2016 年の穏やかな秋の日、ハンガリーの数学者 Gábor Domokos は、フィラデルフィアにある地球物理学者 Douglas Jerolmack の玄関先に到着しました。 Domokos は彼のスーツケース、ひどい風邪、そして燃えるような秘密を持ち歩いていました。
ジェロルマックの妻がタコのカートを走らせていた家の裏の砂利道を、二人の男が歩いて渡った。彼らの足は砕けた石灰岩の上でガクガクと音を立てていました。ドモコスは下を向いた。
「これらの砂利には、それぞれいくつのファセットがありますか?」彼は言った。それから彼はニヤリと笑った。 「その数は常に6前後だと言ったらどうしますか？」それから彼は、より大きな質問をしました。それは、同僚の脳に食い込むことを望んでいたものです。世界が立方体でできているとしたら?
最初、ジェロマックは反対した。家はレンガで作れますが、地球は岩でできています。岩が違うのは当たり前。マイカフレークがシートになります。結晶は、明確に定義された軸で割れます。しかし、ドモコス氏によると、ランダムに壊れた岩石は、平均して 6 つの面と 8 つの頂点を持つ形に割れることになるということです。一緒に考えると、それらはすべて、一種の理想的な立方体に収束する影のような近似になります.ドモコスはそれを数学的に証明した、と彼は言った。今、彼は、これが自然が行うことであることを示すために、ジェロルマックの助けが必要でした.
ペンシルバニア大学のジェロルマック教授は、「それは、本質的に物理学が関与することなく、自然界で裏付けられた正確な予測を伴う幾何学でした. 「一体どうして自然はこんなことをさせたのだろう?」
次の数年間、ペアは、微細な破片から岩の露頭、惑星の表面、さらにはプラトンの ティマイオス まで、幾何学的なビジョンを追い求めました。 、神秘主義の追加の空気でプロジェクトを満たします。紀元前 360 年頃に執筆した基本的なギリシャの哲学者は、彼の 5 つのプラトン立体を、地球、空気、火、水、星などの 5 つの想定される要素と一致させていました。先見の明か運か、あるいはその両方が少しでもあれば、プラトンは、最も積み上げやすい形の立方体と地球を組み合わせました。 「私は、オーケー、今は少し形而上学的になってきました」とジェロルマックは言いました.
しかし、彼らは自然の立方体の平均と、同じ理論で説明できるいくつかの非立方体を見つけ続けました。彼らは最終的に新しい数学的フレームワークにたどり着きました。それは、すべてのものがどのようにバラバラになるかを表現する記述言語です。彼らの論文が今年初めに出版されたとき、そのタイトルは特に難解なハリー ポッターの小説のようでした。「プラトンの立方体と断片化の自然幾何学」
Quanta から連絡を受けた数人の地球物理学者 同じ数学的フレームワークが、ひびの入った崖面からの浸食の理解や、危険な岩の滑りの防止などの問題にも役立つ可能性があると述べています。エジンバラ大学の地形学者であるミカエル・アタル氏は、この論文を出版前にレビューした 2 人の科学者のうちの 1 人であると述べています。もう 1 人のレビュアーであるヴァンダービルトの地球物理学者 David Furbish 氏は、「このような論文を見て考えさせられます。これらのアイデアを何らかの形で利用できないか?」
考えられるすべての休憩
フィラデルフィアに来るずっと前から、Domokos はもっと無害な数学の問題を抱えていました。
何かを多くの断片に分割するとします。これでモザイクが作成されました。これは、古代ローマの浴場の床のように、オーバーラップやギャップなしで並べて並べることができる形状のコレクションです。さらに、これらの形状はすべて凸状で、へこみはないとします。
まず Domokos は、そのようなモザイクを構成する平均的な形状をジオメトリだけで予測できるかどうかを確認したいと考えました。それから彼は、あなたが見つけることができる他のすべての形のコレクションを説明できるようにしたいと考えました.
