約 1 年前、理論化学者のサルバトーレ トルクァートは、数論者のマシュー ド クールシー アイルランドと会い、素数、つまり 1 とそれ自体でしか割り切れない正の整数を使って非常に型破りなことを行ったと説明しました。
プリンストン大学の化学教授であるトルクアート氏は、通常、結晶、コロイド、さらには彼のよく知られた成果の 1 つである M&M のパックにおける粒子の配置など、物理システムの構造のパターンを研究しています。彼の分野では、構造を推定する標準的な方法は、物体から X 線を回折することです。 X線が当たると、液体やガラス中の無秩序な分子があらゆる方向に散乱し、認識できるパターンが形成されません。しかし、結晶内に対称的に配置された原子は光波を同期して反射し、反射波が強めに干渉する周期的な明るいスポットを生成します。 1910 年代に回折の先駆者となった結晶学者親子の名をとって「ブラッグ ピーク」として知られるこれらの明るいスポットの間隔は、散乱オブジェクトの組織を明らかにします。
トルクアート氏は、別の数学者から推薦を受けたプリンストン大学の最終学年の大学院生であるド・クルシー・アイルランド氏に、1年前に直感で素数列の回折を行ったことがあると語った。素数の分布におけるとらえどころのない秩序を強調したいと考えて、彼と彼の学生であるGe Zhangは素数を一次元の粒子列、つまり光を散乱させることができる小さな球体としてモデル化した。コンピューター実験では、10,000,000,019から始まる数百万個ほどの素数などの長い素数配列に光を反射させた。 (彼らは、この「ゴルディロックス間隔」には、干渉パターンが明らかになるほどまばらになることなく、強い信号を生成するのに十分な素数が含まれていることを発見しました。)
どのようなパターンが現れるのか、そもそも存在するのかどうかは明らかではありませんでした。すべての自然数の分割できない構成要素である素数は、飛び石の跳ね返りのように数直線上を不規則に飛び回り、その後に深い疑問を引き起こします。 「これらは、多くの点で、ランダムな数字の並びと区別するのが非常に困難です」とド・クルシー・アイルランド氏は語った。数学者は何世紀にもわたって素数の間隔に関する多くの規則を発見してきましたが、「明確なパターンを見つけるのは非常に難しいため、私たちは単にそれらを『ランダムのようなもの』と考えています。」
しかし、3 つの新しい論文で、1 つは Torquato、Zhang、およびJournal of Physics A に掲載された計算化学者の Fausto Martelli によるものです。 2 月に発表された論文と、de Courcy-Ireland との共著でまだ査読されていない他の 2 冊の論文です。研究者らは、素数は結晶と同様、液体とは異なり、回折パターンを生成すると報告しています。
「これの素晴らしいところは、素数がどのようなものであるかについて結晶学者の視点が得られることです」と、マイクロソフト リサーチ ニュー イングランドおよびマサチューセッツ工科大学の数学者ヘンリー コーン氏は言います。
結果として生じるブラッグピークのパターンは、これまでに見られたものとは全く異なっており、物理システムとしての素数が「全く新しいカテゴリーの構造である」ことを示唆しているとトルクアート氏は述べた。プリンストンの研究者らは、このフラクタルのようなパターンを「実効限界周期性」と名付けました。
これは、最も一般的な素数の間隔を反映する、明るいピークの周期的なシーケンスで構成されます。それらのすべて (2 を除く) は、数直線上の 2 の倍数離れた奇数整数の位置にあります。これらの最も明るい明るいピークには、数直線上で 6 の倍数で区切られた素数を反映する、それほど明るくないピークが一定の間隔で点在しています。これらの間には、より離れた素数のペアに対応する暗いピークがあり、ブラッグ ピークの無限密なネストが続きます。
密なブラッグ ピークは、1980 年代に発見された対称的だが反復しない原子配置を持つ奇妙な物質である準結晶の回折パターンで以前にも見られました。ただし、素数の場合、準結晶の不合理な間隔のブラッグ ピークとは異なり、ピーク間の距離は互いのほんの一部です。 「素数は、実際には、準結晶のようだが準結晶ではない、粒子の位置のまったく異なる状態を示唆しています」とトルクアート氏は言いました。
Lucy Reading - Ikanda/Quanta Magazine; Sven.hovmoeller による結晶回折パターン。 Materialscientist による準結晶回折パターン)
インタビューした多数の整数論者によると、プリンストン大学の研究チームの発見が整数論の進歩を引き起こすと期待する理由はないという。関連する数学のほとんどは、以前に別の装いで見られました。実際、昨年の春、トルクァートが（コーンの提案で）ド・クールシー・アイルランドにプロットと公式を見せたとき、若い数学者は素回折パターンが「数論でほぼ普遍的に受け入れられている予想の観点から説明できる」ことにすぐに気づきました。
