垂直軸の定理を理解するために、例を挙げます。中心を中心に回転できるボールまたはリングを考えてみましょう。物体の中心に関する慣性モーメントを知っていますか。ただし、ボールやリングの回転点を変えるときは、慣性モーメントを求める必要があります。これを理解するには、垂直軸定理を理解することが重要です。
平面オブジェクトの平面に垂直な軸の周りの慣性モーメントは、オブジェクトの平面の同じ点を通過する他の 2 つの垂直軸の慣性モーメントの合計です。この定理の重要性は、厳密に平面のオブジェクトのモーメントを見つけることを超えています。これは、円柱のような 3 次元構造を平面ディスクに分割し、複合ディスクの慣性モーメントを加算することによって、その慣性モーメントを計算するための重要な手法です。
垂直軸定理:
慣性モーメントは、平行軸と垂直軸の定理で扱われます。したがって、定理を理解する前に、慣性モーメントについて知っておきましょう。角加速度に耐える身体属性です。
物体の粒子の質量の合計に回転軸からの距離の 2 乗を掛けたものが慣性モーメントになります。
慣性モーメントは次のように与えられます
Ii =∑miri2
この定理は、対称オブジェクト、つまり 3 つの対称軸のうち 2 つを持つものに適用されます。他の 2 つの軸の慣性モーメントがわかっている場合、この式を使用して 3 番目の軸の慣性モーメントを計算できます。
例
工業用途で物体の慣性モーメントを計算する必要があるが、物体の形状が不規則であるとします。平行軸の定理を適用して、体の重心がわかっている限り、任意の位置での慣性モーメントを取得できます。これは宇宙物理学における重要な定理です。宇宙船や人工衛星の慣性モーメントを計算することで、外惑星や深宇宙にまで到達することができます。垂直軸の定理は、物体の 1 つの軸にアクセスできず、慣性モーメントを決定する必要がある場合に役立ちます。
垂直軸定理の証明
垂直軸定理によれば、平面に垂直な軸の慣性モーメントは、最初の軸と交差する物体の任意の 2 つの垂直軸の合計に等しくなります。
位置 K に質量「m」の粒子がある場合を考えてみましょう。
K からそれぞれ x 軸と y 軸に垂直に描画します。
my2 は x 軸周りの慣性モーメントです。
薄層全体の x 軸周りの慣性モーメントは
Ix =∑my2−−−−−(i)
薄層全体の y 軸周りの慣性モーメントは
Iy =∑mx2−−−−−(ii)
薄層全体の z 軸周りの慣性モーメントは
Iz =∑mr2
ただし、r2 =x2 + y2
したがって、
Iz =∑m(x2 + y2)
式 (i) と (ii) から、以下を導き出します:
つまり、Iz =∑mx2 + ∑my2
(または)
Iz =Ix + Iy
垂直軸の定理は、1 つの重要な軸にアクセスできない場合の物体の慣性モーメントの計算に役立ちます。
例
この定理の図を見てみましょう:
一様なリングの慣性モーメントを直径の関数として求めたいとしましょう。
リングの慣性モーメントは MR2/2 です
ここで、M はリングの質量、R はリングの半径です。
垂直軸の定理によると、
Iz =Ix + Iy
均一なリングなので、直径は同じです。
したがって、
Ix =Iy
したがって、Iz =2Ix
Iz =MR2/2
結果として、リングの直径周りの慣性モーメントは MR2/2 になります。
結論:
この記事では垂直軸定理について説明します。垂直軸定理によれば、平面に垂直な軸を中心とした平面オブジェクトの慣性モーメントは、平面内の同じ位置を通過する 2 つの垂直軸の慣性モーメントの合計に等しくなります。この定理は、対称オブジェクト、つまり 3 つの対称軸のうち 2 つを持つものに適用されます。他の 2 つの軸の慣性モーメントがわかっている場合、この定理を使用して 3 番目の軸の慣性モーメントを計算します。
