1950 年代、数学に精通した 4 人の米陸軍兵士が原始的な電子計算機を使用して、ブラックジャックをプレイするための最適な戦略を考え出しました。その結果は、後に Journal of the American Statistical Association に掲載されました。 、ゲームで遭遇するすべての状況に対してプレーヤーが下すことができる最善の決定を詳述しました.
しかし、その戦略は、ギャンブラーが「本」と呼ぶものに発展することになりますが、プレイヤーが勝つことを保証するものではありませんでした。ブラックジャックは、ソリティア、チェッカー、その他の多くのゲームと同様に、プレイヤーがプレイできる最高のプレイをしたとしても、勝利を期待できるゲームの割合に上限があります。
しかし、特に奇妙なゲームでは、この最大勝率を計算することは不可能です。代わりに、数学者とコンピューター科学者は、これらのゲームの最大勝利確率を近似することさえ可能かどうかを判断しようとしています.そして、その可能性が存在するかどうかは、物理学についての 2 つの非常に異なる考え方の互換性にかかっています。
これらの「非局所」ゲームは、1960 年代に物理学者のジョン・スチュワート・ベルによって、エンタングルメントと呼ばれる奇妙な量子現象を理解する方法として考案されました。量子エンタングルメントは複雑ですが、非ローカル ゲームはそうではありません。 2 人のプレーヤーがいて、それぞれに簡単な質問をします。答えが特定の方法で調整された場合、彼らはゲームに勝ちます。残念ながら、彼らはお互いにコミュニケーションをとることができないので、お互いがどのように答えるかを推測する必要があります. Bell は、プレーヤーが絡み合った量子粒子のペアを共有できれば、回答間の相関関係を強化し、予想よりも高い確率でゲームに勝つことができることを証明しました.
私が最近の記事「単純な量子ゲームによって明らかになった宇宙の究極の複雑さ」で書いたように、過去数年間、研究者はベルのセットアップについて詳しく説明してきました。 William Slofstra による 2016 年の論文と、Andrea Coladangelo と Jalex Stark による 2018 年の論文は、一部の非ローカル ゲームでは、プレイヤーが共有するもつれた量子粒子のペアが多いほど、より良いプレイができることを証明しました。この関係は無期限に保持されます。つまり、プレイヤーは非ローカル ゲームを最高の状態でプレイするために、絡み合った粒子の無限のペア (または無限の数の独立したプロパティを持つ絡み合ったペア) を必要とします。
これらの結果の 1 つの結果は、一部の非ローカル ゲームの最大勝率を計算することが不可能であることです。コンピューターは無限の量を扱うことができないため、完璧なアルゴリズム戦略が絡み合った粒子の数が無限である必要がある場合、コンピューターはその戦略がどれくらいの頻度で報われるかを計算できません。
「これは、ゲームの説明を入力するだけで最大の成功確率を出力する一般的なアルゴリズムではありません」と、トロント大学の理論計算機科学者である Henry Yuen 氏は述べています。
しかし、最大勝率を正確に知ることができない場合、少なくとも数パーセント以内で計算できるでしょうか?
数学者はこの問題に懸命に取り組んできました。奇妙なことに、彼らのアプローチは、物理学についての 2 つの非常に異なる考え方の互換性に依存しています。
非ローカル ゲームの 2 人のプレイヤーは、回答を調整しないようにする必要があることを思い出してください。これを確実にする方法は 2 つあります。 1 つ目は、プレイヤーを互いに物理的に隔離することです。つまり、プレイヤーをそれぞれ別の部屋に配置するか、宇宙の両端に配置します。この空間的な隔離により、コミュニケーションできないことが保証されます。研究者は、「テンソル積」モデル (テンソルと呼ばれる数学的オブジェクトを参照) と呼ばれるものを使用して、この状況を分析します。
しかし、プレイヤーが自分の答えを陰謀できないようにする別の方法があります。それらを分離する代わりに、別の要件を課します:2 人のプレーヤーが絡み合った粒子を測定し、答えを出す順序は、彼らが与える答えに影響を与えることはできません。 「彼らが測定を行う順序が重要ではない場合、彼らは明らかにコミュニケーションをとることはできません」とユエンは言いました.
