現在プリンストン大学の理論物理学者であるアレクサンダー・ポリアコフは、1981 年に量子論の未来を垣間見ました。弦の小刻みな動きから陽子へのクォークの結合まで、さまざまな謎が、彼が可能なシルエットを持つ新しい数学ツールを必要としていました。
「科学には、明らかに異なる多くの問題のマスターキーとして機能する方法と公式があります」と彼は、Physics Letters B の今では有名な 4 ページの手紙の序文に書いています。 . 「現時点では、ランダムな面で合計を処理する技術を開発する必要があります。」
ポリアコフの提案は強力であることが証明されました。彼の論文では、「リウヴィル フィールド」と呼ばれる非常に混沌としたタイプの表面の平均を計算する方法を大まかに説明する式をスケッチしました。彼の研究は、物理学者を新しい数学的領域に導きました。これは、ストリングと呼ばれる理論上のオブジェクトの動作を解き明かし、量子重力の単純化されたモデルを構築するために不可欠です。
ポリアコフは何年にもわたる苦労の末、物理学の他の理論に対する画期的な解決策にたどり着きましたが、リウヴィル場の背後にある数学を完全に理解することはありませんでした。
しかし、過去 7 年間で、数学者のグループは、多くの研究者が不可能と考えていたことを成し遂げました。画期的な出版物の 3 部作で、彼らは完全に厳密な数学言語を使用してポリアコフの公式を再構築し、リウヴィル フィールドがポリアコフが考えた現象を完璧にモデル化することを証明しました。
フランス国立科学研究センターの数学者であり、エクス マルセイユ大学のレミ ロードス、フランス国立大学のアンティ クピアイネンと共同研究を行ったヴィンセント バルガスは、次のように述べています。ヘルシンキ大学、フランス国立科学研究センターの François David、パリ サクレー大学の Colin Guillamou。
3 つの論文は、数学の原始的な世界と物理学の乱雑な現実との間に架け橋を築き、確率論の数学分野で新境地を切り開くことによってそうしています。この作品は、基礎物理学の主要な理論で中心的な舞台となる物体に関する哲学的問題にも触れています:量子場.
「これは数理物理学の傑作です」と、ペンシルバニア大学の数学者 Xin Sun は言いました。
無限フィールド
今日の物理学では、最も成功した理論の主役はフィールドです。これは、場所ごとに異なる値を取る、空間を満たすオブジェクトです。
たとえば、古典物理学では、力がどのように物体を押しのけるかについて、単一の場がすべてを教えてくれます。地球の磁場を考えてみてください。コンパスの針をひねると、地球上のすべての地点における磁場の影響 (その強さと方向) が明らかになります。
フィールドは量子物理学の中心でもあります。しかし、量子論の深いランダム性のために、ここでの状況はより複雑です。量子の観点からは、地球は 1 つの磁場を生成するのではなく、無数の異なる磁場を生成します。古典物理学で観測される分野とほとんど同じように見えるものもあれば、大きく異なるものもあります.
しかし、物理学者は依然として予測を行いたいと考えています。この場合、登山家がコンパスで読んだものと理想的に一致する予測です。量子場の無限の形を単一の予測に同化することは、「量子場理論」または QFT の手ごわい仕事です。これは、無限のバリエーションを持つ 1 つまたは複数の量子場がどのように作用し、相互作用するかのモデルです。
莫大な実験的サポートに後押しされて、QFT は素粒子物理学の基本的な言語になりました。標準モデルはそのような QFT の 1 つであり、電子のような基本的な粒子を無限の電子場から現れるファジーな隆起として表しています。現在までのすべての実験的テストに合格しています (ただし、さまざまなグループが最初の穴を見つけようとしている可能性があります)。
物理学者は、さまざまな QFT で遊んでいます。標準モデルのように、宇宙の 4 つの次元 (空間の 3 つの次元と時間の 1 つの次元) を移動する実際の粒子をモデル化することを目指しているものもあります。他の人は、2次元の平地から6次元の超世界まで、奇妙な宇宙のエキゾチックな粒子について説明しています。それらの現実とのつながりは遠いですが、物理学者は、それらが私たち自身の世界に持ち帰ることができる洞察を得ることを期待してそれらを研究しています.
