1880 年の数か月間、米国の全域がこれまでにないような依存症に陥りました。 「それは文字通り国中の伝染病になっています」と The Weekly News-Democrat は書いています。 1880 年 3 月 12 日、カンザス州エンポリア。流行はヨーロッパに広がり、オーストラリアとニュージーランドまで広がりました。
病気は新しい強迫観念でした.15パズルと呼ばれるイライラするほど単純な機械的なゲームです.今日でもよく知られているこのタイルは、4 x 4 のグリッドで構成され、15 の番号付きタイルをスライドさせて、番号を順番に並べようとします。
このゲームは今日の基準では古風に見えますが、1880 年には大流行しました。 「その面白い力の下にいるには幼稚すぎる子供はいないし、その魅力から逃れるには元気すぎる、またはあまりにも高い地位にいる人は誰もいない」News-Democrat 書きました. おそらく、フラストレーションは、パズル構成の半分しか解けないという数学的に証明された事実から生じたものです (中毒者には知られていない可能性があります)。
140 年近く経った今、15 パズルが再び注目を集めています。今回は気を散らすものではなく、一見無関係ではるかに複雑なパズル、つまり磁石の仕組みを理解する方法としてです。
冷蔵庫などの永久磁石は、強磁性と呼ばれる現象により磁気を帯びています。強磁性体では、電子のスピンが整列し、集合的に磁場が発生します。より具体的には、鉄、コバルト、ニッケルなどの金属は遍歴強磁性を示します。これは、それらの電子が材料内を自由に動き回ることができるという事実を指します。各電子も固有の磁気モーメントを持っていますが、これらすべての磁気モーメントが磁石内で整列する方法と理由を正確に理解するには、すべての電子間の量子相互作用を計算する必要があり、非常に複雑です。
ジョンズ・ホプキンス大学の物理学者であるイー・リーは、「巡回強磁性は、実際には理論的凝縮物質物理学における最も困難な問題の 1 つです」と述べています。
しかし、Li と 2 人の大学院生、Eric Bobrow と Keaton Stbis は、問題の解決に少し近づいているかもしれません。 15 パズルの数学を使用して、彼らは巡回強磁性の理想化されたケースを説明するよく知られた定理を拡張しました。ジャーナル Physical Review B に掲載された彼らの新しい分析では、 、彼らは定理を拡張してより広くより現実的なシステムを説明し、磁石がどのように機能するかのより厳密なモデルにつながる可能性があります.
「これは美しい論文です」と、カリフォルニア大学サンディエゴ校の物理学者 Daniel Arovas は言いました。 「特に遍歴強磁性体の場合の厳密な結果はかなり少ないため、私はこの研究が本当に気に入っています。」
ホールホップ
最も基本的なレベルでは、金属内の電子は 2 つの大きな制約に従わなければなりません。まず、それらはすべて負に帯電しているため、互いに反発します。さらに、電子は、2 つの粒子が同じ量子状態を占めることはできないという、いわゆるパウリの排他原理に従わなければなりません。これは、電子の磁気モーメントに比例する「スピン」の同じ特性を持つ電子が、金属内の原子の周りで同じ量子状態を占めることができないことを意味します。ただし、反対のスピンを持つ 2 つの電子は可能です。
自由に移動する電子の集団が相互の反発とパウリの排他原理の制約の両方を満たす最も簡単な方法は、それらが離れたままになり、スピンが整列し、強磁性になることであることが判明しました。
しかし、これは単純化されたスケッチにすぎません。個々の電子間の無数の量子相互作用から、整列したスピンのこのような組織化されたパターンがどのように出現するかについての詳細なモデルは、物理学者には解明されていません。たとえば、電子の波動関数 (その量子特性の複雑な数学的記述) は、別の電子の波動関数と絡み合う可能性がある、と Li は説明しました。個々の粒子の挙動が強磁性の集団現象にどのようにつながるかを完全に理解するには、システム内のすべての電子の波動関数を追跡する必要があります。これは、相互の相互作用を通じて他のすべての電子の波動関数を継続的に再形成するためです。実際には、この広範な絡み合いにより、強磁性を説明するために必要な完全で厳密な方程式を書き留めることができなくなります。
