素粒子物理学者が実験をモデル化しようとするとき、彼らは不可能な計算に直面します — 現代数学の範囲を超えた無限に長い方程式です。
幸いなことに、彼らはこの難解な数学を最後まで見なくても、ほぼ正確な予測を生成できます。ヨーロッパにある CERN の大型ハドロン衝突型加速器の科学者は、計算を短くすることで、亜原子粒子を 17 マイル (約 17 マイル) 近くのトラックの周りを互いに向けて発射したときに実際に観察したイベントと一致する予測を行います。
残念ながら、予測と観測が一致する時代は終わりを告げるかもしれません。測定値がより正確になるにつれて、理論家が予測を行うために使用する近似スキームが追いつかない可能性があります.
CERN の素粒子物理学者である Claude Duhr 氏は、次のように述べています。
しかし、イタリアのパドヴァ大学のピエルパオロ・マストロリアと、ニュージャージー州プリンストンにある高等研究所のセバスチャン・ミゼラが率いる物理学者グループの最近の 3 つの論文で、方程式の根底にある数学的構造が明らかになりました。この構造は、際限のない用語を数十の必須コンポーネントに折りたたむ新しい方法を提供します。彼らの方法は、素粒子物理学の主要ではあるが不完全なモデルを超えようとする場合、理論家が必死に必要とする新しいレベルの予測精度をもたらすのに役立つ可能性があります。
「彼らは、これが非常に有望な技術であることを示す多くの概念実証結果を提供しました」と Duhr 氏は述べています。
改善された予測よりも大きな見返りがある可能性があります。
新しい方法は、「交点数」を直接計算することで従来の数学的スローグを回避します。これにより、最終的に素粒子の世界のより洗練された記述につながる可能性があります。
「これは単なる数学ではない」と、Mastrolia と Mizera の研究の意味を研究している量子理論家であるマギル大学の Simon Caron-Huot は述べた。 「これは、場の量子論に深く組み込まれているものです。」
無限ループ
物理学者が粒子の衝突をモデル化するとき、ファインマン ダイアグラムと呼ばれるツールを使用します。これは、1940 年代にリチャード ファインマンによって考案された単純な図です。
これらの図の感触をつかむために、単純な粒子イベントを考えてみましょう。2 つのクォークがストリークし、「衝突」して 1 つのグルオンを交換し、別々の軌道で跳ね返ります。
ファインマン ダイアグラムでは、クォークの経路は「脚」で表され、粒子が相互作用するときに結合して「頂点」を形成します。ファインマンは、この漫画を、イベントが実際に発生する確率を計算する方程式に変換するためのルールを開発しました。各脚と頂点 (通常は粒子の質量と運動量を含む分数) に特定の関数を記述し、すべてを乗算します。このような単純なシナリオの場合、計算はカクテル ナプキンに収まる可能性があります。
しかし、量子論の黄金律はすべての可能性を考慮することであり、単純なグルオンの交換は、2 つのクォークが衝突したときに展開する可能性のあるシナリオの 1 つにすぎません。交換されたグルオンは、たとえば、瞬時に再構成する前に、一時的に「仮想」クォーク対に分裂する可能性があります。 2 つのクォークが入り、2 つのクォークが去りますが、途中で多くのことが起こります。完璧な予測を意味する完全な説明には、無数の図が必要になります。完璧を期待する人はいませんが、計算の精度を向上させる鍵は、無限に続く一連のイベントをさらに進めることです。
そして、それが物理学者が行き詰まっているところです。
その隠れた中心にズームインすると、仮想粒子が関与します。これは、各相互作用の結果に微妙に影響を与える量子ゆらぎです。上記のクォーク ペアのつかの間の存在は、多くの仮想イベントと同様に、閉じた「ループ」を持つファインマン ダイアグラムによって表されます。ループは物理学者を混乱させます。ループは、無限のシナリオの追加レイヤーを導入するブラック ボックスです。ループによって暗示される可能性を集計するには、理論家は積分として知られる加算操作に目を向ける必要があります。これらの積分は、マルチループのファインマン ダイアグラムで巨大な割合を占めます。これは、研究者がラインを下って、より複雑な仮想相互作用で折りたたむときに作用します。
