過去 1 世紀にわたって、場の量子論は、これまでに発明された物理理論の中で最も包括的で成功したものであることが証明されてきました。これは、多くの特定の量子場理論を包含する包括的な用語であり、「形状」が正方形や円などの特定の例をカバーする方法です。これらの理論の中で最も顕著なものは標準モデルとして知られており、非常に成功しているのはこの物理学の枠組みです.
ケンブリッジ大学の物理学者である David Tong 氏は、「これまでに行ったすべての実験を文字通り基本的なレベルで説明できます」と述べています。
しかし、場の量子論 (QFT) は明らかに不完全です。物理学者も数学者も、場の量子論が場の量子論である理由を正確には知りません。彼らは全体像を垣間見ることができますが、まだそれを理解することはできません.
高等研究所の物理学者である Nathan Seiberg は、次のように述べています。 「いろいろなところから触ることができる動物のように感じますが、動物の全体は見えません。」
内部の一貫性とあらゆる細部への注意を必要とする数学は、QFT を全体的にする可能性のある言語です。数学が確立された数学的オブジェクトを特徴付けるのと同じ厳密さで QFT を記述する方法を学ぶことができれば、物理的な世界のより完全な全体像が乗り物に乗って来る可能性があります.
「場の量子論を適切な数学的方法で本当に理解していれば、おそらく重力の量子化を含む、多くの未解決の物理問題に対する答えが得られるでしょう。 Quanta 用 ).
また、これは一方通行ではありません。何千年もの間、物理世界は数学の最大のミューズでした。古代ギリシャ人は、星の動きを研究するために三角法を発明しました。数学はそれを定義とルールを備えた学問に変え、学生はトピックの天体の起源に言及することなく学ぶようになりました.ほぼ 2,000 年後、アイザック ニュートンはケプラーの惑星運動の法則を理解したいと考え、極小の変化について厳密に考える方法を見つけようとしました。この衝動は (ゴットフリート ライプニッツからの啓示と共に) 微積分学の分野を生み出し、数学はそれを流用して改善しました — そして今日それなしではほとんど存在できません.
現在、数学者は、物理学者が基礎粒子を研究するために開発したアイデア、オブジェクト、および技術を取り入れ、それらを数学の本体に組み込むことで、QFT に対して同じことを行いたいと考えています。これは、将来の数学者が理論が最初に生まれた物理的状況について考える必要がないように、QFT の基本的な特性を定義することを意味します。
その見返りは大きいだろう:数学は、探求すべき新しいオブジェクトや、数、方程式、形状の間の最も重要な関係を捉える新しい構造を見つけたときに成長する. QFT は両方を提供します。
「構造としての物理学自体は非常に深く、多くの場合、私たちがすでに興味を持っている数学的な事柄について考えるためのより良い方法です.それはそれらを整理するためのより良い方法です.テキサス、オースティン
少なくとも 40 年間、QFT は数学者を追求するアイデアで魅了してきました。近年、彼らは最終的に QFT 自体のいくつかの基本的なオブジェクトを理解し始めました — それらを素粒子物理学の世界から抽象化し、それらを独自の数学的オブジェクトに変換します.
