ワイヤでは、電子は非常に複雑な方法で互いに跳ね返るので、何が起こっているのかを正確に追跡する方法はありません.
しかし、過去 50 年間で、数学者と物理学者は、この猛吹雪の動きが洗練された統計パターンに落ち着くことを理解し始めました。電子の移動は、導体では 1 つの統計的形状をとり、絶縁体では別の統計的形状をとります。
少なくとも、それは予感でした。過去半世紀にわたり、数学者はそれを裏付ける数学的モデルを探してきました。彼らは、この美しい統計図が実際に絶対的に当てはまることを証明しようとしています.
そして、昨年の夏にオンラインで投稿された論文では、3 人の数学者がこれまでで最も近いところまで到達しました。その研究で、ニューヨーク大学のポール・ブルゲード、ハーバード大学のホーン・ツァー・ヤウ、およびカリフォルニア大学ロサンゼルス校のジュン・インは、物質が電気を伝導することを証明する「普遍性」と呼ばれる数学的署名の存在を証明しました。
ニュージャージー州プリンストンにある高等研究所の数学者であるトム・スペンサーは、「彼らが示していることは、私が思うに数学的に画期的なことです…まず伝導があり、次に[あなたが]普遍性を持っているということです」と述べました.
この論文は、1960 年代に著名な物理学者 Eugene Wigner によって提唱された量子物理学の壮大なビジョンの最新の検証です。ウィグナーは、量子相互作用が複雑すぎて正確に説明できないことを理解していましたが、それらの相互作用の本質が幅広い統計的ストロークで明らかになることを望んでいました.
この新しい研究は、ウィグナーでさえ驚いたかもしれない程度に、彼の希望が十分に根拠のあるものであることを立証しています.
ユニバーサル ストレンジ
一見孤立した無関係なイベントでさえ、予測可能な統計パターンに陥る可能性があります。たとえば、殺人行為を考えてみましょう。ある人が別の人を殺すように導く状況と感情のシチューは、それぞれの犯罪に固有のものです。それでも、都会の夏の暑さの中で犯罪統計を観察している人は、次の死体がいつ倒れるかを高い精度で予測できます.
独立したイベントがたどる統計パターンには、さまざまな種類があります。最も有名な統計パターンは正規分布です。これはベル カーブの形をしており、相関関係のないさまざまなイベント (人口の身長や SAT のスコアなど) の統計的分布を表します。また、データ セット内の最大数の相対的なサイズを記述する Zipf の法則と、データ セット内の数の最初の桁の分布を特徴付けるベンフォードの法則もあります。
1950 年代、ウィグナーは問題に直面し、それを解決するために新しい統計パターンの助けが必要でした。マンハッタン計画の推進を支援してから 10 年以上経った彼は、ウラン原子核内の何百もの粒子間の相互作用をモデル化したいと考えていました。問題は複雑すぎて直接取り組むことができませんでした。
「大きな原子核は複雑です。第一原理からそれを理解する方法がわかりません」とスペンサーは言いました。
そこで、ウィグナーは問題を単純化しました。彼は、マッピングが難しすぎる個々の粒子の相互作用を無視し、代わりに、より扱いやすいシステム全体の平均的な統計的挙動に注目しました。
ウィグナーは、粒子がどのように相互作用するかを指定する数値のグリッドを使用して、この図を実装しました。このグリッドはマトリックスとして知られています。これは、亜原子粒子の挙動を記述するために使用される方程式であるシュレディンガー方程式の技術的な付録のようなものです。マトリックスの数値を正確に指定することで、相互作用を正確に指定できます。
ウィグナーはそれができなかったので、代わりに行列を乱数で埋めました。彼は、この単純化によって計算を進めることができるようになると同時に、最後にウラン原子核の有用な説明を生成できることを望んでいました.