代わりに、Li のような物理学者は、強磁性の根底にある物理学を捉えた、より単純な理想化されたモデルを研究することによって洞察を集めようとしています。特に、彼女の最近の研究は、50 年以上前に行われた画期的な発見に基づいています。
1960 年代半ば、地球の反対側から来た 2 人の物理学者が、電子が整列して強磁性状態を作り出す理由を説明する証拠を独自に導き出しました。後に 2016 年にノーベル賞を受賞するケンブリッジ大学の当時の物理学者 David Thouless と、当時の名古屋大学からカリフォルニア大学サンディエゴ校を訪れた物理学者の長岡陽介は、1965 年と 1966 年に証明を発表しました。 、 それぞれ。ナガオカ・サウレスの定理（ナガオカの定理とも呼ばれる）と呼ばれる彼らの結果は、原子格子上の電子の理想化されたシステムに依存しています。そのため、現実世界の磁石を説明するものではありませんでしたが、電子スピンが整列する理由を原理的に初めて示したため、重要でした。そして、彼らの分析は数学的な証明であったため、正確であり、物理学で典型的な近似に負担をかけられませんでした.
定理を理解するには、2 次元の正方格子を想像してください。各頂点は逆スピンの 2 つの電子を収容できますが、定理では、2 つの電子が 1 つのサイトを占有するには無限の量のエネルギーが必要であると想定されています。これにより、各スロットに電子が 1 つだけ存在するようになります。この構成では、各電子は上向きまたは下向きにスピンすることができます。それらは整列する必要がないため、システムは必ずしも強磁性ではありません。
ここで、電子を 1 つ取り出します。残るのはホールと呼ばれる空隙です。隣接する電子が穴に滑り込み、別の空孔が残る可能性があります。別の電子が新しい開口部に飛び込み、別の新しい穴を残すことができます。このようにして、穴はある場所から別の場所へ効果的にホップし、格子の周りを往復します。 Thouless と Nagaoka は、このシナリオでは、正孔を 1 つ追加するだけで、電子が自発的に整列することを発見しました。彼らは、これが最も低いエネルギー状態であり、強磁性であることを証明しました。
システムが最低のエネルギー状態にあるためには、電子スピンの構成を乱すことなく正孔が自由に移動できる必要があり、このプロセスには余分なエネルギーが必要になる、と Arovas 氏は説明した。しかし、正孔が移動すると、電子も移動します。スピンの配置を変えずに電子が移動するには、電子が整列している必要があります。
「長岡の定理は、強磁性のインスタンスを数学的に証明できる数少ない例の 1 つです」と、東京大学の物理学者である押川正樹氏は述べています。 「しかし、物理学の観点からは、非常に人工的です。」
たとえば、2 つの電子が相互の反発を克服して同じ場所に落ち着くには多くのエネルギーが必要ですが、定理が要求するように無限のエネルギーは必要ありません。 Nagaoka-Thouless の図は、単純な格子 (正方形または三角形の 2 次元格子、または 3 次元立方格子) にのみ適用されます。しかし、自然界では、あらゆる種類の構造を持つ多くの金属で強磁性が発生します。
ナガオカ・サウレスの定理が強磁性を本当に説明するなら、それはすべての格子に適用されるはずです。人々はこれが事実である可能性が高いと思っていた、とリーは言った. 「しかし、誰も本当に明確な証拠を示していません。」つまり、今までです。
スピン タイル