2 次元では、何も壊さずにこれを試すことができます。一枚の紙を取ります。ページを 2 つに分割するランダムなスライスを作成します。次に、これら 2 つのポリゴンのそれぞれを通る別のランダム スライスを作成します。このランダムなプロセスをあと数回繰り返します。次に、すべての紙切れの頂点の数を数えて平均します。
幾何学の学生にとって、答えを予測することはそれほど難しくありません。 「2時間以内にその式を導くことができるビールの箱に賭けます」とドモコスは言いました.断片は、4 つの頂点と 4 つの側面を平均し、長方形に平均化する必要があります。
同じ問題を 3 次元で考えることもできます。約 50 年前、ロシアの核物理学者で反体制活動家であり、ノーベル平和賞受賞者のアンドレイ・ドミトリエヴィチ・サハロフは、妻と一緒にキャベツの頭を切り刻んでいたときに、同じ問題を提起しました。キャベツの切れ端には、平均でいくつの頂点が必要ですか?サハロフはこの問題をソ連の伝説的な数学者ウラジーミル・イゴレヴィチ・アーノルドと学生に伝えた。しかし、それを解決するための彼らの努力は不完全であり、ほとんど忘れられていました.
この研究を知らずに、ドモコスは立方体を答えとする証明を書きました。しかし、彼は再確認したかった.同じ問題に対する答えがすでに存在する場合、ドイツの数学者ヴォルフガング・ヴァイルと80歳の巨人であるロルフ・シュナイダーによって不可解なボリュームに閉じ込められるのではないかと彼は疑った.幾何学の分野。 Domokos はプロの数学者ですが、彼でさえ、このテキストは気が遠くなるようなものでした.
「本のその部分を喜んで読んで、それを人間の言葉に翻訳してくれる人を見つけました」とドモコスは言いました。彼は任意の数の次元の定理を見つけました。これにより、立方体が実際に 3D の答えであることが確認されました。
これで、ドモコスは、平面または 3 次元ブロックを分割することによって生成された平均的な形状になりました。しかし、その後、より大きなクエストが発生しました。 Domokos は、平均だけでなく可能性の数学的記述も開発できることに気付きました。何かがバラバラになったときに、数学的に可能な形の集合はどれでしょうか?
何かがバラバラになった後の形はモザイクだということを忘れないでください。重なりや隙間なくぴったりとはまります。たとえば、これらのカットアップされた長方形を簡単にタイル状に並べて、モザイクを 2 次元で塗りつぶすことができます。数学者がボロノイ パターンと呼ぶ理想化されたケースでは、六角形も同様です。でも五角形？オクタゴン？並べて表示しません。
モザイクを適切に分類するために、Domokos はモザイクを 2 つの数字で記述し始めました。 1 つ目は、セルあたりの頂点の平均数です。 2 番目は、各頂点を共有する異なるセルの平均数です。たとえば、六角形のバス タイルのモザイクでは、各セルは 6 つの頂点を持つ六角形です。各頂点は 3 つの六角形で共有されます。
モザイクでは、これら 2 つのパラメーターの特定の組み合わせのみが機能し、何かがばらばらになった結果として生じる可能性のある形状の狭い範囲を形成します。
繰り返しになりますが、この完全なスワスは、2 次元ではかなり簡単に見つけることができますが、3 次元でははるかに困難です。もちろん、立方体は 3D でうまく積み上げられますが、ボロノイ パターンの 3D バージョンを形成するものなど、形状の他の組み合わせも同様です。問題を実行可能に保つために、Domokos は、同じ頂点を共有する整然とした凸状のセルを含むモザイクのみに制限しました。最終的に、彼と数学者のジョルト・ランギは、このようなすべての可能な 3 次元モザイクの曲線をスケッチする新しい予想を考案しました。 Experimental Mathematics に掲載されました 、そして「それから、もちろん神であるロルフ・シュナイダーにすべてを送りました」とドモコスは言いました.
「私がこの推測に至った経緯を説明してほしいかと彼に尋ねましたが、彼は知っていると言って安心させてくれました」と Domokos は笑いながら言いました。 「それは、どのジャーナルに受け入れられるよりも 100 倍も意味がありました。」
さらに重要なことは、Domokos にフレームワークができたことです。数学は、表面とブロックが侵入する可能性のあるすべてのパターンを分類する方法を提供しました。ジオメトリはまた、平らな表面をランダムに断片化すると、大まかな長方形に分割され、同じことを 3 次元で行うと、大まかな立方体が生成されることも予測しました.