数学では、物事が行われる順序が最終的な答えに影響を与えない場合、操作が交換されると言います:a × b =b × a .空間的な分離ではなく順序の独立性に基づく非ローカル ゲームのこの考え方は、「通勤オペレーター」モデルと呼ばれます。
テンソル積モデルと交換演算子モデルは、物理学、特に場の量子論と呼ばれる研究分野における素粒子間の相互作用の研究で使用されます。この 2 つのモデルは、物理的な事象が互いに因果的に独立していることの意味について、異なる考え方を示しています。また、テンソル積モデルはより直感的ですが (私たちの心は、物理的な分離という観点から因果的独立性を描く傾向があります)、通勤者モデルはより一貫した数学的フレームワークを提供します。これは、「空間的独立」は一種のあいまいな考えであり、通勤関係は正確に特定できるためです。
「場の量子論を研究する人々にとって、物が空間的に分離しているというこの概念は、自然な概念ではありません」と Yuen 氏は述べています。 「数学レベルでは、2 つの独立したものを宇宙の 2 つの別々の場所に配置できるとは限りません。」
非ローカル ゲームとの関係は次のとおりです。
コンピュータ サイエンティストは、テンソル積モデルを使用して、非ローカル ゲームの最大勝率の下限を計算できます。彼らが使用するアルゴリズムは、最大勝利確率が特定のしきい値を超えていることを保証します。同様に、研究者は通勤者モデルを使用して、最大勝率の上限を設定できます。そのアルゴリズムは、あるしきい値を下回っていることを約束できます。
これらのツールを使用して、研究者はこれらの限界を 2 つのピストンのようにできるだけ近づけたいと考えています。彼らは、これらの 2 つの制限を接触させて、1 つの正確な最大勝率を出すことはできないことを知っています — スロフストラ、コラダンジェロ、スタークによる最近の研究では、正確な最大勝率は計り知れないことが証明されました — しかし、それらを近づければ近づけるほど、より正確には、最大勝率を概算できます。
実際、これらのアルゴリズムが長く実行されるほど、2 つのピストンが一緒に表示されるようになり、実際には到達することのない言いようのない中間値を中心に、ますます細かい近似値が生成されます。しかし、この観察された収束が無期限に続くかどうかは不明です。 「これらのアルゴリズムは完全に謎です。それは数値の漸進的でスムーズな改善ではありません。どれくらいの速さで収束するのか理解できていません」と Yuen 氏は言います。
このピストン戦略は、2 つのモデルが同等であることを前提としています。天井と床が真ん中の値を絞っているとします。 2 つのモデルが実際に同等である場合、2 つのピストンは実際に順調に接近していきます。 (つまり、ピストンが任意に接近する軌道に乗っていることを証明できれば、2 つのモデルが同等であることも証明されたことになります。)
しかし、2 つのモデルが同じものを異なる方法で表現しているわけではない可能性があります。それらが異なっていたり、釣り合いが取れていなかったりする可能性があり、その結果、このピストン戦略は天井が床より下に押し下げられる状況につながる可能性があります。この場合、コンピュータ サイエンティストは、最大の勝利確率を概算するための最善の戦略を失うことになります。残念ながら、確かなことは誰にもわかりません。
過去数年間で最大の進歩は、問題の解決がいかに難しいかを立証しただけの 2 つの証明という形でもたらされました。
2018 年、Thomas Vidick と Anand Natarajan は、非ローカル ゲームの最大勝利確率を概算することは、巡回セールスマン問題などの難解なパズルを解くことと少なくとも同じくらい難しいことを証明しました。また 2018 年には、ユエン、ヴィディック、ジョセフ フィッツシモンズ、および Zhengfeng Ji が、ピストンが互いに近づくにつれて、ピストンを近づけるために必要な計算リソースが指数関数的に増加することを証明しました。
話のさらに別のひねりでは、2 つのモデルが同等かどうかという問題は、Connes 埋め込み予想と呼ばれる純粋数学の重要かつ困難な未解決問題の直接の類似物です。これにより、数学者とコンピューター科学者は、一石二鳥の状況に置かれます。テンソル積モデルと通勤演算子モデルが同等であることを証明することにより、彼らは同時に、おおよその最大勝利確率を計算するためのアルゴリズムを生成し、さらにConnes 埋め込み予想の真偽を証明します。この成果は、関連するすべての分野で最高の賞賛を得るでしょう.
つまり、すべての質問が深く絡み合っているということです。
この記事は、Investigacionyciencia.es でスペイン語で転載されました .
