数学者は、微量の質量を持つ宇宙の幾何学を解明する定理を証明しました。
はじめに
アルバート・アインシュタインの一般相対性理論は、重力がどのように機能し、重力が宇宙の大規模構造をどのように形作るかを説明することに大成功を収めました。それは物理学者ジョン・ウィーラーの言葉に要約されています。「時空は物質にどのように動くかを教え、物質は時空にどのように曲がるかを教える。」しかし、一般相対性理論の数学は、非常に直観に反するものでもあります。
その基本方程式は非常に複雑であるため、最も単純に聞こえるステートメントでさえ証明するのが困難です。たとえば、数学者が一般相対性理論の主要定理の一部として、質量のない孤立した物理系または空間は平らでなければならないことを証明したのは 1980 年頃になってからです。
このため、空間がほとんど真空であり、質量がほんのわずかしかない場合、その空間はどのように見えるかという問題が未解決のまま残されました。必然的にほぼ平坦になるのでしょうか?
質量が小さいほど曲率が小さくなるのは明らかだと思われるかもしれませんが、一般相対性理論に関しては、物事はそれほど単純ではありません。この理論によれば、物質が高密度に集中すると、空間の一部が「歪み」、空間が大きく湾曲する可能性があります。場合によっては、この曲率が極端になり、ブラック ホールの形成につながる可能性があります。これは、物質が十分に強く集中していれば、少量の物質が存在する空間でも発生する可能性があります。
最近の論文で、ストーニー ブルック大学の大学院生であるコンハン ドン氏とカリフォルニア工科大学の助教授であるアントワン ソング氏は、質量がますます小さくなる一連の湾曲した空間が最終的には曲率ゼロの平らな空間に収束することを証明しました。
この結果は、一般相対性理論の数学的探求における注目に値する進歩であり、この探求は、アインシュタインが理論を考案してから 1 世紀以上にわたって利益をもたらし続けています。一般相対性理論の数学を研究しているクイーンズ大学の数学者ダン・リー氏は、この研究には関与していませんが、ドン氏とソン氏の証明は曲率と質量がどのように相互作用するのかについての深い理解を反映していると述べました。
彼らが証明したこと
Dong と Song による証明は 3 次元空間に関するものですが、説明のために最初に 2 次元の例を考えてみましょう。質量のない平らな空間を、普通の滑らかな紙のようなものとして想像してください。この場合、質量が小さい空間は、遠くから見ると同じように見える可能性があります。つまり、ほとんどが平らです。しかし、詳しく検査すると、物質のクラスター化の結果、あちこちで鋭いスパイクや泡が発生していることがわかるかもしれません。これらのランダムな露出により、紙はよく手入れされた芝生のように見え、時折キノコや茎が表面から突き出ています。
ドン氏とソン氏は、数学者のゲルハルト・ホイスケン氏とトム・イルマネン氏が2001年に定式化した予想を証明した。この推測では、空間の質量がゼロに近づくと、その曲率もゼロに近づく必要があると述べられています。しかし、Huisken と Ilmanen は、このシナリオはバブルとスパイク (数学的には互いに区別される) の存在によって複雑になることを認識しました。彼らは、各切除によって空間の表面に残される境界領域が小さくなるような方法で、泡とスパイクを切除できるのではないかと仮説を立てました。彼らは、これらの厄介な付属物を取り除いた後に残る空間はほぼ平らになるだろうと示唆しましたが、証明することはできませんでした。また、そのようなカットをどのように行うべきかもわかりませんでした。
「これらの質問は難しく、ホイスケン・イルマネン予想の解決策が見つかるとは期待していませんでした」とリー氏は言いました。
推測の中心となるのは曲率の測定です。空間はさまざまな方法、さまざまな量、さまざまな方向に曲がります。たとえば、（2 次元での）前後に進むと上に曲がり、左右に進むと下に曲がるサドルのようになります。 ドン氏とソン氏はそうした詳細を無視している。彼らは、スカラー曲率と呼ばれる概念を使用します。これは、全方向の完全な曲率を要約する単一の数値として曲率を表します。
コーネル大学のダニエル・スターン氏は、ドン氏とソング氏の新しい研究は、「スカラー曲率が空間全体の幾何学をどのように制御するかを示す、これまでに得られた最も強力な結果の1つ」であると述べた。彼らの論文は、「非負のスカラー曲率と小さな質量があれば、空間の構造を非常によく理解できる」ことを示しています。
証拠
Huisken-Ilmanen 予想は、質量が着実に減少する空間の幾何学に関するものです。これは、質量の小さい空間が平坦な空間にどれだけ近いかを示すための具体的な方法を規定しています。この尺度はグロモフ・ハウスドルフ距離と呼ばれ、数学者のミカエル・グロモフとフェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられました。グロモフ-ハウスドルフ距離の計算は 2 段階のプロセスです。
最初のステップは、ハウスドルフ距離を求めることです。 A と B という 2 つの円があるとします。A 上の任意の点から始めて、B 上の最も近い点までの距離を計算します。