しかし、少数の数学者以外の誰にとっても重要なことであるために、Domokos は、これらの同じ規則が現実の世界に現れることを証明しなければなりませんでした。
幾何学から地質学へ
Domokos が 2016 年にフィラデルフィアを飛び回ったとき、彼はすでに現実の問題についてある程度の進歩を遂げていました。彼とブダペスト工科経済大学の同僚たちは、ブダペストのハルマシャタレジ山の崖から浸食されたドロマイトの破片を集めていました。数日間にわたって、立方体に対する普遍的な陰謀についての前提を持たないラボの技術者は、何百もの粒子の面と頂点を丹念に数えました。平均して？ 6 つの面、8 つの頂点。コンピューター シミュレーションの専門家である János Török とフラグメンテーション物理学の専門家である Ferenc Kun と協力して、Domokos は石膏や石灰岩などの岩石の種類にも立方体の平均が現れることを発見しました。
数学と初期の物理的証拠を使用して、ドモコスは彼のアイデアを唖然としたジェロマックに売り込みました。 「どういうわけか、彼は呪文を唱え、他のすべてが一瞬消えます」とジェロルマックは言いました.
彼らの同盟はおなじみのものでした。数年前、Domokos は Gömböc の存在を証明したことで有名になりました。Gömböc は、どのように押しても直立した静止位置に回転する奇妙な 3 次元形状です。 Gömböcs が自然界に存在するかどうかを確認するために、彼は、地球と火星の小石の丸みを説明するためにこの概念を適用するのを手伝った Jerolmack を採用しました。 Domokos は再び高尚な数学的概念を文字通りの石に変換する助けを求めていました.
二人は新たな計画を立てた。プラトンの立方体が実際に自然界に出現することを証明するには、幾何学と数握りの岩の間の単なる偶然の反響以上のものを示す必要がありました。彼らはすべての岩石を検討し、抽象的な数学がどのようにして複雑な地球物理学に浸透し、さらに厄介な現実に到達するかについて、説得力のある理論をスケッチする必要がありました.
最初は、「すべてうまくいっているように見えました」とジェロルマックは言いました。 Domokos の数学は、岩の破片が平均すると立方体になると予測していました。実際の岩の破片の数が増えて、満足しているように見えました。しかし、Jerolmack はすぐに、理論を証明するには規則違反のケースにも立ち向かう必要があることに気付きました。
結局、同じジオメトリが、2 次元と 3 次元の両方に存在する可能性のある他の多くのモザイク パターンを説明する語彙を提供しました。頭のてっぺんから、ジェロルマックは、長方形や立方体のようにはまったく見えないが、それでもこの大きな空間に分類できるいくつかの現実世界の破砕岩を思い描くことができました.
おそらく、これらの例は立方体世界理論を完全に沈めるでしょう。より有望なのは、おそらくそれらは異なる状況でのみ発生し、地質学者に別の教訓をもたらすでしょう. 「私は、それがどこでも機能するわけではないことを知っていると言いました。その理由を知る必要があります」とジェロマックは言いました.
次の数年間、ジェロルマックとチームの残りのメンバーは、大西洋の両側で作業を行い、ドモコスの枠組みの中で壊れた岩の実際の例がどこに該当するかを計画し始めました。チームが本質的に 2 次元の表面システム (アラスカのひび割れ永久凍土、ドロマイト露頭、露出した花崗岩ブロックのひび) を調査したところ、スライスした紙のように、平均 4 つの辺と 4 つの頂点を持つポリゴンが見つかりました。 .これらの地質学的ケースのそれぞれは、岩石が単純に割れた場所に現れたようです。ここでドモコスの予想は的中しました。
一方、別のタイプの破砕されたスラブは、ジェロルマックが望んでいたものであることが証明されました。それは、独自のストーリーを持つ例外です。乾燥し、ひびが入り、濡れ、治癒し、再びひび割れする干潟は、おおよそ六角形のボロノイ パターンに従って、平均 6 つの側面と 6 つの頂点を持つセルを持ちます。表面から下方に凝固する冷却溶岩からできた岩石は、同様の外観を呈する可能性があります。
言うまでもなく、これらのシステムは、岩を押し込むのではなく、岩を外側に引っ張るという、異なるタイプの応力の下で形成される傾向がありました。幾何学は地質学を明らかにしました。そして、Jerolmack と Domokos は、このボロノイ パターンは比較的まれではあるものの、以前に考えていたよりもはるかに大きな規模で発生する可能性があると考えました.
