世界最大の未解決の数学的問題の 1 つがついに解決されました。 Caltech の Institute for Quantum Information and Matter (IQIM) の量子物理学者である Spiros Michalakis と Microsoft の研究者である Matthew Hastings は、「量子ホール効果」に関連する数学的問題を決定的に解決したと評価されています。非常に低い温度で整数値をとる材料の電気伝導率。
この数学的問題は、1999 年にプリンストン大学の物理学者 Michael Aizenman によって最初に提案された 13 の未解決の物理問題の 1 つです。現在までに、これが 13 の問題の中で最初に決定的に解決されたとマークされ、他の 1 つが部分的に解決されたとマークされました。
最初は 2015 年に公開されましたが、Michalakis と Hastings によって提示された 40 ページに及ぶ密集した数学的証明は、数学コミュニティによって消化されるまでに時間がかかりました。 2018 年 4 月のニュースレターで、International Association for Mathematical Physics (IAMP) は、この問題が正式に解決されたことを発表しました。このソリューションは、物理学の領域における数学的理論化の力と優雅さを劇的に示しているため、重要です。物理学は非常に数学的で抽象的な分野であることが注目され、物理学の多くの進歩は純粋数学の領域からもたらされました。 Michalakis は、この発見が「数理物理学の分野への関心を活性化する」ことを望んでいます。
量子ホール効果:奇妙な電子の振る舞い
オリジナルのホール効果は、1879 年にアメリカの物理学者エドウィン ホールによって最初に記述されました。ホールは、導体電流のベクトルに垂直なベクトルを持つ磁場を導入すると、電気導体の両端に電圧が生成されることに気付きました。この効果の説明は、磁場が電子のまっすぐな経路を偏向させ、電子が導電面の片側に不均衡に蓄積され、電流の流れを横切る導体の両端に電圧が発生することです。最初のホール効果の発見は、電流が陽子ではなく電子の動きから構成されているという最初の実際の証拠を提供したため、注目に値します。
1980 年代、ドイツの物理学者クラウス・フォン・クリツィングによる実験で興味深いことが発見されました。この効果を説明するホールの元の方程式は、ホール材料の電気コンダクタンスが磁場の強さに比例して直線的に増加すると予測していました。しかし、Von Klitzing は、極端に低い温度では電気伝導が起こらないことを発見しました。 磁場の大きさに対して直線的に増加します。代わりに、電気コンダクタンスは段階的に増加し、さまざまな整数値を取りました。 Von Klitzing は、特定の熱力学的限界の下で、ホール導体の電気コンダクタンスが、電流の電子密度に関係なく保持される離散的な量子化された値を取ることを観察しました。 Hasting が指摘しているように、この発見は奇妙です。「これらの不純物は材料内にランダムに分布しているため、コンダクタンスにランダムな影響を与えると思うかもしれませんが、そうではありません。」
問題をより一般的に言えば、古典物理学は電気コンダクタンスが継続的に増加または減少すると予測しています。フォン・リッツィングは、反対に、電流中の電子密度に関係なく、電気コンダクタンスが安定した離散値を取ることを発見しました。この問題は物理学者にとっては驚くべきものであり、ある温度では電子のグループが単一の実体のように振る舞い、1 つのグローバルな特性を示すように思われます。一方、電流は、それぞれが独自のダイナミクスと特性を持つ複数の独立した実体から構成されているというのは常識であり、受け入れられている理論です。デュオによって解決された主な数学的問題は、これらのビューの間のギャップを埋める方法と、変動する量の電子が、Von Klitzing が観察した安定した堅牢なコンダクタンス値をどのように示すことができるかを説明することでした.
解決策
解決策の鍵は、幾何学的表面の数学的特性を記述することに特化した分野であるトポロジーに見出されました。トポロジーが研究することの 1 つは、「トポロジー的不変量」として知られているものです。これは、ジオメトリック サーフェスが特定の変更を加えられても不変のままであるプロパティです。この証明の重要な洞察は、量子ホール効果でも同様のことが起こっているということでした。材料の電気コンダクタンスは、その材料全体の電子密度の変化に対して不変です。
電気工学の一般的な格言は、「電気は抵抗の最も少ない経路をたどる」というものです。電流は本来、最もたどりやすい経路を探します。基本的に、Michalakis と Hastings は、量子ホール システムには、周囲の電子の数に関係なく、特定のスケール (つまり、量子スケール) で電子が常に従うという特徴的な「経路」があることを証明しました。
この点を説明するために、宇宙から地球を観察していると想像してください。そのレベルの解像度では、地球は滑らかで、比較的妨げられずに移動できるように見えます。もちろん、近づくと山や谷など、行く手を阻む障害物が見えてきます。 Michalakis と Hastings が数学的に証明したことは、可能な曲面の幾何学的表面には、くぼみやピークに遭遇しない平坦な「経路」が少なくとも 1 つ存在するということでした。パスが量子ホール システムの表面の周りを一周する回数が、その表面のホール コンダクタンスとまったく同じになるのは、たまたまです。言い換えれば、各ホール導体の表面には、特定の熱力学的限界の下ですべての電子が従う特権的な「経路」があり、安定した整数コンダクタンス値として現れます。ヘイスティングスによれば、「不純物は、世界中を旅するときに「黄金の」道から離れることを決めた小さな迂回路のようなものです。地球一周の回数には影響しません。」
この特定の証明は、抽象的な数学的手法の科学的な豊饒性を再び実証するため、重要です。物理学と数学は長い間密接な関係を共有してきました。その関係は、どちらの分野でも進歩するたびに深まるばかりです。実際、これはまさに、「数学における重大な問題の証明でよくあることですが、解決策は、他のいくつかの重要な問題を解決するための扉を開く新しいアイデアとテクニックにつながります」と宣言したミハラキスの感情のようです。 Michalakis はまた、新しい理解が、量子コンピューティングや超伝導体などの他の量子技術における研究と応用の可能性を切り開く可能性があると主張しています。
