Lagrangeの運動方程式は、粒子システムの動きを表す2次の微分方程式のセットです。これらは、最小のアクションの原理から派生しています。これは、システムが2つのポイント間で実際のパスが実行することは、アクション積分を最小化するものであると述べています。
アクション積分は、時間の経過とともにラグランジアンの積分として定義されます。
$$ s =\ int_ {t_1}^{t_2} l（q_i、\ dot {q_i}、t）dt $$
ここで、$ q_i $はシステムの一般化された座標であり、$ \ dot {q_i} $はそれらの時間誘導体、$ l $はラグランジアンです。ラグランジアンは、一般化された座標、その時間誘導体、および時間の関数です。
最小限のアクションの原則は、システムが2つのポイント間で実際に実行するパスは、アクションの積分を最小化するものであると述べています。これは数学的に次のように表現できます。
$$ \ delta s =0 $$
ここで、$ \ delta s $はアクション積分のバリエーションです。
Lagrangeの運動方程式は、バリエーションの計算を使用することにより、最小作用の原理から導き出されます。バリエーションの計算は、機能を最小化または最大化する関数を見つけることを扱う数学の分岐です。
アクションの積分を最小限に抑える関数を見つけるには、アクションのバリエーションを積分のバリエーションを見つけ、ゼロに等しく設定する必要があります。アクション積分のバリエーションは、次のように与えられます。
$$ \ delta s =\ int_ {t_1}^{t_2} \ left（\ frac {\ partial l} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {q_i}} \ delta \ dot {\ partial \ frac {\ partial l} {\ partial t} \ delta t \ right）dt $$
ここで、$ \ delta q_i $、$ \ delta \ dot {q_i} $、および$ \ delta t $は、一般化された座標、その時間誘導体、および時間のバリエーションです。
ゼロに等しいアクション積分のバリエーションを設定すると、次のようになります。
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial q_i} =\ frac {dt} \ left（\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {q_i}} \ right）$$
これらはラグランジュの運動方程式です。それらは、粒子システムの動きを表す2次微分方程式のセットです。
例：
1次元電位$ v（x）$を移動する質量$ m $の粒子を考えてみましょう。このシステムのラグランジアンは次のとおりです。
$$ l =\ frac {1} {2} m \ dot {x}^2 -v（x）$$
このシステムの一般化された座標は$ x $であり、その時間誘導体は$ \ dot {x} $です。ラグランジアンは、$ x $、$ \ dot {x} $、および$ t $の関数です。
このシステムのラグランジュの動き方程式は次のとおりです。
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial x} =\ frac {dt} \ left（\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {x}} \ right）$$
ラグランジアンをこの方程式に置き換えると、次のようになります。
$$ - \ frac {\ partial v} {\ partial x} =m \ frac {d^2 x} {dt^2} $$
これは、1次元電位$ v（x）$を移動する質量$ m $の粒子に対するニュートンの第2の動き法です。