Polyakov の Liouville 場の理論はその一例です。
重力場
1800 年代にフランスの数学者 Joseph Liouville によって開発された複素解析の方程式に基づく Liouville フィールドは、完全にランダムな 2 次元表面を表します。つまり、地球の地殻のような表面ですが、すべてのポイントがランダムに選択されます。そのような惑星は、無限の面を持つサイコロを転がすことによって割り当てられた、無限に高い山の山脈で噴火します.
このようなオブジェクトは、物理学の有益なモデルのようには見えないかもしれませんが、ランダム性にはパターンがないわけではありません。たとえば、ベル カーブは、路上で 7 フィートのバスケットボール選手をランダムに追い越す可能性を示しています。同様に、球状の雲としわくちゃの海岸線はランダムなパターンに従いますが、それでも大規模な特徴と小規模な特徴の間の一貫した関係を識別することは可能です.
Liouville 理論を使用して、考えられるすべてのランダムでギザギザの表面の無限の風景のパターンを特定できます。 Polyakov は、この混沌としたトポグラフィーが弦のモデリングに不可欠であることに気付きました。この理論は、二次元世界の量子重力を記述するためにも適用されています。アインシュタインは重力を時空の曲率と定義しましたが、彼の説明を場の量子論の言語に翻訳すると、地球が無限の磁場の集まりを作り出すのと同じように、無限の時空が作成されます。リウヴィル理論は、これらすべての面を 1 つのオブジェクトにまとめます。これにより、ランダムな 2D サーフェス上のあらゆる場所で曲率、つまり重力を測定するためのツールが物理学者に提供されます。
「量子重力は基本的にランダムな幾何学を意味します。量子はランダムを意味し、重力は幾何学を意味するからです」と Sun は言いました。
ポリアコフがランダム サーフェスの世界を探索する最初のステップは、特定のとがった惑星を見つける確率を定義する式を書き留めることでした。ベル カーブが特定の高さの誰かに出会う確率を定義するのと同じです。しかし、彼の式は有用な数値予測にはつながりませんでした.
場の量子論を解くということは、その場を使って観測を予測できるということです。実際には、これはフィールドの「相関関数」を計算することを意味します。これは、あるポイントでのフィールドの測定値が別のポイントでの測定値にどの程度関連するか、または相関するかを記述することによって、フィールドの動作をキャプチャします。たとえば、光子場の相関関数を計算すると、量子電磁気学の教科書的な法則を得ることができます。
ポリアコフは、より抽象的なものを求めていました。それは、雲を雲にしたり、海岸線を海岸線にしたりする統計的関係に似た、ランダムな表面の本質です。彼は、リウヴィル フィールドの無計画な高さの間の相関関係を必要としていました。何十年にもわたって、彼はそれらを計算する 2 つの異なる方法を試みました。彼はファインマン経路積分と呼ばれる手法から始め、最終的にはブートストラップとして知られる回避策を開発しました。新しい研究の背後にいる数学者がより正確な定式化でそれらを統合するまで、両方の方法はさまざまな方法で不十分でした.
追加
量子場がとることができる無限に多くの形態を説明することはほとんど不可能だと想像するかもしれません.そして、あなたは正しいでしょう。 1940 年代、量子物理学のパイオニアであるリチャード ファインマンは、この当惑する状況に対処するための 1 つの処方箋を作成しましたが、その方法は非常に限られていることが判明しました。
繰り返しますが、地球の磁場を考えてみましょう。あなたの目標は、量子場理論を使用して、特定の場所でコンパスを読んだときに観察されるものを予測することです.これを行うために、ファインマンはフィールドのすべてのフォームを一緒に合計することを提案しました。彼は、あなたの読みは、フィールドのすべての可能な形式の平均を表していると主張しました.これらの無限フィールド構成を適切な重み付けで加算する手順は、ファインマン経路積分として知られています。
選択された量子場に対してのみ具体的な答えが得られるというのは、洗練されたアイデアです。一般に、無限に広がる空間をカバーする無限の数のオブジェクトを有意に平均化できる既知の数学的手順はありません。経路積分は、正確な数学的レシピというよりも物理哲学に近いものです。数学者は、有効な操作としてのその存在自体に疑問を呈し、物理学者がそれを信頼する方法に悩まされています.