それはした。ウィグナーは、彼の「ランダム」行列からパターンを抽出できることを発見しました。パターンには固有値と呼ばれる数値の 2 番目のレイヤーが含まれており、これは行列の DNA のようなものです。不可解なことに、彼のランダム行列には固有値が相関していました。数直線上では、固有値はやや規則的な間隔を示しているように見えました — 一緒に集まったり、離れすぎたりすることはありませんでした.それはまるで磁石のように、互いに等間隔に押し合っているかのようでした。結果として得られる分布は、現在、(その発見に貢献した 3 人の物理学者にちなんで) ウィグナー-ダイソン-メータ分布と呼ばれることがよくあります。普遍性と呼ばれる現象を説明しています。
普遍性を感じさせるには、人の背の高さを考えてみてください。現実の世界では、タイムズ スクエアの人混みから一度に 2 人ずつ抜き取り始めた場合、ほぼ同じ身長のペアを見つける可能性は十分にあります。しかし、母集団の身長がウィグナー・ダイソン・メータ分布に従う場合、無作為に選択された 2 人の身長が似ているとはまったく期待できません。身長は、最初の人の身長が 2 番目の人の身長と常に異なるように関連付けられます。
普遍性は、雪崩の頻度と規模、分散型輸送システムにおけるバスのタイミング、さらにはニワトリの網膜の細胞の間隔など、さまざまな種類のものを表しています。一般に、複雑な相関システムに関係します。
ウラン原子核をモデル化したウィグナーの経験から、ランダム行列は、粒子が互いに相関している (すべての粒子が他の粒子に影響を与えることを意味する) 任意の量子系を記述できるはずであるという仮説を立てました。 「ウィグナーの偉大なビジョンは、どんな量子系も取ることができると彼は信じていたことでした。そして、それが高度に相関している場合、その[固有値分布]はランダム行列に似ているでしょう」とヤウは言いました.
(後の研究者は、この状況の裏側を明らかにしました。彼らは、物理系の粒子が絶縁体のように無相関の方法で移動している場合、固有値は「ポアソン」分布に分類されるはずであると推測しました。正規分布)
物質が伝導するとき、それは正にそれらの電子が秩序だった相関関係で相互作用しているからです — まるで足並みをそろえているかのように一緒に移動し、電流を運んでいます。したがって、ウィグナーの予想は、量子系の固有値が普遍性を示す場合、系内の粒子が相関して相互作用し、その系が導体であることの証明になることを示しました.
数学者と物理学者はほとんどすぐに彼のビジョンの詳細を埋め始めましたが、数学者が現実世界の設定で導体の統計に関する事実を証明し始めるには半世紀かかりました.
壊れたシンプルさ
数学者が物理システムのモデルを作成するとき、それらのモデルができるだけ現実的であることを望みます。ウィグナーのウラン原子核のモデルは、ある意味で導体にとってあまり現実的ではありませんでした。すべての粒子が他のすべての粒子と同等に相互作用する可能性が高いという仮定が含まれていました。このモデルでは、材料内で互いに接近している粒子は、離れている粒子よりも相互作用する可能性が高いという事実を考慮していませんでした。 「彼のシステムの粒子はすべて、核と呼ばれるこの小さな領域にしっかりと閉じ込められているため、すべての人が他のすべての人と相互作用し、ウィグナーは空間構造を考慮していませんでした」とスペンサーは言いました.
粒子間の距離を考慮しない物理モデルは、「平均場」モデルと呼ばれます。操作は簡単ですが、物理的な世界とのつながりは希薄です。
「ジオメトリに関する考慮事項はありません。私たちは、媒質中のすべての原子がすべての人に同じように作用するという大きな単純化を行います」とブルゲードは言いました.
10 年前に発表された 2 つの論文で、数学者は導電性材料の固有値がウィグナーの普遍的なパターンに従うことを証明しましたが、その証明は平均場モデルにのみ適用されました。これにより、普遍固有値が非平均場モデルで発生することを証明する、より物理的に関連するケースが未解決のままになりました。このケースでは、粒子はその周囲の粒子とのみ相互作用することが許可されています。
この新しい論文は、ほぼ完全に到達しています。 3 人の著者は、システム内のすべての粒子ではなく、すぐ隣の粒子だけでなく、より多くの粒子と相互作用するモデルを扱っています。このような相互作用を表す行列は、ランダム バンド行列と呼ばれます (「バンド」とは、相互作用が発生する各粒子の周囲のゾーンを指します)。 「バンド マトリックスには、隣人としか話せず、交流がそれほど遠くないという特定の構造があります」と Yau 氏は言います。
著者らは、特定のランダム バンド行列 (バンドが特定の最小幅である行列) の固有値が、平均場行列で観測されたウィグナーの分布に従うことを証明しました。これは、電子が近隣の他の粒子とのみ相互作用するように制限した場合でも、物理システム全体が、ウィグナーが彼のより簡素化されたフレームワークで見つけたのと同じタイプの平均的な統計的挙動 (固有値の分布) を維持していることを意味します。 /P>
「ランダム バンド マトリックス モデルでは、固有値が互いに反発し合うことが証明されました。これは伝導を意味します」と Bourgade 氏は述べています。 Bourgade、Yin、および Yau は、この研究を完全な非平均場の場合に拡張し、伝導とその数学的表現の間の関係を強化したいと考えています。ウィグナーが普遍的に分布する固有値を最初に発見したときは、ありそうもないように思われたかもしれない緊密な連携です。今では避けられないと感じ始めています.
「ウィグナーのビジョンが正しいことに今でも驚いています」とブルゲードはメールに書いています。
