同次微分方程式

微分関数は、関数の導関数を含む方程式です。

数学的には、微分方程式を、1 つ以上の独立変数と従属変数自体の導関数を含む方程式と呼びます。微分方程式には、さまざまな次数と次数の導関数も含まれます。

常微分方程式は、次のようにさらに 2 つに分類できます。

同次微分方程式

同次は、次の方法で方程式を書くことができる一次微分方程式を記述するために使用される用語です:

f(x,y)dy =g(x,y)dx

ここで、x と y の次数が同じ同次関数 f と g を示します。 y =ux を代入すると、結果の式は次のようになります:

dx/x =h(u) (デュ)

2 つの要素を統合することで、この方程式を簡単に解くことができます。

未知の関数とその導関数が微分方程式の変数の同種のセットを形成する場合にのみ同次です。このため、線形微分方程式には定数項がありません。

同次方程式から定数項を取り除くと、積分によって任意の次数の線形常微分方程式の解を導き出すことができます。

同次微分方程式の例

以下は同次微分方程式の例です。

• dy/dx =(x + y)/(x – y)
• dy/dx =x(x – y)/y²
• dy/dx =(x² + y²)/xy
• dy/dx =(3x + y)/(x – y)
• dy/dx =(x³ + y³)/(xy² + yx²)

同次微分方程式の解の例

同次微分方程式を解く簡単な手順をいくつか紹介しました。

与えられた dy/dx=Fx,y=p(x/y) です

ステップ 1:

y については、与えられた方程式で y =vx を使用してください

ステップ 2:

y =vx を微分すると、dy/dx=v+x *dv/dx が式の値に置き換えられます

v+x*dv/dx=p(v)

x*dv/dx=p)v)-v.

ステップ 3:

上記の式から変数を分離すると、

dv/p(v)-v =dx/x

ステップ 4:

得られた方程式の両辺を積分する

∫dv/p(v)-v* dv =∫dx/x + c

ステップ 5:

統合が完了したら、v=y/x に置き換えます

非同次微分方程式

同次でない微分方程式は、非同次微分方程式と呼ばれます

二次線形非一様微分方程式 s は次の表記法で表されます:

y”+p(t)y’+q(t)y=g(t)

この場合、非ゼロ関数 g(t) が使用されます。

対応する同次方程式は次のとおりです:

この場合、y”+ p(t)y’+q(t)y =0 となり、これは補完方程式とも呼ばれます。

非同次微分方程式の例

一様でない微分方程式の例を次に示します。 .

• d²y/dx² − 9 y =−6 cos 3 x
• d²y/dx² − 9 dy/dx =−6 cos 3 x.
• d³y/dx³ + 2 dy/dx + x =4 e – x.
• d²y/dx² – 2 dy/dx+ 5 y =10 xy − 3 x − 3.
• d4y/dx4 − 3 dy/dx =−12 x

非同次微分方程式の解の例

これは一次方程式とよく似ており、微分方程式の次数は同じではありません。

たとえば、形式の微分方程式 (dy/dx) + py =q ここで、p、q は y の定数または関数です。

一般的な解決策は次のとおりです:

y * (統合係数) =∫q * (統合係数).dx + c

ここで、積分係数 =e∫pdx

非同次微分方程式の例をいくつか示します

d5y /dx5 + x*d³y/dx³ + y² =7x + 5

非同次方程式の一般的な形式は次のようになります:

Y’’ + p(x)y’ + q(x) y =g(x)

一般的な解決策は次のとおりです:

y(x)=c1y1 (​​x) + c2 y2 (x)+ yr(x)

結論

微分、変数のセット、および (x, y) の関数を含む方程式は、同次微分方程式と呼ばれます。

f (δx,δy) =f(x,y)

ここで、δ はゼロ以外の定数です

同次微分方程式の一般的な形式は次のとおりです

f(x,y).dy + g(x,y).dx =0

同次微分方程式は、与えられた変数 (x, y) に対して同じべき乗を持つ必要があります。