ドイツのボン大学の数学者である Eveliina Peltola は、次のように述べています。
物理学者は、ファインマンの経路積分を利用して、最も退屈な場、つまり他の場や自分自身とさえ相互作用しない自由場のみの正確な相関関数を計算できます。それ以外の場合は、フィールドが自由であるふりをして、穏やかな相互作用、つまり「摂動」を追加して、ごまかす必要があります。自然の力はたまたま非常に弱いため、摂動理論として知られるこの手順は、標準モデルのほとんどのフィールドの相関関数を取得します。
しかし、ポリアコフにはうまくいきませんでした。彼は当初、Liouville フィールドが穏やかな摂動を追加する標準的なハックに適している可能性があると推測していましたが、それ自体があまりにも強く相互作用することを発見しました。自由場と比較して、Liouville 場は数学的に不可解に見え、その相関関数は達成できないように見えました。
ブートストラップでアップ
Polyakov はすぐに回避策を探し始めました。 1984 年、彼は Alexander Belavin と Alexander Zamolodchikov と協力して、ブートストラップと呼ばれる手法を開発しました。これは、フィールドの相関関数に徐々につながる数学的はしごです。
はしごを登り始めるには、フィールド内のわずか 3 点での測定値間の相関を表す関数が必要です。この「3 点相関関数」に加えて、フィールドの粒子が取り得るエネルギーに関するいくつかの追加情報が、ブートストラップのはしごの一番下の段を形成します。
そこから一度に 1 点ずつ上昇します。3 点関数を使用して 4 点関数を作成し、4 点関数を使用して 5 点関数を作成する、というように。ただし、最初のラングで間違った 3 点相関関数を使用して開始すると、この手順では矛盾する結果が生成されます。
Polyakov、Belavin、および Zamolodchikov は、ブートストラップを使用して、さまざまな単純な QFT 理論をうまく解決しましたが、ファインマン経路積分と同様に、Liouville フィールドに対して機能させることができませんでした。
その後、1990 年代に 2 組の物理学者 — ハラルド・ドルンとハンス・イェルク・オットー、およびザモロドチコフと彼の兄弟アレクセイ — はしごのスケーリングを可能にする 3 点相関関数を突き止め、リウヴィル場を完全に解決しました (そして量子重力の簡単な説明)。彼らの結果は、彼らの頭文字をとって DOZZ 式として知られているため、物理学者はリウビル フィールドに関するあらゆる予測を行うことができます。しかし、著者でさえ、健全な数学を通じてではなく、部分的に偶然に到達したことを知っていました.
「彼らは数式を推測する天才でした」とバルガスは言いました。
知識に基づいた推測は物理学では役に立ちますが、後に DOZZ 式がどこから来たのかを知りたがっていた数学者を満足させるものではありません。 Liouville フィールドを解く方程式は、フィールド自体の何らかの説明から得られたはずです。たとえ、それを取得する方法をまったく知らなかったとしてもです。
「私にはSFのように見えました」とクピアイネンは言いました。 「これは誰にも証明されないでしょう。」
野生の表面を飼いならす
2010 年代初頭、バルガスとクピアイネンは、確率論者のレミ ローズと物理学者のフランソワ ダビッドと力を合わせました。彼らの目標は、リウヴィル体の数学的な未解決の問題を解決することでした — ポリアコフが放棄したファインマン経路積分を形式化し、おそらく、DOZZ 公式を分かりやすく説明することでした.
彼らが始めたとき、彼らは、ジャン=ピエール・カハネという名前のフランスの数学者が、何十年も前に、ポリアコフのマスター理論の鍵となるものを発見していたことに気付きました.
