式の置換は、非常に複雑な関数を単純な形式に変換する必要がある場合に便利です。 Expression Substitution は、逆三角関数、関数の微分、場合によっては関数の積分にも使用できます。関数に関連する式が見つかった場合は、まず正しい置換を行ってから続行する必要があります。そのような式が見つからない場合は、代入なしで数学演算を行うこともできます.
表現の置換:
以下は、数式を単純化し、微分と統合のプロセスをより簡単にするための最も有用な代用品の一部です。
x =aSinθ または x =aCosθ が 関数 f(a2−x2) に使用されます
x =a Secθ または x =aCosecθ が関数 f(x2−a2) に使用されます
関数 f(x2+a2) には x =aTanθ または x =aCotθ が使用されます。 f(a2+x2)
x =a Cos2θ は関数 f( a-xa+x )、f( a+xa-x ) に使用されます
x=atan θ は関数 f( a-xa+x ), f( a+xa-x ) に使用されます
x=atan θ は関数 f( 2×1+x2 ), f2x1-x2 に使用されます
a =rcosα, b =rsinα は関数に使用されます f(x) =acosx + bcosx
x =a sin2 θ + b cos2 θ は、関数 f(x) =x -α または ꞵ -x に使用されます
x =a(1 – cos θ) は関数 f(2ax−x2) に使用されます
置換による統合:
代数関数が標準形式ではないために、与えられた関数の積分を直接行うことができない場合、置換による積分が利用されます。さらに、提供された機能は、適切に置き換えることによって、その標準的な形に縮小することができます。
評価のために、関数 f(x) の不定積分 ∫f(x).dx を考えます。 x を g(t) に置き換えて代入することにより、この積分を次のように別の形式に変更できます。
x=g(t).
I =∫f(x).dx
x =g(t) ここで、dx/dt =g'(t)
dx =g'(t).dt
I =∫f(x).dx=∫f(g(t)).g′(t).dt
代替不定統合の実行:
以下の手順は、置換による統合のこのアプローチを完了するのに役立ちます.
ステップ 1:与えられた関数を簡約するために、新しい変数 t を選択します。
ステップ 2:f(x) を x について積分する場合、与えられた積分に対する dx の値を見つけます。
ステップ 3:関数 f(x) と新しい値 dx に必要な変更を加えます。
ステップ 4:置換から得た関数を統合します。
ステップ 5:最終解を得るには、最終解の元の変数 x を置き換えます。
やり方はこちら
I=∫f(x)dx を見つけるには
dxdt=g'(t)dx=g'(t)dtを微分した後、x=g(t)を取る
代入値 I=∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt
これを別の方法で理解できるようにしましょう。
導関数の連鎖則は、積分の代入に対応します。
F(u) を f(u) の反導関数として取ります:
∫f(u)du=F(u)+c
Take u=u(x) は微分可能な関数であり、連鎖則が適用されます
ddx∫F(u(x))=F'(u(x))u'(x)=f(u(x))u'(x)
両側の統合
∫f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+c
∫f(u(x))u'(x)dx=∫f(u)du、u=u(x)
式の置換に関連する数値:
<オール>∫etan-1×1+x2dx
解決策:式:∫etan-1×1+x2dx
tan-1x=t を取って微分:ddxtan-1x=dtdx
11+x2=dtdx
dx=(1+x2)dt
値を代入:
∫etan-1×1+x2dx=∫et(1+x2)1+x2dt=∫etdt=et+c=etan-1x+c
2xsec2(x2+1) の積分を求めましょう
式は:∫2xsec2(x2+1)dx
x2+1=t を取って微分:ddx(x2+1)=dtdx
2x=dtdxdx=dt2x
値を代入:
∫2xsec2(x2+1)dx=∫2xsec2(x2+1)dt2x=∫sec2tdt=tant+c=tan(x2+1)+c
結論:
代入は、1 つの変数を別の変数で表現し、方程式から 1 つの変数を削除することにより、連立方程式を単純化する手法です。次に、この方程式を計算し、解が見つかるまで置き換えます。 Expression Substitution は、単一の変数に関して方程式を書き直すことにより、方程式を単純化することを目的としています。ここで覚えておくべき重要な点は、常に等しい値を代入していることです。