1989 年、日本の学習院大学の物理学者、Hal Tasaki は、この定理をいくらか拡張し、格子が連結性と呼ばれる数学的性質を持っている限り適用できることを発見しました。移動穴が 1 つある正方格子の単純なケースを考えてみましょう。穴を動かした後、上向きスピンと下向きスピンの電子の数を維持しながらスピンのすべての構成を作成できる場合、接続条件は満たされています。
しかし、正方格子と三角格子、および 3 次元立方体以外では、接続条件が他の場合に満たされるかどうか、したがって定理がより一般的に適用されるかどうかは明らかではありませんでした。
この問題に取り組むために、Li 氏はまず、6 面のハニカム格子に注目しました。彼女の生徒であるボブロウとストゥビスがこの問題に取り組んでいると、彼らはそれが 19 世紀の強迫観念である 15 パズルに似ていることに気付きました。タイルのラベルを数字からアップスピンまたはダウンスピンに交換するだけで、パズルは電子の格子を移動する穴を備えたナガオカの強磁性体と同等になります。
パズルは、タイルを並べ替えて任意の順序にすることができたときに解決されます。これはまさに接続条件の意味です。そのため、特定のラティスの接続条件が満たされているかどうかは、そのラティス構造で同等のパズルが解けるかどうかの問題になります。
1974 年に、現在カリフォルニア工科大学にいるリチャード ウィルソンという名前の数学者が、すべての格子に対する 15 のパズルを一般化して解決することを発見したことが判明しました。彼の証明の一部として、彼は、ほとんどすべての分離不可能なラティス (1 つの頂点を削除した後でも頂点がリンクされたままのラティス) について、偶数を作成する限り、タイルをスライドさせて任意の構成を取得できることを示しました。動きの。唯一の例外は、三角形よりも大きい単一のポリゴンと、θ0 と呼ばれるものです。 (「シータ ゼロ」) グラフ。六角形の中心にある頂点が 2 つの反対側の頂点に接続されています。
その後、研究者はウィルソンの証明の結果をナガオカ・サウレスの定理に直接適用することができました。電子と単一のホールのシステムについて、2 次元のハニカムや 3 次元のダイヤモンド格子などの一般的な構造を含む、ほぼすべての格子で接続条件が満たされることが証明されました。 2 つの例外 — 三角形より大きいポリゴンと θ0 グラフ — いずれにせよ、現実的な強磁性体に見られるような構造ではありません.
穴爆発
カリフォルニア大学サンタクルーズ校の物理学者、Sriram Shastry は、15 パズルを使用することは新鮮で、潜在的に実り多いアプローチであると述べています。 「彼らが新しい言語、グラフ理論との新しい一連の接続をもたらしたという事実が気に入っています」と彼は言いました。 「つながりは豊かだと思います。将来、豊かな洞察の源になる可能性があります。」しかし、この研究は大きな一歩を踏み出しましたが、問題は残っています。
厄介なことの 1 つは、動く穴が格子の周りをループする際に奇数のステップを取らなければならない場合、ナガオカ-サウレスの定理が常に機能するとは限らないことです、と Shastry は言いました。しかし、おそらく最も明白な問題は、定理が正確に 1 つの穴の存在を必要とすることです。それ以上でもそれ以下でもありません。しかし、金属では穴が豊富で、しばしば格子の半分を埋めます。
しかし、物理学者はこの定理を複数の穴を持つシステムに一般化しようと試みました。数値計算を使用して、物理学者は、ナガオカの強磁性が、最大 30% の穴で満たされた有限サイズの正方格子に対して機能するようであることを示しました。現在の論文では、研究者は、2 次元のハニカム格子と 3 次元のダイヤモンド格子に正確な解析手法を適用しました。ハニカムの場合は 1/2 乗、ダイヤモンドの場合は 2/5 乗の格子サイトの数よりもホールの数が少ない限り、ナガオカの強磁性は存在するようです。
これらの正確な解は、巡回強磁性のより完全なモデルにつながる可能性があります。 「これは、将来の研究のための厳密な数学的出発点を設定するための小さな一歩にすぎません」と Li 氏は述べています。
この記事はに転載されました Wired.com .