まだ取り組みは始まったばかりです。
ラトガース大学の物理学者であるグレッグ・ムーア氏は、「そこに着くまではわかりませんが、氷山の一角を見ているだけだと私は予想しています。 「もし数学者が [QFT] を本当に理解していれば、それは数学の大きな進歩につながるでしょう。」
永遠のフィールド
宇宙は、電子、クォーク、光子などの基本的な粒子から構築されていると考えるのが一般的です。しかし、物理学はずっと前にこの見方を超えていました。物理学者は現在、粒子の代わりに、「量子場」と呼ばれるものについて、現実の真の縦糸と横糸として話しています。
これらのフィールドは、宇宙の時空全体に広がっています。それらは多くの種類があり、うねる海のように変動します。フィールドがさざ波を立てて相互に作用すると、粒子がフィールドから出てきて、波の頂上のように消えます。
「粒子は永遠に存在する物体ではありません」と Tong 氏は言います。 「畑のダンスです。」
量子場を理解するには、通常の、つまり古典的な場から始めるのが最も簡単です。たとえば、地球の表面のすべての点で温度を測定することを想像してみてください。これらの測定を行うことができる無数のポイントを組み合わせることで、フィールドと呼ばれる幾何学的オブジェクトが形成され、このすべての温度情報がパッケージ化されます。
一般に、空間全体で無限に細かい解像度で一意に測定できる量がある場合は常にフィールドが発生します。カナダのウォータールーにあるペリメーター理論物理学研究所の物理学者であるダビデ・ガイオット氏は、「時空の各点について、独立した質問をすることができます。たとえば、ここと向こうの電場はどうなっているのですか」と述べています。 /P>
量子場は、空間と時間のあらゆる点で、電子のエネルギーなどの量子現象を観察しているときに発生します。しかし、量子場は古典的なものとは根本的に異なります。
地球上のある地点の温度は、それを測定するかどうかに関係なく、それが何であるかですが、電子は、それらを観察する瞬間まで明確な位置を持ちません.それ以前は、量子場のすべての点に値を割り当てて、そこにある電子と他の場所にある電子を見つける可能性を捉えることによって、それらの位置を確率論的にしか説明できませんでした。観測前は、電子は基本的にどこにも存在しませんでした。
「物理学のほとんどのものは単なるオブジェクトではありません。それらは、空間と時間のあらゆる点に存在するものです」と Dijkgraaf 氏は述べています。
場の量子論には、場のある点での測定値が別の点で得られた測定値とどのように関連するか、または相関するかを説明する相関関数と呼ばれる一連の規則が付属しています。
各場の量子論は、物理学を特定の次元数で記述します。 2 次元の場の量子論は、絶縁体などの物質の挙動を記述するのに役立つことがよくあります。 6 次元の場の量子論は、弦理論に特に関連しています。 4 次元の場の量子論は、実際の 4 次元宇宙における物理学を説明します。標準モデルはその 1 つです。宇宙を最もよく説明するものであるため、単一の最も重要な場の量子論です。
宇宙を構成する既知の素粒子は 12 個あります。それぞれが独自の量子場を持っています。これらの 12 の粒子場に、標準モデルは 4 つの力場を追加します。これは、重力、電磁気、強い核力、弱い核力の 4 つの基本的な力を表します。これらの 16 のフィールドを 1 つの方程式にまとめて、それらが互いにどのように相互作用するかを説明します。これらの相互作用を通じて、素粒子はそれぞれの量子場のゆらぎとして理解され、物理的な世界が目の前に現れます。
奇妙に聞こえるかもしれませんが、物理学者は 1930 年代に、粒子ではなくフィールドに基づく物理学が、因果関係に関する問題から粒子が永遠に生きていないという事実に至るまで、最も差し迫った矛盾のいくつかを解決したことに気付きました。また、物理的な世界ではありそうもない一貫性のように見えるものについても説明しました。
「宇宙のどこにでもある同じ種類のすべての粒子は同じです」と Tong は言いました。 「大型ハドロン衝突型加速器に行って鋳造したての陽子を作れば、それは100億年もの間移動している陽子とまったく同じです。それは説明に値する。」 QFT はそれを提供します:すべての陽子は、同じ基礎となる陽子場 (または、より詳しく見ることができれば、基礎となるクォーク場) の単なるゆらぎです。
しかし、QFT の説明力には、高い数学的コストが伴います。
「場の量子論は、数学で最も複雑なオブジェクトであり、数学者がそれらを理解する方法がわからないほどです」とトンは言いました。 「場の量子論は数学者によってまだ発明されていない数学です。」
無限すぎる