「ある意味で、リウビルが私たちの前に定義されていなかったのは完全に狂っています」とバルガスは言いました. 「すべての材料がそろいました。」
この洞察は、2014 年から 2020 年の間に完成した数理物理学の 3 つの画期的な論文につながりました。
彼らは最初に経路積分を磨き上げましたが、これはリウビル場がそれ自体と強く相互作用し、ファインマンの摂動ツールと互換性がないため、Polyakov が失敗しました。その代わりに、数学者はカハネのアイデアを使用して、野生のリウビル フィールドを、ガウス自由フィールドとして知られるやや穏やかなランダム オブジェクトとして作り直しました。ガウス自由場のピークは、リウヴィル場のピークと同じようにランダムな極端に変動しないため、数学者は平均やその他の統計的尺度を適切な方法で計算できます。
「どういうわけか、すべてガウスの自由場を使用しているだけです」と Peltola 氏は言います。 「そこから、理論のすべてを組み立てることができます。」
2014 年に、彼らは結果を発表しました。Polyakov が 1981 年に書き留めた経路積分の新しく改良されたバージョンですが、信頼できるガウスの自由場に関して完全に定義されています。これは、ファインマンの経路積分哲学が確かな数学的実行を見つけたまれな例です。
ドイツ電子シンクロトロンの物理学者 Jörg Teschner は次のように述べています。
研究者は、厳密に定義された経路積分を手にして、それを使用して Liouville フィールドから答えを得て、その相関関数を導出できるかどうかを確認しようとしました。ターゲットは神話上の DOZZ 式でしたが、それと経路積分の間の隔たりは広大に見えました。
「プロパガンダの理由から、DOZZ の公式を理解したいと論文に書いています」と Kupiainen 氏は述べています。
チームは、ブートストラップを機能させるために必要なすべての機能を本当に備えていることを確認して、確率的パス積分を何年もかけて推し進めました。彼らがそうするにつれて、彼らはテシュナーによる以前の仕事に基づいて構築しました。最終的に、Vargas、Kupiainen、Rhodes は 2017 年に投稿された論文で成功し、2020 年 10 月には Colin Guillamou と共に別の論文を投稿しました。彼らは経路積分から DOZZ と他の相関関数を導出し、これらの式が物理学者がブートストラップを使用して到達した方程式と完全に一致することを示しました。
「これで終わりです」とバルガスは言いました。 「どちらのオブジェクトも同じです。」
この研究は、DOZZ 式の起源を説明し、数学者が大ざっぱに考えていたブートストラップ手順を、検証済みの数学オブジェクトと関連付けます。全体として、Liouville フィールドの最後の謎が解決されます。
「どういうわけか、時代の終わりです」とペルトラは言いました。 「しかし、それが新しい興味深いことの始まりでもあることを願っています。」
QFT の新たな希望
Vargas と彼の共同研究者は今、数値予測も行う簡単な数式によって非摂動的な方法で完全に記述された強力に相互作用する QFT を手にしています。
さて、文字通りの百万ドルの質問は、これらの確率論的方法がどこまで進むことができるかということです.彼らは、すべての QFT に対して適切な数式を生成できますか? Vargas はそのような希望をすぐに打ち砕き、彼らのツールは Liouville 理論の 2 次元環境に固有のものであると主張しています。高次元では、自由場でさえ不規則すぎるため、グループの方法が私たちの宇宙の重力場の量子的挙動を処理できるようになるのではないかと彼は疑っています.
しかし、ポリアコフの「マスターキー」の新たな鋳造は、別の扉を開くでしょう。その効果は、確率論ですでに感じられており、数学者は以前は危険な物理公式を問題なく使用できるようになりました。 Liouville の研究に勇気づけられた Sun と彼の共同研究者たちは、すでに物理学から方程式をインポートして、ランダム曲線に関する 2 つの問題を解決しています。
物理学者も、さらに先に具体的な利益を期待しています。 Liouville 体の厳密な構築は、数学者に、他の一見難解な QFT の機能を証明することに挑戦するよう促す可能性があります。重力の玩具理論だけでなく、現実の最も深い物理的秘密に直接影響する実際の粒子と力の記述です。
「[数学者] は、私たちが想像もできないようなことをするでしょう」と、ペリメーター研究所の理論物理学者であるダビデ・ガイオットは言いました。