A 上のすべての点に対してこれを繰り返します。見つけた最大距離は、円間のハウスドルフ距離です。
メリル・シャーマン/クアンタ・ マガジン
ハウスドルフ距離を取得したら、グロモフ-ハウスドルフ距離を計算できます。これを行うには、オブジェクト間のハウスドルフ距離を最小限に抑えるために、オブジェクトをより広いスペースに配置します。 2 つの同一の円の場合、文字通り互いの上に置くことができるため、それらの間のグロモフ・ハウスドルフ距離はゼロになります。このような幾何学的に同一のオブジェクトは「アイソメトリック」と呼ばれます。
もちろん、比較対象の物体や空間が似ていても同じではない場合、距離の測定はより困難になります。グロモフ-ハウスドルフ距離は、最初は異なる空間にある 2 つのオブジェクトの形状間の類似点 (または相違点) を正確に測定します。 「グロモフ・ハウスドルフ距離は、2 つの空間がほぼ等長であることを示す最良の方法の 1 つであり、その「ほぼ」を数値で示します」とスターン氏は言いました。
ドン氏とソン氏は、質量の小さな空間と完全に平らな空間を比較する前に、やっかいな突起物、つまり物質が密集している狭いスパイクや、小さなブラックホールが潜んでいる可能性のあるさらに高密度の泡を切り取る必要がありました。 「私たちは、[スライスが作成された] 境界領域が小さくなるようにそれらを切り出しました。」と Song 氏は言いました。「そして、質量が減少するにつれて領域が小さくなることを示しました。」
この戦術は騙しのように聞こえるかもしれないが、スターン氏は、質量が減少するにつれて面積がゼロに縮小する気泡やスパイクを切り出すことによって一種の前処理を行うことは、予想を証明する上では許容されると述べた。
質量の小さい空間の代用として、もう一度滑らかにした後も鋭い折り目や折り目が残っている、しわくちゃの紙を想像してみてはいかがでしょうか、と彼は提案しました。穴パンチを使用して最も目立つ凹凸を除去すると、いくつかの穴が開いたわずかに凹凸のある紙が残ります。穴のサイズが小さくなるにつれて、紙の地形の不均一さも小さくなります。限界に達すると、穴はゼロに縮小し、山や隆起は消え、均一に滑らかな紙が残されます。これは、平らな空間の真の代用です。
それがDong氏とSong氏が証明しようとしたことだ。次のステップは、粗い特徴を取り除いたこれらの裸の空間が、完全な平坦さの標準に対してどのように積み重なるかを確認することでした。彼らが追求した戦略では、ある空間の点を別の空間の点と関連付けることによって 2 つの空間を比較する方法である、特殊な種類のマップが利用されました。彼らが使用した地図は、スターンと 3 人の同僚 (ヒューバート ブレイ、デメトレ カザラス、マーカス クーリ) によって書かれた論文で開発されました。この手順により、2 つのスペースがどれだけ近いかを正確に説明できます。
タスクを簡素化するために、Dong と Song は、Stern と彼の共著者による別の数学的トリックを採用しました。これは、卵スライサーのピンと張ったワイヤーによってゆで卵を狭いシートに分割できるのと同じように、3 次元空間をレベル セットと呼ばれる無限に多くの 2 次元のスライスに分割できることを示しました。
レベル セットは、それが構成する 3 次元空間の曲率を継承します。 Dong 氏と Song 氏は、より大きな 3 次元空間ではなくレベル セットに注目することで、問題の次元を 3 次元から 2 次元に減らすことができました。 Song 氏は、「私たちは 2 次元の物体についてよく知っており、それを研究するためのツールをたくさん持っているので、非常に有益です」と述べました。
各レベルセットが「ある意味平坦」であることをうまく示すことができれば、質量の少ない 3 次元空間が平坦に近いことを示すという全体的な目標を達成できるだろうと Song 氏は述べています。幸いなことに、この戦略はうまくいきました。
次のステップ
今後を見据えて、この分野の次の課題の 1 つは、気泡やスパイクを除去し、切り取られた領域をより適切に記述するための正確な手順を提示することで、証明をより明確にすることである、と Song 氏は述べています。しかし今のところ、「それを達成するための明確な戦略はない」と彼は認めました。
もう一つの有望な道は、リーとニューヨーク市立大学の数学者クリスティーナ・ソルマーニによって2011年に定式化された別の予想を調査することだ、とソン氏は述べた。 Lee-Sormani 予想は、Huisken と Ilmanen が提起したものと同様の質問をしますが、形状間の違いを測定する異なる方法に依存しています。グロモフ-ハウスドルフ距離のように 2 つの形状間の最大距離を考慮する代わりに、リー-ソルマーニのアプローチでは、それらの間の空間の体積について質問します。そのボリュームが小さいほど、それらは近くなります。
一方、Song 氏は、物理学が動機ではないスカラー曲率に関する基本的な疑問を調査したいと考えています。 「一般相対性理論では、無限遠でほぼ平坦な非常に特殊な空間を扱いますが、幾何学ではあらゆる種類の空間を扱います。」
一般相対性理論とは関係なく、「これらの技術が他の環境でも価値があると期待されている」とスターン氏は語った。 「関連する問題は数多く存在しており、調査が待たれている」と彼は言いました。