これは、トルクアート氏がサバティカルを過ごしていたニュージャージー州プリンストンの高等研究所で行われた、二人の間の多くの会合の最初のものであった。この化学者はド・クルシー・アイルランドに対し、自分の公式を使えば、17 と 19 のように 2 つずつ離れた素数のペアである「双子素数」の頻度を予測できると語った。数学者は、トルクアートは実際に他のすべての分離も同様に予測できると答えた。ブラッグ ピークの式は、ハーディ-リトルウッドのk式と数学的に同等でした。 -タプル予想。1923 年にイギリスの数学者ゴッドフリー ハーディとジョン リトルウッドが素数のどの「星座」が存在し得るかについて行った強力な声明です。あるルールでは、{7, 9, 11} のように、セット内の 1 つは常に 3 で割り切れるため、{3, 5, 7} の後に 3 つの連続する奇数の素数を禁止しています。この規則は、素数の回折パターンで 2 番目に明るいピークが、4 つではなく 6 つ離れた素数のペアから生じている理由を示しています。
ハーディとリトルウッドの予想は、許容されるすべての素数星座が数直線上にどのくらいの頻度で現れるかをさらに指定しました。ハーディ＝リトルウッドの最も単純なケースである「双子素数予想」でさえ、現代の急速な進歩を見せているにもかかわらず、まだ証明されていません。素数回折は本質的にそれを再公式化するものであるため、専門家らは、ハーディ・リトルウッドの証明、さらに言えば、素数の分布をリーマンゼータ関数の「臨界零点」に結びつける 1859 年の公式である有名なリーマン予想の証明につながる可能性は非常に低いと述べています。
しかし、この発見は、「非周期秩序」と呼ばれる比較的若い研究領域、つまり結晶学、力学系、調和解析、離散幾何学の交差点に位置する非反復パターンの研究に共鳴するものであり、準結晶の発見後に成長した。 「もともと結晶を理解するために開発された技術は、準結晶の発見により大幅に多様化しました」とスミス大学の数学結晶学者マージョリー・セネシャルは言う。 「人々は、単純で単純な周期回折だけではなく、それ以上のものを突然理解する必要があることに気づき始めました。そして、これは分野全体、非周期秩序になりました。これを数論と組み合わせるのは、非常にエキサイティングです。」
Parcly Taxel から改作
素数のパターンは、限界周期性と呼ばれる、少なくとも1950年代から知られていた一種の非周期秩序に似ているが、「驚くべきひねりを加えている」とコーン氏は語った。真の限界周期システムでは、周期間隔が無限の階層にネストされているため、どの間隔内でも、より大きな間隔でのみ繰り返されるパターンの部分がシステムに含まれます。その一例は、テイラー・ソコラータイルと呼ばれる奇妙な多分岐形状のテッセレーションで、オーストラリアのアマチュア数学者ジョーン・テイラーによって1990年代に発見され、2010年にデューク大学のジョシュア・ソコラーとともに詳細に分析された。ソコラーによると、コンピューター実験は物質の限界周期相が自然界で形成できるはずであることを示しており、計算ではそのような系が異常な特性を持つ可能性があることを示唆しているという。誰も素数との関係を推測しませんでした。それらの間隔の同時性はシステム全体にわたって統計的にのみ保持されるため、それらは「事実上」限界周期的、つまり新しい種類の秩序です。
de Courcy-Ireland 氏は、素数に有効な限界周期性が現れる「ゴルディロックス」スケールをより深く理解したいと考えています。 1976 年、コロンビア大学のパトリック ギャラガーは、素数の間隔が短い間隔ではランダムに見えることを示しました。パターンが現れるには、より長いストリップが必要です。新しい回折研究では、ド・クールシー・アイルランドとその化学者の共同研究者が、限界周期パターンの存在を制御する「オーダーメトリック」と呼ばれる量を分析した。 「この量が増加し始めるまでにどれくらいの間隔が必要かを特定できます」と彼は言いました。彼は、この同じ区間長がマイヤーの定理と呼ばれる別の素数規則にも現れることに興味をそそられました。しかし、このスレッドがどこかにつながるかどうかを判断するには時期尚早です。
ブリストル大学のジョナサン・キーティング氏は、主回折パターンの主な利点は「刺激的」であり、「さまざまな考え方とのつながりを生む」ことだと述べた。しかし、モントリオール大学の高名な整数論者アンドリュー・グランビル氏は、トルクアート氏らの研究を「大げさ」で「既知のアイデアの単なる逆流」と呼んだ。
トルクアート氏は、自分の研究が数論者にどのように受け止められるかについては特に心配していません。彼は素数のパターンを垣間見る方法を発見した。 「実際、それは素晴らしいことだと思う」と彼は言った。 「ショックですね。」
