3 次元ジオメトリでは、x、y、および z 軸と交差する線は、線の方向余弦と呼ばれます。それらは次のように定義されます:一貫性を維持するために、これらの方向余弦を表すために文字 l、m、および n がよく使用されます。
コサイン角は、三角形の各軸との線によって形成される角度が確立された後にのみ決定できます。線を反転すると角度が変わることに注意してください。
方向余弦の概要
- 原点に関する位置を示すベクトルは、位置ベクトルと呼ばれます。
- 方向余弦について話す前に、位置ベクトルについて考えてみましょう。
- O を原点とする 3 次元空間で x、y、z という名前の 3 つの平面を考えます。OQ は基準線で、OQ 線の長さは q です。
- Q は変数 q を持つ空間のベクトルです。
- 有向線 OQ が原点を通過すると、O を基準として、x 軸、y 軸、z 軸に対してそれぞれ α、β、γ の角度を成します。
- α、β、γ の角度は線の方向角と呼ばれ、これらの角度のコサインが方向コサインになります。
- 図に示すように、補角 β を取得できるように、3 d の場所で線 OQ を拡張して方向余弦を知るとします。
- OQ線の方向を逆にすると、方向線が逆になります。
- 正の 4 分の 1 の位置ベクトルとラインの方向によってなされる角度を考慮した後、ライン OQ の位置ベクトルを考慮することができます。
OQ =q の場合、
x=qcosα
y =qcosβ
z=qcosγ
ここで、k はベクトルの大きさを表し、次の式で与えられます。
q =√(x–0)2+(y–0)2+(z–0)2
⇒q=x2+y2+z2
方向角 cosα の余弦は l
で表されます。方向角 cos β の余弦は m
で表されます。方向角 cosγ の余弦は n
で表されます。x =qcosα =lq —————— (1)
y =qcosβ =mq————— (2)
z =qcosγ=nq————— (3)
直交システムを使用して、q をその単位ベクトル コンポーネントで表すこともできます。
q =xi+ yj +zk
x、y、z の値を上記の式にそれぞれ lq、mq、nq として代入する
q=lq i + mq j+ nq z
⇒r =qq =l i + m j+ n z
- q – 単位ベクトルの係数を持つベクトルの方向角のコサイン
- 単位ベクトル q – 長方形のコンポーネントによって解決されます
余弦の方向に比例する数を直線の方向比といいます。線の方向比は a,b,c で表されます
また、OQ2 =OA2+OB2+OC2
q =x2+ y2 + z2
方程式 q =x2+ y2 + z2 を除算すると
q2q2=x2q2+ y2q2+ z2q2
式 1,2,3 を使用して
1 =xq2+ yq2+ zq2=l2 + m2 + n2
前述のように、方向余弦の 2 乗和 =1
a,b,c を直線の方向比とする
ここで a∝l,b∝m, c∝n
a=kl, b=km, c=kn となります
ここで、直線の方向比と方向余弦の関係は次の式で与えられます
la=mb=nc=k
l2 + m2 + n2 =1 はすでに見たので、これから k=1a2+b2+c2 を見つけました
k の値は、有向線の方向に基づいて正または負になる可能性があります
解決例
座標 (1, 2, 3) を持つ点 P(x, y, z) を考えます。質問で指定された値について、原点が O(0, 0, 0) である直線の方向余弦と直接比を求めます
Cos α,Cosβ,Cosγ=xr,yr, zr
|r|=x2+ y2 + z2
|r|=12+ 22 + 32 =√14
Cos α,Cosβ,Cosγ(方向余弦)=1√14,2√14, 3√14
指定された点 P(x, y, z) の方向比率は 1:2:3 になります。
結論:
方向余弦は、3D 平面での線の方向を表すベクトルです。線の角度が x 軸 =α で、y 軸が β で、z 軸が γ である場合、cos2α +cos2β +cos2γ=1 .方向比は、線の方向を表すもう 1 つの方法です。その利点は、方向の分数を処理する必要がないことです。