数学者にとって何が複雑なのか?一言で言えば、無限大です。
ある点で量子場を測定すると、結果は座標や温度のような少数の数値ではありません。代わりに、これは数値の配列である行列です。単なる行列ではなく、無限に多くの列と行を持つ、演算子と呼ばれる大きな行列です。これは、量子場が場から出てくる粒子のすべての可能性をどのように包み込むかを反映しています。
ヨーク大学のカシア・レイズナー氏は、「粒子が持つことができる位置は無限にあり、これにより、位置や運動量の測定を記述する行列も無限次元でなければならないという事実につながります。」 /P>
そして、理論が無限を生み出すとき、無限は概念として存在し、実験で測定できるものではないため、その物理的関連性が疑問視されます。また、理論を数学的に扱うのが難しくなります。
「無限を綴るフレームワークは好きではありません。そのため、何が起こっているのかをより数学的に理解する必要があることに気づき始めるのです」と、アムステルダム大学の物理学者であるアレハンドラ・カストロは述べています。
物理学者が 2 つの量子場の相互作用について考え始めると、無限の問題はさらに悪化します。たとえば、ジュネーブ郊外の大型ハドロン衝突型加速器で粒子衝突がモデル化される場合などです。古典力学では、このタイプの計算は簡単です。2 つのビリヤード ボールが衝突したときに何が起こるかをモデル化するには、衝突点での各ボールの運動量を指定する数値を使用するだけです。
2 つの量子場が相互作用する場合、同様のことを行いたいと思います。つまり、2 つの量子場が交わる時空の正確なポイントで、一方の場の無限次元演算子を他方の無限次元演算子で乗算します。しかし、この計算 — 無限に接近している 2 つの無限次元オブジェクトを乗算する — は困難です。
「ここで事態はひどく悪化します」と Rejzner 氏は言います。
大成功
物理学者と数学者は無限大を使用して計算することはできませんが、回避策を開発しました。つまり、問題をかわす量を概算する方法です。実験も無限に正確ではないため、これらの回避策はおおよその予測をもたらしますが、これで十分です。
「私たちは実験を行い、小数点以下 13 桁まで測定することができ、それらは小数点以下 13 桁すべてに一致します。これは科学の中で最も驚くべきことです」と Tong 氏は言いました。
1 つの回避策は、何も起こっていない量子場があると想像することから始まります。この設定 (相互作用がないため「自由」理論と呼ばれる) では、何も動いておらず、何も衝突しないため、無限次元行列の乗算について心配する必要はありません。数学的に完全に詳細に説明するのは簡単な状況ですが、その説明はあまり価値がありません.
「まったく退屈です。交流するものが何もない孤独なフィールドについて説明したからです。それはちょっとした学問的課題です」と Rejzner 氏は言いました。
しかし、あなたはそれをもっと面白くすることができます。物理学者は相互作用をダイヤルアップし、相互作用を強化しながら画像の数学的制御を維持しようとします.
このアプローチは、自由場での小さな変化または摂動を許容するという意味で、摂動 QFT と呼ばれます。自由理論に似た場の量子論に摂動的な視点を適用できます。また、実験の検証にも非常に役立ちます。 「驚くべき精度と驚くべき実験結果が得られました」と Rejzner 氏は述べています。
しかし、相互作用をより強くし続けると、摂動的アプローチは最終的に過熱します。現実の物理宇宙に近づくほど正確な計算を生成する代わりに、ますます正確さが低下します。これは、摂動法が実験のための有用なガイドである一方で、最終的に宇宙を説明しようとする正しい方法ではないことを示唆しています:それは実用的には有用ですが、理論的には不安定です.
「すべてを足し合わせて、適切なものを得る方法を私たちは知りません」とガイオットは言いました。
別の近似スキームは、他の手段によって本格的な場の量子論に忍び寄ろうとします。理論的には、量子場には無限に細かい情報が含まれています。これらのフィールドを調理するために、物理学者はグリッドまたは格子から始めて、格子の線が互いに交差する場所に測定を制限します。そのため、どこでも量子場を測定できるのではなく、最初は一定距離離れた特定の場所でのみ測定できます。
そこから、物理学者は格子の解像度を高め、糸を互いに近づけて、ますます細かい織りを作成します。締まるにつれて、測定できるポイントの数が増え、どこでも測定できるフィールドの理想的な概念に近づきます。
「ポイント間の距離は非常に小さくなり、そのようなものは連続したフィールドになります」と Seiberg 氏は述べています。数学的に言えば、連続量子場は引き締め格子の限界であると彼らは言います.
