ストークスの摩擦の法則は、層流が周囲を通過する球体に作用する抗力を記述します。
流れ抵抗と抗力係数
流体（液体または気体）が物体の周囲を流れると、流体は物体に摩擦力を及ぼします。原理的には、物体が静止していて流体がその周囲を流れるか、あるいはその逆、つまり流体が静止していて物体が流体中を移動するかは問題ではありません。したがって、周囲の流体に対して移動する物体は摩擦力を経験します。この摩擦力は流れ抵抗とも呼ばれます。
一般に、物体の抗力 Fd は次の式で計算できます。
\begin{整列}
\label{f}
&\boxed{F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~A~ c_\text{d}} \\[5px]
\end{整列}
この式では、ϱ は流体の密度を示します。つまり、流体の密度が高いほど、抗力が大きくなります。したがって、空気中を移動する物体は、水中を移動する物体よりも抵抗が少なくなります。
さらに、抗力は、物体が周囲の流体に対して移動する速度 v ∞、または流体が物体の周りを流れる速度に依存します。後者の場合、速度は乱されない流れ (自由流) の速度、つまり流体が流れる物体から十分に長い距離での速度を指します。抗力は流速の二乗に比例します。したがって、速度が 2 倍になるということは、抗力が 4 倍増加することを意味します。
流れ方向を指す本体の領域 A (投影面積) ）も抗力に決定的な影響を与えます。物体が流れの方向にあるランプによって照らされていると想像できます。結果としてオブジェクトの背後の壁に投影される影は、投影領域 A に対応します。
図:空気抵抗を決定するための車の投影面積 投影面積は、流れにさらされる体表面のサイズを表すだけであり、その正確な形状を表すものではありません。ただし、流れ抵抗に関しては、形状が決定的に重要です。たとえば、中空の半球の抗力は、流れが半球の凸面に向かう場合よりも凹面に向かう場合の方がほぼ 4 倍大きくなりますが、どちらの場合も投影面積は明らかに同じです。ボディ形状が抗力に及ぼす影響は、無次元の抗力係数 cd によって表されます。
図:さまざまな物体の抗力係数 層流における球体の抗力係数
幾何学的に複雑な物体の抗力係数は通常、風洞や水路での実験によって決定されます。ただし、滑らかな球などの比較的単純な幾何学的形状の場合、科学者は単純化された条件で抗力係数を計算しようとしました。科学者カスカス 層流における球体の抗力係数を概算するための次の式を開発しました。
\begin{整列}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} +\frac{4}{\sqrt{Re}}+0.4}~~Re<2\cdot 10^5 \\[5px]
\end{整列}
この式において、Re はレイノルズ数による無次元流速を示します。球体の場合、レイノルズ数は流速 v ∞、流体の密度 ϱ および動粘度 η と特性長さとしての球の直径 d によって決まります。 :
\begin{整列}
&\boxed{Re =\frac{v_\infty~d~\rho}{\eta}} \\[5px]
\end{整列}
小さいレイノルズ数に対するストークスの摩擦の法則
層流にもかかわらず、流れの剥離 (境界層の剥離) と渦は通常、球体の背後に形成され、レイノルズ数が高い場合には乱流の後流が発生します。下の図は、乱流の後流を持つボールの周りの層流の概略的な流線画像を示しています。
図:乱流後流のある球の周囲の層流 レイノルズ数が 1 未満の低い流速の場合にのみ、対称的な流線パターンが想定されます。このような流れはクリーピング流れとも呼ばれます。 完全に球に付着しており、下流側では渦を形成しません。この場合、科学者のストークスは、ナビエ・ストークス方程式から抗力係数を決定するための次の式を導き出すことができました。
\begin{整列}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} }~~Re<1 \\[5px]
\end{整列}
図:球の周囲の完全な層流 Kaskas の公式は Stokes の公式と矛盾しません。レイノルズ数が小さい場合、カスカスの式の最後の 2 項は最初の項に比べて無視できます。したがって、カスカスの式から得られる値は、ストークスの式から得られる抗力値にますます近づきます。ストークスの公式を方程式 (\ref{f}) で使用すると、球の周りの完全な層流の抗力について次の関係が得られます。
\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{A}~ \color{blue}{c_\text{d}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{\frac{\pi}{4}d^2}~ \color{blue}{\frac{24}{Re}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\bcancel{\rho}~v_\infty^\bcancel{2}~\frac{\pi}{4}d^\bcancel{2}~ \frac{24~\eta}{\bcancel{v_\infty}~\bcancel{d}~\bcancel{\rho}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~v_\infty~\frac{\pi}{4}d~ 24~\eta \\[5px]
&F_\text{d} =3\pi~\eta~v_\infty~d \\[5px]
&\boxed{F_\text{d} =6\pi~\eta~v_\infty~r} ~~~\text{ストークスの摩擦の法則}\\[5px]
\end{整列}
層流による球体の流動抵抗は、流体の粘度η、流速v∞、球の半径rに依存します。流速は速度の 2 乗では抗力に影響を与えず、比例的にのみ影響することに注意してください。
球体の周囲の層流に関するストークスの摩擦の法則では、抗力は流体の粘度、流速、球の半径に比例すると述べています。
流体の粘度と球に生じる抗力との関係は、たとえば球の沈下速度に基づいて流体の粘度について結論を導くために、いわゆる落下球粘度計で使用されます。
図:落球式粘度計の原理 