物理学者は、ループのないシナリオと 1 ループのシナリオの確率を計算するアルゴリズムを持っていますが、多くの 2 ループの衝突はコンピューターを屈服させます。これは、予測精度に上限を課し、物理学者が量子論の言うことをどれだけ理解できるかにも上限を課します。
しかし、小さな慈悲が 1 つあります。物理学者は、複雑なファインマン ダイアグラムの最後の積分をすべて計算する必要はありません。これは、大部分をひとまとめにすることができるためです。
数千の積分を数十の「マスター積分」に減らすことができ、それらは重み付けされて加算されます。しかし、正確には、どの積分がどのマスター積分の下に含まれるかは、それ自体が難しい計算上の問題です。研究者はコンピューターを使用して、本質的に何百万もの関係を推測し、重要な積分の組み合わせを骨の折れる方法で抽出します。
しかし交点数を使えば、物理学者は膨大なファインマン積分の計算から重要な情報をエレガントに抜き出す方法を見つけたかもしれません。
幾何学的指紋
Mastrolia と Mizera の研究は、形状と空間を分類する代数トポロジーと呼ばれる純粋数学の分野に根ざしています。数学者は、複雑な幾何学的空間から代数的フィンガープリントを抽出できるようにする「コホモロジー」理論を使用してこの分類を追求します。
フランスのモンペリエ大学の数学者である Clément Dupont は次のように述べています。
ファインマン ダイアグラムは、コホモロジーによる解析に適した幾何学的空間に変換できます。これらの空間内の各ポイントは、2 つの粒子が衝突したときに発生する可能性のある多数のシナリオの 1 つを表している可能性があります。
この空間のコホモロジーを取得することで (その代数構造を見つけることで)、それをサポートするマスター積分の重みを計算できると素朴に期待するかもしれません。しかし、ほとんどのファインマン ダイアグラムを特徴付けるタイプの幾何学的空間は、多くのコホモロジー計算に抵抗する方法でゆがめられています。
2017 年、ミゼラはひも理論のオブジェクトがどのように衝突するかを分析するのに苦労していました。彼は、1970 年代と 1980 年代にイスラエル ゲルファンドと青本和彦によって開発されたツールに出くわしました。彼らは「ツイスト コホモロジー」と呼ばれるコホモロジーの一種を扱っていました。その年の後半、Mizera は Mastrolia に出会い、これらの手法が Feynman ダイアグラムにも有効であることに気付きました。昨年、彼らはこのコホモロジー理論を使用して単純な粒子衝突を含む計算を効率化する 3 つの論文を発表しました。
彼らの方法は、関連する物理シナリオのファミリーを取り、それを幾何学的空間として表し、その空間のねじれたコホモロジーを計算します。 「このツイスト コホモロジーには、私たちが関心を持っている積分についてすべてのことが言えます」と Mizera 氏は述べています。
特に、ツイスト コホモロジーは、予想されるマスター積分の数とその重みを教えてくれます。重みは、「交差数」と呼ばれる値として現れます。最終的に、何千もの積分が数十のマスター積分の加重和に縮小されます。
これらの交点数を生成するコホモロジー理論は、計算負荷を軽減するだけでなく、計算で最も重要な量の物理的重要性を指摘することもできます.
たとえば、仮想グルオンが 2 つの仮想クォークに分裂する場合、クォークの可能な寿命はさまざまです。関連する幾何学的空間では、各点は異なるクォークの寿命を表すことができます。研究者が重みを計算すると、仮想粒子が最も長く持続するシナリオ (つまり、粒子が本質的に現実になるケース) が最も結果を形作ることがわかります。
「それがこの方法の素晴らしいところです」と Caron-Huot 氏は言います。 「これらのまれな特別なイベントから始めて、すべてを再構築します。」
先週、Mizera、Mastrolia、および同僚は、この手法が実世界の 2 ループ図を処理するのに十分なほど成熟したことを示す別のプレプリントを公開しました。 Caron-Huot による次の論文は、この方法をさらに推し進め、おそらく 3 ループ図を後押しするでしょう。
成功すれば、この手法は次世代の理論的予測の先駆けとなる可能性があります。そして、何人かの研究者は、それが現実に対する新しい見方を予見することさえあるのではないかと疑っています.
