スキュー対称行列式|物理

行を列に、またはその逆に交換することにより、行列の転置を書くことができます。行列が転置の負数に等しい行列の場合、形成される行列は非対称行列です。ただし、このような行列の行列式は、非対称行列式として定義されます。行列 A が定義され、その非対称転置が -AT として与えられる場合、この行列の行列式は det(-AT) と書かれるものとします。行列式は、任意の行列に関連付けられた任意のスカラー量 (実数または複素数) です。この記事では、読者は例とともに、そのような行列の概念を理解できます。

歪対称行列式の意味

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スキュー対称な行列式の意味は、行列式が各行列に関連付けられたスカラーであり、行列のスケーリング/特徴付けを可能にし、物理的な意味を保持することを意味します。

行列の行列式の概念を理解しようとすれば理解できます。ただし、非対称行列の場合、その行列式は任意の行列と同じ手順で計算できるため、値はスカラー量になります。 4 7 0 -2 と書かれた 2 x 2 行列 A を考えてみましょう。次に、A の非対称行列は、負の転置として記述されます。

-AT =4 0 7 -2 .

この行列の行列式は次のように記述されます。

4 0 7 -2 as (4 x -2) – (7 x 0) =-8-0=-8

したがって、現在与えられている行列の非対称行列式は -8 です。

歪対称の行列式プロパティ

非対称行列式には多くの興味深い特性があります。ご覧ください:

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行列の次数が奇数である場合、その行列の行列式はゼロになります。たとえば、3 x 3 行列の場合、次数が 3 (奇数) であることを意味します。その場合、その非対称形の行列式は負になるはずです。

行列の次数が偶数である場合、その行列の行列式は非ゼロになります。たとえば、2 x 2 行列の場合、次数が 2 (偶数) であることを意味します。その場合、非対称の行列式形式は非ゼロの完全平方でなければなりません。

行列 A=0 2 -2 0 を考えると、その転置は AT=0 -2 2 0 であり、

Det (AT) =(0 x 0)- (2 x -2) =0 + 4 =4、これは行列の次数が偶数であるため完全平方です。

歪対称行列式値

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一連の線形方程式は、行列法を使用して解くことができます。すべての線形方程式には、その方程式の固有値として知られるスカラー量があります。

固有値は、正または負の値を持つことができ、さらには虚数になることもあります。行列 M の場合、固有方程式は MX =λX のように記述できます。ここで、λ は行列 M の固有値であり、X は対応する固有ベクトルです。

非対称行列の場合、λ の値は 0 または虚数になります。固有値の概念は、歪んだ対称な行列式のホットな質問に含まれるため、検査の観点から不可欠です。

歪対称行列式定理

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M が次数 N x N の非対称行列であると仮定すると、行列式 det (MT)=det (-M) =(-1)N det (M) となります。したがって、N =奇数の場合、行列式はゼロになり、そのような行列はすべて Jabobi の定理に従って特異と呼ばれます。

歪行列が M=a -b b a として定義されていると仮定すると、det (M) は、プロパティに従って完全な正方形になります。

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N=even の場合、det (M) =P(M)2 です。これは、偶数行列の非対称行列式の値が、常に正の完全な正方形になることを意味します。

歪行列が M=0 a b -a 0 k -b -k 0 として定義されていると仮定すると、det (M) はプロパティに従って 0 になります。非対称行列式ホットクエスチョンは、試験の観点から不可欠です。

結論

転置ネガが書き込まれると、結果の行列は、一意のプロパティセットを持つ非対称行列になります。ただし、そのような行列の行列式を見つけると、行列の次数によって値が異なる場合があります。奇数次行列には行列式ゼロがあり、偶数次行列には行列式がゼロでない完全平方があります。非対称行列式は、いくつかの解決された例とともに、テキストで完全に説明されています。この記事を読むと、読者は概念を深く理解し、同じことを解決したいくつかの例を理解できます。これらの概念を理解することは、物理学と数学において不可欠です。