時々、「指数関数的成長」は単なる比喩表現であり、不当または信じられないほど急速に成長するものすべてを指します。しかし、場合によっては、指数関数的成長の概念を文字通り受け取ることができます。たとえば、ウサギの個体数は、各世代が増殖するにつれて指数関数的に増加し、その後、その子孫が増殖するなどします。ビジネスや個人の収入も指数関数的に増加する可能性があります。指数関数的成長の実際の計算を行うよう求められた場合、開始値、成長率 (または減衰)、時間の 3 つの情報を使用します。
TL;DR (長すぎる; 読んでいない)
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指数関数的成長を計算するには、式 y を使用します (t ) =a__e, ここで a 開始時の値、k は成長率または衰退率、t は時間で y (t ) は時刻 t での母集団の値です .
指数関数的成長率の計算方法
科学者が新種のバクテリアの増殖を研究していると想像してください。彼は開始量、成長率、時間の値を個体数成長計算機に入力することもできましたが、細菌個体群の成長率を手動で計算することにしました。
<オール>彼の綿密な記録を振り返ってみると、科学者は彼の最初の個体数が 50 のバクテリアであったことに気付きました。 5 時間後、彼は 550 のバクテリアを測定しました。
科学者の情報を指数関数的な成長または減衰の方程式に入力する y (t ) =a__e 、彼は:
550 =50_e_
方程式に残っている唯一の未知数は k です 、または指数関数的成長率。
k の解決を開始するには 、まず方程式の両辺を 50 で割ります。これにより、以下が得られます。
550/50 =(50_e_)/50、次のように簡略化:
11 =e
次に、両辺の自然対数をとり、ln(x ）。これにより以下が得られます:
ln(11) =ln(e )
自然対数は e の逆関数です 、そのため、e を効果的に「元に戻す」 式の右辺に関数を追加すると、次の結果が得られます:
ln(11) =_k_5
次に、変数を分離するために両辺を 5 で割ると、次のようになります。
k =ln(11)/5
これで、このバクテリア集団の指数関数的増殖率がわかります:k =ln(11)/5。この人口でさらに計算を行う場合 - たとえば、成長率を方程式に代入し、t での人口サイズを推定する場合 =10 時間 – このフォームに回答を残すことをお勧めします。しかし、それ以上の計算を行わない場合は、その値を指数関数電卓 (または関数電卓) に入力して、推定値 0.479579 を取得できます。実験の正確なパラメータによっては、計算や表記を簡単にするために、0.48/時間に丸めることができます。
ヒント
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成長率が 1 未満の場合、人口が減少していることがわかります。これは、減衰率または指数関数的減衰率として知られています。