数学者は極限を扱うことに慣れており、特定の極限が実際に存在することを証明する方法を知っています。たとえば、無限数列の極限 $latex \frac{1}{2}$ + $latex \frac{1}{4}$ +$latex \frac{1}{8}$ + $latex \frac{1}{16}$ … は 1 です。物理学者は、量子場がこの格子手順の限界であることを証明したいと考えています。方法がわからないだけです。
「その極限をどのようにとるか、それが数学的に何を意味するかはあまり明確ではありません」とムーアは言いました。
物理学者は、引き締め格子が量子場の理想化された概念に向かって進んでいることを疑っていません。 QFT の予測と実験結果との間の密接な一致は、それが事実であることを強く示唆しています。
「場の量子論の成功は本当に驚くべきものであったため、これらすべての限界が実際に存在することに疑いの余地はありません」と Seiberg 氏は述べています。しかし、何かが正しいという強力な証拠を持つことと、それが正しいことを決定的に証明することは、2 つの異なることです。
これは、QFT が取って代わることを熱望している他の偉大な物理理論と歩調を合わせていない程度の不正確さです。アイザック ニュートンの運動法則、量子力学、アルバート アインシュタインの特殊相対性理論と一般相対性理論 — これらはすべて、QFT が伝えたいより大きな物語の一部にすぎませんが、QFT とは異なり、すべて正確な数学用語で書き留めることができます。
「場の量子論は、物理現象のほぼ普遍的な言語として出現しましたが、数学的な形は良くありません」とダイクグラーフは言いました。一部の物理学者にとっては、それが一時停止の理由です。
「フルハウスが、それ自体が数学的な方法で理解されていないこのコアコンセプトに依存している場合、なぜこれが世界を説明していると確信しているのですか?それが問題全体を鋭くします」とダイクグラーフは言いました。
外部アジテーター
この不完全な状態でも、QFT は多くの重要な数学的発見を促してきました。相互作用の一般的なパターンは、QFT を使用している物理学者が、数学者が説明しようとする驚くべき計算に出くわすというものです。
「これはアイデアを生み出す機械です」と Tong 氏は言いました。
基本的なレベルでは、物理現象は幾何学と密接な関係にあります。簡単な例を挙げると、滑らかな表面上でボールを動かした場合、その軌道は任意の 2 点間の最短経路を照らします。これは測地線として知られる特性です。このようにして、物理現象は形状の幾何学的特徴を検出できます。
ビリヤードボールを電子に置き換えます。電子は表面のどこにでも確率的に存在します。これらの確率を捉える量子場を研究することで、穴の数など、その表面 (または数学者の用語を使用する場合は多様体) の全体的な性質について何かを知ることができます。これは、幾何学およびトポロジーの関連分野で働く数学者が答えたい基本的な質問です。
「1 つの粒子がそこに座っていても、何もしなくても、多様体のトポロジーについて知り始めるでしょう」と Tong 氏は言いました。
1970 年代後半に、物理学者と数学者は、幾何学の基本的な問題を解決するためにこの視点を適用し始めました。 1990 年代初頭までに、ザイバーグと彼の共同研究者であるエドワード ウィッテンは、量子現象を形状の純粋な数学的特徴の指標に変える新しい数学的ツール (現在はザイバーグ-ウィッテン不変量と呼ばれる) を作成するためにそれを使用する方法を考え出しました。何回量子粒子が特定の方法で動作し、形状内の穴の数を効果的に数えました.
「ウィッテンは、場の量子論が幾何学的な問題に対してまったく予期しないが完全に正確な洞察を与え、扱いにくい問題を解決することを示しました」と、オックスフォード大学の数学者であるグレアム・シーガルは言いました。
この交換の別の例は、物理学者がひも理論に関連する計算を行っていた 1990 年代初頭にも発生しました。彼らは、根本的に異なる数学的規則に基づいて 2 つの異なる幾何学的空間でそれらを実行し、互いに正確に一致する長い数のセットを生成し続けました。数学者はこのスレッドを取り上げ、それをミラー対称性と呼ばれる全く新しい調査分野に発展させました。これは、同時発生を調査するものであり、他の多くの人もそれを気に入っています。
「物理学はこれらの驚くべき予測を思いつき、数学者は私たち自身の手段でそれらを証明しようとします」とベン・ズヴィは言いました。 「予測は奇妙で素晴らしいものでしたが、ほとんど常に正しいことが判明しました。」
しかし、QFT は数学が従う手がかりを生み出すことに成功していますが、その核となるアイデアはまだほとんど完全に数学の外に存在しています。場の量子論は、数学者が多項式、群、多様体、その他の分野の柱を使用する方法を十分に理解しているオブジェクトではありません (その多くは物理学に由来します)。
