フックの法則:物理学における定義、公式、および応用

フックの法則 は、加えられた力の下で弾性材料がどのように変形するかを説明する物理学の基本原理です。 17 世紀の英国の物理学者ロバート フックにちなんで名付けられたこの法則は、材料の弾性限界内で、バネにかかる力とその結果として生じる伸張または圧縮との間の線形関係を規定します。

フックの法則は、特に振動運動、弾性、バネを含む機械システムの研究において、古典力学の多くを支えています。これは線形と回転 (ねじり) 形式の両方を持ち、ばねシステムの位置エネルギーを理解するための基礎となります。

重要なポイント:フックの法則

• フックの法則 バネのような弾性オブジェクトの力と変位の間の線形関係を表します。
• 式はF =–kxです。 線形ばねの場合、F 力です、k はバネ定数、x 変位です。
• バネ定数 (k) 剛性を測定し、単位は N/m (ニュートン/メートル) です。
• フックの法則は弾性限界内でのみ適用されます マテリアルの。
• ねじれバージョン フックの法則はトルクと角変位を関連付けます:τ =–κθ .
• フックの法則は、機械工学、地震学、生物物理学、単振動の問題で使用されます。
• 位置エネルギー ばねに格納された値は U =1/2kx2 です。 線形ばねとU =½κθ²の場合 ねじりバネの場合。
• 複数のスプリングを直列または並列で組み合わせることができます。 式を使用して同等のバネ定数を見つけます。

フックの法則とは何ですか?

フックの法則では、ばねを伸ばすか圧縮するために必要な力は、ばねの平衡位置からの変位に比例すると述べています。

F =−kx

場所:

• フ バネによって加えられる復元力 (ニュートン、N) です。
• k はバネ定数 (N/m) です。
• x 平衡位置からの変位 (メートル単位) です。
• マイナス記号は、力が復元力があることを示します。 、変位の反対方向に向けられます。

フックの法則では次のことを前提としています。

• 素材は線形弾性があります。 、
• 変形は弾性限界内です。 、これを超えると、素材はフックの法則に従わなくなり、永久に変形する可能性があります。

歴史的背景

フックの法則はロバート・ フックによって定式化されました。 1676年に出版され、1678年に彼の著作De Potentia Restitutivaで出版されました。 。彼は当初、この概念をラテン語で次のように表現しました。

「緊張感、シックヴィス」
(「延長としての力」)

この洞察は、バネと材料の弾性に関するフックの研究から生まれ、現代の弾性研究の基礎を築き、構造工学と調和運動理論に貢献しました。

フックの法則の使用

フックの法則は以下に適用されます。

• 機械工学 :サスペンション システム、スプリング、材料のテスト
• 物理学と教育 :単振動、波動、振動子
• 地震学 :地球の地殻を弾性媒体としてモデル化する
• 生物物理学 :組織の分子結合と弾性をモデル化する
• 建設 :梁と柱の耐荷重制限を決定する

フックの法則の制限

• 弾性限界 ：材料の弾性限界までのみ有効です。この点を超えると、材料は塑性的に動作するか、破壊されます。
• マテリアルの種類 :すべての素材が線形弾性があるわけではありません (ゴム、フォームなど)。
• 温度依存性 :温度変化はバネ定数に影響を与える可能性があります。
• ダンピング :フックの法則には、摩擦や内部エネルギー損失は含まれていません。

ばね定数 (k)

ばね定数 、k 、バネの硬さ、または変形に対する抵抗を数値化します。この値は、材質とコイルの設計に応じてスプリングごとに異なります。バネ定数を理解することは、フックの法則を正しく適用し、弾性力やエネルギーが関係する問題を解決するために不可欠です。

• 単位:ニュートン/メートル (N/m) SI で。
• 大きい k バネが硬いということは、伸ばすためにより大きな力が必要になることを意味します。
• 小さい k より柔軟なスプリングを意味します。

k を決定するには 実験的に:
k =F / x

線形ばねのフックの法則

フックの法則の最も一般的な適用は、力に応じて圧縮または伸縮する線形 (らせん) バネです。

数式

F =−kx

場所:

• フ は復元力です。
• x 変位です (伸長の場合は正、圧縮の場合は負)。

問題例

問題 ：バネは10Nの力で0.20m伸びます。バネ定数はどれくらいですか?

解決策 :

k =F / x =10 N / 0.20 m =50 N/m

グラフ

F のグラフ 対x 原点を通る傾き k の直線です。 .

