値が非常に小さい場合、解決が難しいことは誰もが知っています。そのような時、統合が絵になります。小さな部分や値を組み合わせて全体の値を求める方法です。物理学では、通常、境界領域の面積を見つけるために使用されます。これは、与えられた微分を持つ関数を見つけることによって行われます。それでは、この記事で統合について詳しく学び、統合方法の概要を理解しましょう。 およびいくつかの統合ルール。
統合の定義
導関数が与えられる関数を見つけることは、逆微分または積分として知られています。一般的な加算演算を実行できない場合は、統合を使用して非常に大きなスケールで値を特徴付けます。
統合のルール:
<オール>g′(x)=f(x)の場合、∫f(x)dx=g(x)+Cifg′(x)=f(x)、∫f(x)dx=g(x)+C 、なぜなら定数の導関数は 0 だからです。
- 導関数の積分は、同じ関数自体 (定数付き) を返します:
∫f′(x)dx=f(x)+C∫f′(x)dx=f(x)+C
方程式の導出を行うと、同じ関数が得られます:
ddx(∫f(x)dx)=f(x)
- 3. ∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x )dx
- 4. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
- ∫f(x)dx=g(x)+C、∫f(x)dx=g(x)+C、その後
∫f(ax+b)dx=1/a*g(ax+b)+C
統合方法
置換方法
関数の積分を求めることが困難な場合、新しい独立変数を導入することで積分を解くことができます。独立変数 x を t に変更することにより、与えられた形式の積分関数で (∫f(x)) とします。 (∫f(x))、積分を変換できます。
独立した x =g(t) の値を積分関数 ∫f(x) に代入してみましょう。
dx / dt =g’(t)
または、dx =g’(t) • dt
したがって、上記の置換から、
I=∫f(x).dx=f(g(t).g′(t)).dt
I=∫f(x).dx=f(g(t).g′(t)).dt
部品統合方法
この積分規則は、2 つの関数の積分を求めるために使用されます。
デリバティブの積則により、
したがって、式 (2) は次のようになります
∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx−∫[f′(x)∫g(x)dx]dx
三角恒等式の使用 –
三角関数で構成される積分関数を簡略化するために、三角恒等式が使用されます。
特定機能の統合
さまざまな特定の関数の統合には、いくつかの重要な統合公式があり、これを適用して、他の統合を高品質の被積分関数に形成することができます。これらの標準被積分関数の積分は、直接的な積分法を使用して簡単に見つけることができます。以下に 6 つの重要な式を示します –
- ∫ dx/ (x²– a²) =½ ログ | (x – a) / (x + a) | +c
- ∫ dx /√ (a² – x²) =sin–¹ (xa) + c
- ∫ dx /√ (x² + a²) =ログ | x + √(x² + a²) | +c
- ∫ dx/ (a² – x²) =1/2 ログ | (a + x) / (a – x) | +c
- ∫ dx /√ (x² – a²) =log| x+√(x² – a²) | +c
- ∫ dx / (x² + a²) =1/a tan–1 (x/a) + c
ここで、c =定数
部分因子の使用
A と B の値を求めましょう
式を比較すると、1=A(x+2)+B(x+1) となります。
これから、2 つの線形方程式のグループが得られます。
A+B=0 かつ 2A+B=1
得られた方程式を解くと、A=1 および B=-1 になります。
統合方法の例
∫ cos2 x dx を計算します
関数 f(x)=2x sin(x2+1) を x について積分します。
解決策:
x2+1=zとする
次に、2x dx =dz
∫f(x)dx=∫2xsin(x2+1)dx
=∫sinz dz=−cosz+C
=−cos(x2+1)+C
∴∫2xsin(x2+1)dx =−cos(x2+1) + C
結論
したがって、結論として、5 つの統合方法があります-
代入法とは、関数の積分を求めることが困難な場合に、新たな独立変数を導入することで積分が解ける場合の方法です。 2つの機能の積分を求めるために、部品積分法が採用されています。三角恒等式を使用して、三角関数で構成される積分関数を単純化します。
部分分数、特定積分関数には、標準形式の被積分関数への他の積分を形成するために適用される、いくつかの重要な積分公式があります。
置換による統合を使用する。
