現代物理学において、固有ベクトルの適用は非常に重要です。電子の正確な位置は、固有関数を使用して見つけることができます。幾何学的応用では、非ゼロの実数値固有値を表す固有ベクトルは、引き伸ばされた変換を示す方向を指し、固有値はそれが引き伸ばされる係数です。 1926 年、量子力学の分野は、2 人の有名な科学者、ヴェルナー ハイゼンベルグとエルヴィン シュレディンガーによって独立して開発されました。シュレディンガーは、量子力学の基本方程式を開発しました。彼はこの概念を量子力学で使用して、電子の位置を見つけました。
固有ベクトルは、多次元ベクトル空間で回転しません。固有ベクトルは、線形変換の分析で際立っています。接頭辞の「eigen」は、「自分の」を意味するドイツ語の eigen に由来します。もともとは、剛体の回転ダイナミクスの主軸を研究するために使用されていました。固有ベクトルには、原子軌道、振動分析、顔認識、行列対角化、安定性分析の分野で多数の用途があります。
線形変換が非ゼロ ベクトル T である固有ベクトル V を考えます。変換 T が適用されると、方向は変わりません。固有ベクトルに T を適用すると、固有値と呼ばれるスカラー値 λ によって固有ベクトルが見つかりました。
数学的には次のように書けます:
T (V) =(V)
これは固有値方程式として知られています。λ は任意のスカラーで、負、正、ゼロ、または複素数です。
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多くの複雑な理論は、固有ベクトルの助けを借りて単純化できます。固有ベクトルは、物理学および化学において数多くの用途があります。固有ベクトルの最も一般的な用途は、幾何学的変換、シュレディンガー方程式、分子軌道などです。
シュレーディンガー方程式
固有ベクトルと固有値方程式の古典的な例は、時間に依存しない微分演算子で表される変換 T であり、量子力学のシュレディンガー方程式です。
Schrödinger は、システムの総エネルギーの方程式からこの演算子を構築するためのレシピを提供します。系の総エネルギーは、すべての素粒子 (電子、原子核) の運動エネルギーの追加を考慮に入れ、電子と原子核の間の引力的な電位エネルギーと、電子と原子核の間の反発的な電位エネルギーを個別に考慮します。
時間に依存しないシュレディンガー方程式の最も単純な形式は
H ψ =E ψ
どこ
E =電子の総エネルギー
ψ =電子の波動関数は、固有値に対応する固有関数です
H =二階微分演算子であるハミルトニアン
一次元で
Ĥ =−ħ²2m d²/dx² + V(x)
どこで、
V(x) =位置エネルギー、(V =− Ze²/4πr)
三次元では、
Ĥ =−(ħ²/2m) (∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²) + V(x,y,z)
(ハミルトン演算子) (固有関数) =(固有値) (固有関数)
H ψ =E ψ
ここで、固有値 Ψ の固有ベクトルは、連続かつ有限の単一値関数でなければなりません。 Ψ w.r.t の一次導関数。その変数は連続している必要があります。
直交性の条件に従います。
ψ1 と ψ2 が波動関数の形式で受け入れられる 2 つの固有関数である場合、それらは直交しています。
∫𝜓1𝜓2 𝑑𝜏 =0
また、空間全体で粒子を見つける確率が 1 でなければならない正規化条件にも従います。
∫𝜓1𝜓2 𝑑𝜏 =1 (𝑑𝜏 は dx、dy、および dz によって与えられる体積要素を与える)
原子の内部で電子を見つける確率は、その瞬間の軌道波活動または 𝛗² の 2 乗に等しくなります。
原子内のさまざまな数の異なる点を見ると、電子が最も多く存在する原子核の周囲の領域を予測することができます。値が 0 の場合、それはノードとして知られており、その理由による電子の発見も 0 です。
通信システム
クロード・シャノンは、固有値を使用して、移動回線、無線信号、空気などの通信媒体を介して送信できる情報量に関する理論上の概念的限界を推定しました。彼は、固有ベクトルと固有値を適用して、行列として表現された通信チャネルによってこれらを計算し、固有値で評価することによってこれを行いました。
地質学と氷河学
地質学の分野、主に氷河期の研究では、固有ベクトルの適用と固有値は、クラスターファブリックの構成要素の方向と傾斜の膨大な量の情報を3次元空間に要約できる特別な方法として使用されます。 6つの数字の助け。地質学者は、トリプロット (Sneed and Folk) ダイアグラムによって、または Wulff Net のステレオネットとしてのみ、グラフィカルに比較できる土壌サンプル内の数百または数千のクラストに関するすべてのデータを収集します。
機械工学
機械工学では、固有ベクトルを適用することで、線形演算を個別のより単純な問題に減らして単純化することができます。たとえば、外部変形力がプラスチック ボディに適用された場合、この変形は、最大の変形方向の主な方向に分解できます。主方向のベクトルは固有ベクトルであり、各主方向の変形率は対応する固有値です。
慣性モーメントの固有ベクトルの別のアプリケーションは、剛体の主軸を定義します。慣性モーメントのテンソルは、重心の周りの剛体の回転ダイナミクスを評価するために必要な重要な量です。
振動解析
固有ベクトルは、自由度の高い機械構造の振動解析プロセスに適用されます。固有値は振動や振動の固有振動数（固有周波数）であり、固有ベクトルはその振動モードの形状で表されます。数学的には、方程式で表されます
(w2m + wc + k) x =0
これらの固有ベクトルの直交性のこの特性により、微分方程式が分離され、系を固有ベクトルの線形代数和として示すことができます。複雑な構造のこの固有値の問題は、有限要素解析のプロセスを使用して解決されることがありますが、確率はスカラー値の振動問題の解決につながります。
橋の構造において、橋のこの固有振動数は、橋のモデルであるそのシステムの最小の大きさの固有値です。
結論
固有値は、将来のための新しいより良い設計を発見するために使用されるだけでなく、自然発生を説明するためにも使用されます。結果のいくつかは、物理学の分野にとって非常に驚くべきものです。固有ベクトルは、多くの自然問題を解決し、多くの自然現象を説明するために、物理学、化学、地質学などのさまざまな分野で幅広い用途があります。量子力学、通信システム、機械工学、振動解析などにおけるそれらのアプリケーションのいくつかは、記事で説明されています。