ねじりバネのフックの法則

ねじりバネ 角変位に抵抗し、ねじれによってエネルギーを蓄えます。フックの法則のこの変形は、トルクを角変位に関連付けるものであり、時計、モーター、トーション バーなどのシステムにおいて重要です。原理は線形バネと似ていますが、関係する量が異なります。

数式

τ =− κθ

場所:

• τ はトルク (N・m)、
• κ (kappa) はねじりバネ定数です。 (N·m/rad)、
• θ はラジアン単位の角度変位です。

問題例

問題 ：ねじりバネは0.2ラジアン回転させるのに4N・mのトルクが必要です。 κ とは何ですか?

解決策 :

κ =τ / θ =4 / 0.2 =20 N・m/rad

スプリングの組み合わせ

現実世界の多くのシステムでは、複数のスプリングが一緒に動作します。スプリングを直列に配置する またはパラレル 総ばね定数に影響します。

シリーズ:

直列のスプリングは、弱いスプリングと同様に、さらに伸びます。

1/keq =1/k1 + 1/k2 + ⋯

パラレル:

平行なバネは、より強いバネと同様に、より大きな力に抵抗します。

keq =k1 + k2 + ⋯

例

問題 :k₁ =100 N/m の 2 つのスプリング k₂ =200 N/m は:

1/ keq =1/100 + 1/200 =3/200 ⇒ keq ≈ 66.7 N/m

keq =100 + 200 =300 N/m

バネの位置エネルギー

バネは弾性位置エネルギーを蓄えます。 圧縮または伸張したとき。

リニア スプリング:

U =1/2 kx2

ねじりバネ:

U =1/2 κθ2

例

問題 :k =100 N/mのスプリング x =0.1 m で圧縮されます 。どれくらいのエネルギーが蓄えられていますか?

解決策 :

U =1/2 (100)(0.1)2 =(0.5)(100)(0.01) =0.5 J

フックの法則と単振動 (SHM)

バネに取り付けられた質量が変位して解放されると、質量は平衡点を中心に振動します。フックの法則は、この動きの支配方程式に直接つながります。

ニュートンの第 2 法則を使用する:

F =ma =−kx

これは、加速度が変位に比例し、 平衡状態に向かうことを示しており、 これが単振動を定義します。 .

動議は次のとおりです。

x(t) =A cos⁡(ωt + ϕ)

場所:

• A は振幅です。
• ϕ は位相定数です。
• ω =(k/m)1/2 は角周波数です。

振動の周期 は:

T =2π (m/k)1/2

k が大きいバネ (バネが硬い) はより速く振動しますが、質量が大きいほどゆっくり振動します。

ばね定数の実験による決定

フックの法則は簡単な実験で検証でき、ばね定数を直接測定できます。

装備:

• 春
• マスセット
• 定規またはモーションセンサー
• サポートスタンド

手順:

グラフは直線である必要があります。その傾きからバネ定数が決まります:k=F/x

一般的なエラーの原因

• スプリングを弾性限界を超えて伸ばす
• 測定時の視差誤差
• サポートでの摩擦
• スプリングが完全に垂直ではありません。

この実験方法は、学生がフックの法則がいつ適用されなくなるかを特定するのにも役立ちます。 .

フックの法則の実世界の例

フックの法則は、幅広い機械系および生物学的システムに影響を与えます。

いずれの場合も、線形動作はある点までしか保持されません。極端な力が加わると変形や損傷が生じる可能性があります。

違反と非フックアン動作

すべての材料がフックの法則に従うわけではありません。 非フックアン マテリアル 力と変位の間の非線形関係を表示します。このような場合には、複雑な分子の再配置や時間依存の変形が伴うことがよくあります。

例は次のとおりです。

• 輪ゴム :ひずみ軟化挙動、ポリマー鎖の動きによるヒステリシス
• 泡とスポンジ :セルは座屈しやすく、非線形の圧縮曲線が生成されます。
• 生体組織 :緊張時と弛緩時ではコラーゲンと筋肉の反応が異なります。
• 高応力下にあるプラスチック :降伏点後の永久変形
• 限界点に近い金属 :塑性流動が線形弾性よりも優先されます。

これらの動作は応力 - ひずみ曲線を使用して説明されます。 、

• 線形弾性領域 (フックの法則が適用されます)、
• 降伏点 塑性変形が始まる場所
• ひずみ硬化 または失敗します。 弾性限界を超えています。

非線形弾性を理解することは、工学設計、生体力学、航空宇宙、材料研究において重要です。

物理学の類似法則

いくつかの物理法則はフックの法則の構造を反映しています。

これらの関係は線形応答を共有します。 原因に対する効果の関係であり、多くの場合、比例定数 (バネ定数、抵抗、浸透率など) が関係します。

分子理論からのフックの法則の導出

ばねや固体材料の弾性挙動は、原子と分子間の相互作用から生じます。これらの粒子は、小さなバネのように作用する電磁力によって結合されます。原子が平衡間隔にあるとき、引力と斥力は釣り合います。材料を引き伸ばしたり圧縮したりすると、原子が平衡状態からずれて復元力が生じます。

