前回の インサイト パズルは、ガルトン ボードまたはビーン マシンと呼ばれる古典的な決定論的マシンで、オブジェクトのスムーズでランダムな分布がどのように発生するかを調べました。いくつかのパズルで遊んで、この内部の仕組みを調べました。また、ガルトン ボードの確率論的結果を使用して、おそらく、量子力学の確率論的方程式が、私たちが知り得ない根底にある決定論的法則から生じることを示唆しました。読者はパズルの質問と哲学的な命題の両方に元気よく答えました.最初にパズルの質問を見てみましょう。
以下に示すように、ガルトン ボードは、ビー玉が上から下に転がることができる複数のパスを作成するペグの列を備えた直立したボードで構成されています。ビー玉は上部にドロップされ、ペグに遭遇すると、等しい確率で右または左のいずれかのパスをたどります。下部では、ビー玉が一連のビンに蓄積され、パスカルの三角形とガウス分布を再現できます。
パズル 1:ビンは平等を要求します!
上の図に示すようなガルトン ボードがあるとします。これには、8 行目の代わりにビンがあり、従来の等確率ペグがあります。下部の各ビンが同じ数のビー玉を収集するように変更します。従来のペグの一部を、ビー玉を左右に不均等に向ける新しいペグに交換する必要があることはわかっています。ビー玉を完全に左に、完全に右に、またはこれら 2 つの両極端の間の任意の比率で方向付けるペグを選択できます。
すべてのビンを完全に等しくするという目標を達成するために、交換する必要があるペグの最小数と左右の比率は?
おまけの質問として、上記の結果を任意のサイズのガルトン ボードに一般化する式を導出して正当化できますか?
Rob Corlett はこの問題に正しく答え、Thana Somsirivattana は正式な証明を提出しました。 28 個のペグのうち、交換する必要があるのは 10 個だけであることが判明しました。交換用のペグは単純です。ビー玉を左 (L ペグ) または右 (R ペグ) にルーティングするだけです。ライオネル・リンカーンとロブ・コーレットの慣習に従って、等確率ペグを標準 (S) ペグと呼ぶことができます。これは、ペグがどのように配置され、128 個のビー玉をどのようにルーティングするかを示すソリューションです。
配置は素晴らしく規則的で、交換用のペグが左右に配置されています。
おまけの質問に関しては、この配置は、ビンの数が 2 の累乗である他のケースにも一般化されます。次の式は、Rob Corlett によって再帰的に導出されました。ここでは、p (n ) は、n のボードの非標準ペグの数です。 ビン:
p (1) =0
p (2) =0
p (n ) =2p (n /2) + n – 2
したがって、4 ビン ボードに必要な交換回数は 2p です。 (2) + 4 – 2 =2 × 0 + 2 =2. 16 ビン設定の数は、2 × 10 + 16 – 2 =34 になります。
ビンの数が 2 の累乗でない場合、問題はさらに難しくなります。 Rob Corlett の言葉を借りれば、「構造を掘り下げると、これは信じられないほど複雑な問題です!」代数的アプローチを使用して、Corlett は 2 のべき乗の解から一般化し、n の最小置換の上限を表す次の式を導出しました。 -bin board where n は 2 の累乗ではありません:
p (n ) =p (m ) + p (n – m ) + n – 1
ここで m n より小さい 2 の最大の累乗です。 .
cornflower がさまざまなサイズのボードに対して線形計画法を使用することを示したように、これよりもうまくできることがわかりました。 Cornflower は、5 つ、6 つ、または 7 つのビンを持つ Galton ボードの最小ソリューションの例を示しています。交換が必要なペグの最小数は、5 ビン ボードの場合は 5 つ、6 ビン ボードの場合は 6 つ、7 ビン ボードの場合は 8 つです。
上記の場合、行の 1 つの端に元のペグを残すことができることが判明したため、数値は式で予測されたよりも小さくなっています。これらすべての場合において、Rob Corlett が代数的に示したように、いくつかの最小置換構成が可能です。 Cornflower はまた、12 ビンのセットアップに対して対称的なソリューションを提供し、Corlett はこれがユニークであることを示しました。
この 2 人の寄稿者による素晴らしい作品を読むことをお勧めします。称賛！
パズル 2:ツイン ピークス
パズル 1 と同様に、従来のガルトン ボードから始めますが、今回は下部に 9 つのビンがあるボードです。ペグの最小数を変更して、下部のビー玉の分布が次のようになるように変更する必要があります:0, x 、2x , x 、0、x 、2x , x 、0、x ビー玉の総数の 1/8 を表します。
Rob Corlett は次のエレガントなソリューションを提供します。今回は 8 つの交換用ペグが中央に対称的に配置されています。
パズル 3:個人の行動を予測する
この図では、ビー玉が行 4 の 4 つの位置のいずれかにあり、行の対応する位置に到達した場合、ビー玉の「ドリフト」が 0 であると考えてください。矢印で示すように。他のビンに入った場合、ドリフトの値は予想されるビンからの距離の 2 乗に等しくなります。したがって、ビー玉が行 4 の左端の位置から開始し、予想されるビンの 1 つ左にある 7 とマークされたビンに到達した場合、そのドリフトは 1 =1 です。最終的に左端のビンに到達した場合行 (1 とマーク) の場合、そのドリフトは 2 =4 になります。特定のガルトン ボードの平均ドリフトは、ビー玉が行 4 から行 8 に移動するときのすべてのビー玉の平均ドリフトです。
平均ドリフト:
1.オリジナルのゴルトンボード
2.