物理学者にとって、数学とのこの遠い関係は、彼らが生み出した理論について理解する必要があることを示しています。 「過去何世紀にもわたって物理学で使用されてきた他のすべてのアイデアは、数学で自然な位置を占めていました」とザイバーグは言いました。 「これは明らかに場の量子論には当てはまりません。」
数学者にとって、QFT と数学の関係は、時折の相互作用よりも深いものであるように思われます。これは、場の量子論には、場のさまざまな部分の点が互いにどのように関係するかを決定する多くの対称性、または基礎となる構造が含まれているためです。これらの対称性には物理的な意味があります。時間の経過とともに量子場が進化するにつれて、エネルギーなどの量がどのように保存されるかを表しています。しかし、それらはそれ自体が数学的に興味深いオブジェクトでもあります。
「数学者は特定の対称性を気にするかもしれませんが、それを物理的な文脈に置くことができます。この 2 つの分野の間にこの美しい架け橋を作ります」とカストロは言いました。
数学者はすでに対称性や幾何学の他の側面を使用して、解からさまざまな種類の方程式、素数の分布まで、あらゆることを調査しています。多くの場合、ジオメトリは数値に関する質問への回答をエンコードします。 QFT は、数学者に豊富な新しいタイプの幾何学的オブジェクトを提供します。直接手に入れることができれば、何ができるかわかりません。
テキサス大学オースティン校の数学者であるダン・フリードは、「私たちはある程度 QFT で遊んでいます。 「これまで外からの刺激として QFT を使ってきましたが、内からの刺激になればいいのにと思います。」
QFTに道を譲る
数学は新しい科目を軽々しく認めません。多くの基本的な概念は、フィールドで適切な標準的な場所に落ち着く前に、長い試行錯誤を経てきました。
実数を取ります—数直線上の無限に多くの目盛りすべて。それらを定義する方法に同意するのに、2,000 年近くの数学の実践が必要でした。最後に、1850 年代に、数学者は、実数を「完全な順序付けられたフィールド」として説明する正確な 3 語のステートメントに落ち着きました。それらはギャップを含まないため完全であり、ある実数が別のものよりも大きいか小さいかを決定する方法が常に存在するため順序付けられており、数学者にとって算術規則に従うことを意味する「フィールド」を形成します。 .
「これらの 3 つの単語は、歴史的に苦戦しています」とフリードは言いました。
QFT を内部刺激 (彼ら自身の目的に使用できるツール) に変えるために、数学者は、実数に与えたのと同じ扱いを QFT に与えたいと考えています。
QFT の一部を数学に変換する作業の多くは、ペリメーター研究所のケビン・コステロという名前の数学者によって行われました。 2016 年に彼は摂動 QFT を確固たる数学的基盤に置く教科書を共同執筆しました。これには、相互作用の数を増やすと発生する無限の量を処理する方法を形式化することも含まれます。この研究は、代数場の量子論と呼ばれる同様の目的を追求した 2000 年代の初期の取り組みに続くものであり、Rejzner は 2016 年の本でレビューしました。そのため、摂動 QFT はまだ宇宙を実際に記述していませんが、数学者はそれが生成する物理的に無意味な無限に対処する方法を知っています。
「彼の貢献は非常に独創的で洞察に満ちています。彼は [摂動的] 理論を、厳密な数学に適した素晴らしい新しいフレームワークに入れました」とムーアは言いました。
コステロは、摂動場の量子論をより一貫性のあるものにしたいという願望から本を書いたと説明しています。 「私は、特定の物理学者の方法が動機付けられておらず、場当たり的であることに気づきました。数学者が扱えるような自己完結型の何かが欲しかったのです」と彼は言いました。
摂動理論がどのように機能するかを正確に特定することにより、コステロは、物理学者と数学者が彼の摂動アプローチの指示を満たす新しい量子場理論を構築できる基礎を作成しました。この分野の他の人々にすぐに受け入れられました。
「彼には確かに、その枠組みで働いている多くの若者がいます。 [彼の本] はその影響力を持っています」とフリードは言いました。
コステロは、場の量子論とは何かを定義する作業も行っています。簡素化された形で、場の量子論は、さまざまな点での観測が互いにどのように関連するかを表す相関関数と組み合わせて、すべての点で観測を行うことができる幾何学的空間を必要とします。コステロの研究では、場の量子論の実行可能な基礎として機能するために、相関関数のコレクションが持つ必要のある特性について説明しています。
標準モデルのような最もよく知られている場の量子論には、すべての場の量子論に存在しない可能性のある追加の機能が含まれています。これらの機能を欠いている場の量子論は、物理学者が標準モデルで説明できない物理現象を説明するのに役立つ、まだ発見されていない他の特性を説明する可能性があります。場の量子論のアイデアが、私たちがすでに知っているバージョンにあまりにも厳密に固定されている場合、他の必要な可能性を想像することさえ困難になります.
