天体力学は、数学と物理学の交差点にある分野であり、主な目標は、質量や電荷などの物理的属性によって特徴付けられる任意の数の物体の運動を記述することです。前の要因に依存する法則によって互いに相互作用します。これは通常、粒子系と呼ばれます。
粒子のシステムで作業を開始するには、関係する物体のジオメトリとプロパティが確立されると、次のステップは物体の相互作用の法則を表す正確な数学的関数です。これはポテンシャル関数と呼ばれます。この時点で、位置、速度、加速度を含む連立方程式が得られます。以上のことから、このような問題に取り組むことに興味がある人は、祈り始めるしかないかもしれません…
天体力学におけるより一般的な状況研究は、N 体問題として知られています。ここで、N 点の質量、つまり、完全に球形で、m1 , …, mN d の場合に最も関心がありますが、d 次元のユークリッド空間を移動します。 =2 と 3. 質量の位置が x1 と書かれている場合 , x2 , …, xN ,
そして rij =∥xi − xj ∥ 質量 i 間の距離を示す と j .物体間の相互作用は、ニュートン ポテンシャルによって与えられます。
方程式は次のとおりです。
式 (2) は通常 N と呼ばれます -物体方程式、ニュートン方程式、または N -身体の問題 (Meyer et al., 2009)。 N の歴史 体の問題は、ニュートンからポアンカレに至るまで、最も優秀な頭脳の何人かによってほぼ 3 世紀にわたって貢献されてきました。しかし、これはこの問題の最も魅力的な特徴ではありません。
結局のところ、式 (2) は N =1 についてのみ解かれています。 そして N =2 、しかし N -ボディの問題は、3 つ以上のボディを考慮する場合に未解決の問題です。天体の力学に魅了された人なら誰でも、宇宙を移動する 3 つの物体の構成を想像し始めることができます。たとえば、3 つの星、星、惑星、衛星、ヘリウム原子の原子核とその 2 つの電子などです。前に述べたように、これらの点の空間位置は 3 つのベクトル x1 で表されます。 , x2 , x3 、およびオブジェクトの質量は m1 で表されます , m2 , m3 .質量は xi の位置になるように移動します 時間の関数です t .
これらの条件下では、式 (2) は次のように書き換えられます。
右辺には、ニュートンの万有引力定数である非常に有名な物理定数を掛ける必要があります。 em>G .しかし、数学では、再スケーリングによって G を設定することができました =1. N の場合 =1 および N =2 は微積分のいくつかの単純なツールを使用して、物体の軌道がある種の円錐曲線であるに違いないことを証明しましたが、N について =3、考えられるすべての軌道は?
前の質問は非常に難しいので、質量が等しい、物体の特定の構成など、特定の状況でしか答えを得ることができませんでした。これらの特別な配置の 1 つは Euler と Lagrange によって確立され、「相対平衡の問題」と呼ばれます。これは、回転系で物体が平衡を保つ配置、または位置ベクトルと加速度ベクトルが比例する配置です。同じ比例定数です。
この特定の問題は、一般的な N にぎこちなく似ています。 -本体の問題、N はまだ開いているため ≥ 6. しかし、そのような構成の複数のアプリケーション、特に空間旅行の軌道の設計において、Steve Smale は 21 世紀に解決されるべき問題のリストに含めるよう動機づけられました (Smale, 2000)。このリストでは、6 番目の問題で述べたように、天力学における相対平衡の数の有限性を証明する必要があります。
相対的均衡、またはより一般的には、N の何らかの結果を見つける 体の問題は、数学的に興味深いだけでなく、応用においても非常に重要です。したがって、粒子系の記述は可能な限り正確でなければなりませんが、式 (1) のポテンシャル関数は球体に対してのみ機能します。さらに、古典力学の方程式では、たとえば水星の近日点前進の挙動を説明できないことがわかっています。では、何ができるでしょうか？ 2 つの質問が表示されます:
1. 地球を周回する衛星をモデル化する方法 (たとえば)、地球や一般的な惑星は完全な球形の物体にはほど遠いことを知っている
2. ニュートン力学を一般化する物理理論は一般相対性理論です。それでは、これを使って、惑星系やクエーサー、銀河、ブラック ホールなどの天体のダイナミクスをよりよく説明してみませんか?
最初の質問への答えは、特定の問題ごとに潜在的な関数を見つける必要があるということです。これは、偏微分方程式の難しい問題であるポアソン方程式を解くことによって行われます。この方程式から、最も単純なポテンシャル関数は球体間の相互作用であることが知られています (Arredondo et al., 2012)。
2 番目の質問については、ニュートン力学とは異なり、一般相対性理論では、2 体問題の最も単純なケースでさえ解決できません。
上記の障害を克服する方法は、問題の継続的で古典的な説明を求めることですが、有効な可能性があります:実験的観測と一致する可能性関数です。これを行うと、N が得られます -物体間の相互作用が次の形式のポテンシャルによって記述される物体問題:
ここで r は物体間の距離で、 A、B、α そしてβ は正の定数です。この種のポテンシャルは準同次と呼ばれます。式 (4) は、Birkhoff、Manev、Van der Waals、Libhoff、Schwarzschild、Lennard-Jones、古典的な Newton、Coulomb ( Sthephani et al., 2003).
これらのポテンシャルのいずれかを使用すると、式 (2) はニュートン ポテンシャルよりも難しくなります。これは、ケプラー問題でさえ解析的な解がないためです。これらすべてにより、回答を得るためのツールをより深く探す必要があります。この探索は非常に困難な道のりですが、報酬は素晴らしいものです。
これらの調査結果は、雑誌 Advances in Space Research に最近掲載された準均質平面三体問題における相対平衡というタイトルの記事で説明されています。 .この作業は、Fundación Universitaria Konrad Lorenz の John A. Arredondo によって実施されました。