地殻を数える
プロジェクトの途中で、チームはブダペストで集まり、より自然な例を取り入れるために疾走する 3 日間を疾走しました。すぐに、ジェロルマックは自分のコンピューターで新しいパターンを引き出しました。それは、地球の構造プレートがどのように組み合わさるかのモザイクです。プレートは、地球表面のほぼ二次元の皮膚であるリソスフェアに閉じ込められています。パターンはおなじみのようで、Jerolmack は他のメンバーを呼び出しました。 「私たちは、ああ、すごい」と彼は言いました。
肉眼では、プレートは長方形ではなく、ボロノイ パターンに沿っているように見えました。それからチームは数えました。平面上の六角形の完全なボロノイ モザイクでは、各セルに 6 つの頂点があります。実際の構造プレートは平均 5.77 頂点でした。
地球物理学者にとって、それは祝うのに十分近いものでした。数学者にとっては、それほどではありません。 「ダグは機嫌がよかった。彼は必死に働いていた」とドモコスは語った。 「ギャップのことばかり考えていたので、次の日は気分が落ち込んでいました。」
Domokos は一晩家に帰りましたが、違いはまだ彼を悩ませていました。彼は再び数字を書き留めた。そして、それは彼を襲った。六角形のモザイクは平面を並べることができます。しかし、少なくとも YouTube の特定のコーナーの外では、地球は平面ではありません。六角形と五角形の両方で覆われたサッカー ボールを考えてみてください。 Domokos は、球体の表面の数値を計算し、地球上ではボロノイ モザイク セルが平均 5.77 頂点であることを発見しました。
この洞察は、研究者が地球物理学の主要な未解決の問題に答えるのに役立つかもしれません:地球の構造プレートはどのように形成されたのでしょうか? 1 つの考えでは、プレートはマントルの奥深くで発生する対流セルの副産物に過ぎないと考えられています。しかし、これに反対する陣営は、地球の地殻は別個のシステムであると主張しています。観測されたプレートのボロノイ パターンは、はるかに小さな干潟を連想させ、2 番目の議論を支持する可能性があると Jerolmack 氏は述べています。 「それが、その論文がいかに重要であるかを私に認識させた理由でもあります」とアタルは言いました。 「本当に驚異的です。」
明らかなブレイク
一方、3 次元では、立方体規則の例外はほとんどありませんでした。また、異常な外向きの引っ張り力をシミュレートすることで、それらも生成できます。北アイルランドの海岸には、独特の非立方体の岩層があり、波が何万もの玄武岩の柱に打ち寄せています。アイルランド語では、これは Clochán na bhFomhórach であり、超自然的な存在の種族の足がかりです。英語名はジャイアンツ コーズウェイです。
重要なことに、これらの柱や他の同様の火山岩層は六面体です。しかし、Török のシミュレーションは、火山岩が冷えたときに生成された 2 次元のボロノイ ベースから単純に成長した 3 次元構造として、ジャイアンツ コーズウェイのようなモザイクを生成しました。
ズームアウトすると、チームは、プラトン長方形、2D ボロノイ パターン、そして圧倒的に 3 次元のプラトン キューブだけを使用して、ほとんどの実際の砕石モザイクを分類できると主張しています。これらのパターンのそれぞれが、地質学的ストーリーを語ることができます。そして、はい、適切な警告があれば、世界は立方体でできていると本当に言えます.
ノースカロライナ大学シャーロット校の地球科学者、マーサ・ケーリー・エペス氏は、「彼らは、モデル化された形を現実と照らし合わせて精査するために十分な注意を払いました」と述べています。 「私の最初の懐疑心は和らぎました。」
「数学は、私たちが岩石を破砕し始めるとき、それをランダムに行うか決定論的に行うかにかかわらず、特定の一連の可能性しかないことを示しています」とファービッシュは言いました。 「それはどれほど賢いのですか?」
具体的には、おそらく、実際の断片化されたフィールド サイトを取得し、頂点や面などを数え上げて、原因となっている地質学的状況について何かを推測できるようにすることができます.
ペンシルバニア州立大学の地形学者であるローマン・ディビアス氏は、「このように考えることができるデータがある場所があります。 「ジャイアンツ・コーズウェイよりも微妙なものを識別し、ハンマーで岩を叩いて破片がどのように見えるかを確認できれば、それは本当に素晴らしい結果になるでしょう。」
ジェロルマックに関して言えば、プラトンとの偶然のつながりに最初は違和感を覚えた後、彼はそれを受け入れるようになった.結局、ギリシアの哲学者は、理想的な幾何学的形態は宇宙を理解する上で中心的であるが、常に見えず、歪んだ影としてのみ見えると提案した.
「これは文字通り、私たちが考えることができる最も直接的な例です。これらすべての観察結果の統計的平均が立方体です」と、Jerolmack 氏は述べています。
「でも立方体は決して存在しません。」
この記事はに転載されました Wired.com .