変位が小さい場合、 化学結合の位置エネルギー曲線は放物線で近似できます。 テイラー級数展開を使用します。この調和近似では 、ポテンシャルは次の形式になります。

U(x) ≈ U0 + 1/2 kx2

復元力は、位置エネルギーの負の勾配です。

F =−dU/dx =−kx

これによりフックの法則が生まれます。変形が大きくなり、結合エネルギー曲線が放物線でなくなると偏差が発生します。そのため、フックの法則は弾性限界内でのみ成立します。

よくある質問 (FAQ)

Q:フックの法則はすべてのマテリアルに適用されますか?
A:いいえ。これは、弾性限界内で線形変形に従う弾性材料にのみ適用されます。

Q:フックの法則に負の符号があるのはなぜですか?
あ :F =–kx の式中のマイナス記号は、ばねによって働く力が復元力であることを示します。これは、変位とは逆の方向に作用することを意味します。バネが右に伸びている場合 (正の x) )、力は左に引き戻されます (負の F)。 )、左に圧縮された場合 (負の x) )、力は右に押します (正の F) ）。負の符号はニュートンの第 3 法則が満たされていることを保証し、ばねが平衡位置に戻ろうとする傾向を反映しています。

Q:材料が弾性限界を超えるとどうなりますか?
A：材質が塑性変形したり、破損する可能性があります。フックの法則はもう適用されません。

Q:フックの法則は機械以外のシステムにも使用できますか?
A:比例応答の概念は物理学では一般的ですが、フックの法則は特に弾性力に適用されます。

Q:ばね定数は常に正ですか?
A:はい。これは剛性を測定し、スカラー量です。力の方向は、式内の符号によって処理されます。

用語集:フックの法則

角変位 (θ) – オブジェクトが平衡位置から軸の周りを回転する角度 (ラジアン単位)。

変形 – 加えられた力による物体の形状またはサイズの変化。弾性 (可逆的) またはプラスチック (永久的) の場合があります。

変位 (x) – 物体が平衡位置から移動する距離。通常はメートル単位で測定されます。フックの法則では、これはバネの伸びまたは圧縮です。

弾性限界 – 材料が変形し、力が取り除かれたときに元の形状に戻ることができる最大範囲。この点を超えると、永久変形が発生します。

弾性位置エネルギー – 弾性物体 (バネなど) が変形したときにその物体に蓄えられるエネルギー。バネの場合、これは U =1/2 kx2 で与えられます。

弾力性 – 加えられた力が取り除かれると、変形後に元の形状に戻ることを可能にする材料の特性。

均衡位置 – 正味の力がゼロである、ばねまたはシステムの自然で乱れのない長さまたは構成。

フォース (F) – 物体を加速または変形させるベクトル量。フックの法則では、バネによって発揮される復元力を指します。

フックの法則 – バネをある距離だけ伸ばしたり縮めたりするのに必要な力はその距離に比例するという原理で、F =−kx で表されます。

線形スプリング – 力と変位が線形関係にあるフックの法則に従うバネ。

質量 (m) – 物体内の物質の量の尺度。バネ質量系の振動を計算するときによく使用されます。

振動 – 平衡位置の周りで繰り返される動き。バネの上で弾む質量など。

ピリオド (T) – ばねまたは振り子システムの振動の 1 つの完全なサイクルにかかる時間 (秒単位で測定)。

塑性変形 – 弾性限界を超えた後に発生する材料の永久的な歪み。

位置エネルギー (U) – その位置または構成によりシステムが持つエネルギー。バネでは、このエネルギーは弾性変形から発生します。

復元力 – 物体を平衡位置に戻すように作用する、バネまたは弾性材料によって及ぼされる力。

単純調和運動 (SHM) – 復元力が変位に正比例し、平衡状態に向かう周期的な動き。

ばね定数 (k) – ばねの剛性の尺度。単位変位ごとに必要な力として定義され、単位はニュートン/メートル (N/m) です。

ストレス – 変形したボディ内の単位面積当たりの内力。材料挙動の工学分析でよく使用されます。

緊張 – 応力下での材料の長さまたは形状の部分的な変化。通常は無次元です。

ねじりバネ – トルクと角変位を使用するフックの法則のバージョンによって制御される、伸びるよりもねじれに抵抗するスプリング。

トルク (τ) – 回転力の尺度。力と回転軸からのレバー アームの距離の積に等しく、ニュートン メートル (N·m) 単位で測定されます。

参考文献

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