resurgence should hold in quantum field theory, but this was one of the first concrete calculations, kindling further optimism.
“In most of the cases it has been tested so far, either resurgence works, or we have good reasons to believe we understand when it doesn’t,” Serone said.
The graver problem is that to spot nonperturbative pieces, you need to know a frightening number of perturbative terms. In his recent research, for instance, Serone picked quantum field theories with mathematical backdoors that let him generate thousands of terms. But for the strong force, calculating just eight or nine is currently out of the question. Even pioneers of the method don’t mince their words about when they expect to see it produce a real number like the mass of the proton (a mathematical feat worth a million-dollar prize).
“It’s extremely difficult,” Ünsal said, sighing. “I don’t see an immediate way.”
“What Écalle was saying is that the answer is rigorously there in principle. But to actually get the answer is really, really hard,” Bender said. “My advice would be, don’t stand on one foot while you’re waiting.”
A New Hope
But the daunting difficulty hasn’t killed the dream of trying to get real predictions out of resurgence. For one thing, the technique has already produced otherwise unobtainable results in quantum mechanics. Back in the 1980s, the French mathematical physicists at Saclay used proto-resurgent methods to make an exact prediction for particle tunneling — a problem that physicists had previously only been able to approximate. Dunne and Ünsal have done similar pen-and-paper calculations using the more refined tools of Écalle. Another group has checked these results using standard methods. They were only able to get as far as six decimal places — a Herculean effort that took months of time and substantial computer power.
Such dramatic examples have motivated Dunne to develop hyper-efficient ways of practicing resurgence, in the hopes of someday porting them to quantum field theories. Over the last five years, together with Ovidiu Costin, a mathematician at Ohio State University, he has found techniques that get more bang for the perturbative buck. In some cases (which are still far from the real-world theories), they’ve found that just 10 to 15 terms suffice. “That number could have come out to be 1,000, and I would have given up and gone somewhere else,” he said. “It’s kind of tantalizing.”
Dunne and Costin’s work has even managed to catch the eye of Écalle himself. The founder of resurgence hasn’t closely followed the waves his work set off, calling himself “an accomplished ignoramus in theoretical physics.” Nevertheless, while worrying that any work on speculative models such as string theory may be “built on quicksand,” he praises the researchers’ efforts to give resurgence a mathematical tune-up.
“Even if the physical ground gives way, the impressive math results of, say, O. Costin and G. Dunne are there to stay,” he said.
For Écalle, resurgence is something of a past chapter. Nearly 40 years have passed since his original trilogy. He continued to develop alien calculus until around 2000, and he has spent the last 20 years exploring a more algebraic offshoot. Should he ever decide to publish a sequel trilogy gathering all his findings in one place, who knows what treasures physicists will find within.
“I think he has discovered many tools that are still to be explored,” Mariño said.
Correction: April 7, 2023
Jean Écalle is 76 years old, not 73.
The Quanta Newsletter
Get highlights of the most important news delivered to your email inbox
Also in Physics
Comment on this article
Next article
Animal Mutation Rates Reveal Traits That Speed Evolution