「[標準モデルのような]場の理論を見つけることができる大きな街灯柱があり、その周りには[量子場の理論]の大きな闇があります。定義方法はわかりませんが、それらがそこにあることはわかっています。 」とガイオットは言いました。
コステロは、彼の量子場の定義でその暗い空間の一部を照らしました。これらの定義から、彼は 2 つの驚くべき新しい場の量子論を発見しました。どちらも私たちの 4 次元宇宙については説明していませんが、相関関数を備えた幾何学的空間の核となる要求を満たしています。純粋な思考による彼らの発見は、最初に発見する可能性のある形状が物理的な世界に存在するものであることに似ていますが、形状の一般的な定義が得られると、物理的な関連性がまったくない例を考えることができます.
そして、もし数学が場の量子論の可能性の全空間を決定することができれば — 相関関数を含む一般的な定義を満たすための多くの異なる可能性のすべて — 物理学者はそれを使って、彼らが最も気にかけている重要な物理的問題を説明する特定の理論への道を見つけることができます.
「量子重力とは何かを知りたいので、すべての QFT の空間を知りたいです」とカストロは言いました。
多世代の課題
先は長いです。これまで、完全な数学的用語で説明されてきたすべての場の量子論は、数学的に扱いやすくするためのさまざまな単純化に依存しています。
問題を単純化する 1 つの方法は、数十年前にさかのぼって、4 次元の QFT ではなく、より単純な 2 次元の QFT を研究することです。フランスのチームは最近、著名な 2 次元 QFT の数学的詳細をすべて突き止めました。
他の単純化では、量子場が物理的な現実とは一致しない点で対称的であると仮定していますが、数学的な観点からは扱いやすくなっています。これらには、「超対称」および「トポロジカル」QFT が含まれます。
次の、そしてより困難なステップは、松葉杖を取り除き、物理学者が最も記述したい物理的な世界に適した場の量子論の数学的記述を提供することです:すべての相互作用が可能な4次元の連続宇宙
Rejzner 氏は、「4 次元で非摂動的に記述できる単一の場の量子論がないということは、非常に恥ずかしいことです」と述べています。 「これは難しい問題です。明らかに、それを解決するには、1 世代または 2 世代以上の数学者と物理学者が必要です。」
しかし、それは数学者や物理学者が貪欲に注目することを止めるものではありません。数学者にとって、QFT は彼らが望むほど豊富なタイプのオブジェクトです。すべての場の量子論に共通する特性を定義するには、ほぼ確実に数学の 2 つの柱を統合する必要があります:無限を制御する方法を説明する解析と、対称性について話すための言語を提供する幾何学です。
「2 つの優れたアイデアが組み合わされているため、数学自体だけでも魅力的な問題です」と Dijkgraaf 氏は述べています。
数学者が QFT を理解できたとしても、その解明にどんな数学的発見が待っているかはわかりません。数学者は、多様体や群などの他のオブジェクトの特性をずっと前に定義し、それらのオブジェクトは現在、数学のほぼ隅々に浸透しています。それらが最初に定義されたとき、すべての数学的影響を予測することは不可能でした。 QFT は、数学に対して少なくとも同様の可能性を秘めています。
「物理学者は必ずしもすべてを知っているわけではありませんが、物理学は知っています」と Ben-Zvi 氏は言います。 「適切な質問をすれば、数学者が探している現象をすでに持っています。」
そして物理学者にとって、QFT の完全な数学的記述は、物理的現実の完全な記述という彼らの分野の最重要目標の裏返しです。
「すべてをカバーする 1 つの知的構造があり、物理学のすべてを網羅する可能性があると思います」と Seiberg 氏は述べています。
今、数学者はそれを明らかにする必要があります.