3. パズル 1 の修正されたガルトン ボード。パズル 2 の変更されたガルトン ボード。
答えは、Rob Corlett によって再び正しく与えられました。それらは 1、1.5、および 2.5 です。 Corlett は、問題を単純化する巧妙なヒントを提供しています。「ここでのコツは、4 列目から 8 列目に落ちたボールが、1 列目から入ってきて 5 列目に落ちたボールと事実上同じであることに気付くことです。」
それでは、多くの興味深い読者のコメントを引き出した哲学的な質問について説明しましょう。これらのいくつかについて説明する前に、私がどこから来たのかについて 2 つの点を指摘したいと思います.
まず、私の見解は、特定の量子事象 (たとえば、二重スリット実験の遠端で特定の点に衝突する光子) の因果連鎖のみに関心のある科学者の見解です。確率論的な公式があることは知っていますが、それらは、ジョン・ベルが「ビーブル」と呼んだものに答えていません。何らかの前例が光子をその特定の点に推進したに違いありません。それは、光子の内部の何か、環境、2 つの複雑な相互作用、または実験が起こった 1 ヨクト秒の特定の部分における宇宙の状態などです。この観点からすると、「チーム B の観点では、光子はランダム化環境にある」という C T ジョンソンの声明と、「量子宇宙は本質的に確率論的である」というハンク スミスの宣言は魔法のように見える、またはそうでなければ、論理的に一貫性がありません。確かに、無作為な選択は、前例なしでゼロタイムで行われたわけではありません.光子の選択に先立つ 1 ヨクト秒のごく一部を調べることができれば、その選択につながる何かが起こったことは確かです。
ですから、これが私の 2 番目のポイントです。前例のない純粋なランダムな選択が、考えられるあらゆる宇宙で論理的に可能であるとは思えません。量子ランダム性が完全で本質的に見えるのは、それが、私たちが観察することを望むには桁違いに小さすぎる先行事象によって引き起こされているからにすぎません。しかし、前例は存在しなければなりません。サイコロのペアのランダム性や他のすべてのランダムな現象のように、ランダム性は私たちの無知によって引き起こされます.別の読者のコメントに返信した segrimm に同意します。決定は、局所的な現象の「内側と外側」の以前のすべての変化の結果です。結果を予測できないという事実は、結果が決定されていないという意味ではありません。」
ところで、何人かの読者は、私が 2 つの対立する視点をチーム E (アルベルト アインシュタイン) とチーム B (ニールス ボーア) と名付けた理由を疑問視しました。私は、量子力学が誕生した直後の 1927 年に世界のトップの物理学者を集めたソルベイ会議で行われた討論をほのめかしていました。対立する 2 つの視点のリーダーは、アインシュタインとボーアでした。2 人は猛烈な論争を繰り広げ、論点と対立点を提起し、お互いに眠れぬ夜を過ごしました。最後に、固有のランダム性に関するボーアの視点は、新たなコペンハーゲン解釈の一部として普及しましたが、アインシュタインの見解は、「神は宇宙でサイコロを振らない」という有名な感嘆詞に要約されました。ボーアのチームの著名な物理学者は、実用的なものでした:ヴェルナー・ハイゼンベルク、ポール・ディラック、ヴォルフガング・パウリなどのほとんどの人。アインシュタインのチームにはド・ブロイがおり、後にボームとベルがいた。有名な方程式がチーム B の公式見解に貢献したエルヴィン シュレディンガーは、後に亡命し、特に古典的なシュレディンガーの猫の思考実験を提案することによって、チーム E のために力強く主張しました。
それでは、哲学的な反応のいくつかを見てみましょう:
多世界解釈 (MWI) は、「小さな粒子が些細な選択をするたびに、宇宙全体が数え切れないほど複製されていると想定している」という私の声明に応えて、TJ_3rd は、ヒュー・エベレットの元の論文を読むことを提案しました。確かに、それは素晴らしいことです。リンクをありがとう！ただし、上記で宣言した私の見解を考えると、それがこの議論にどのように影響するかはわかりません。 TJ_3rd が述べているように、「Everett は、彼の『多世界解釈』がどのように個々の結果を予測しないか、また予測できないかについて非常に詳細に説明しました。」しかし、個々の結果の原因はまさに私が興味を持っていることです. MWI が宇宙の「クローン作成」と粒子の「選択」を示唆しているという私の信念については、これらは私の言葉ではありませんが、David Deutsch などのエベレットの現代の信奉者によって採用されているものです。なる。これに同意しない信者が他にもいることは知っています — どうやら、MWI の「他の」世界には、現実か非現実かという 2 つの異なる解釈があるようです。しかし、世界が非現実的である場合、エベレット手順は、シュレディンガー方程式に含まれる量子進化が存在する唯一のプロセスであると想像できるようにするための数学的手法にすぎず、物理学者が厄介な波形の崩壊に悩まされることから解放されます。しかし、これはシュレディンガー方程式が真の運動方程式である場合にのみ意味があります。そうではない。ガウス分布がゴルトン ボードの結果の確率論的表現であるように、これは確率論的表現であるため、上で言及した不思議な固有の不確定性を除外する場合、アンサンブルを参照する必要があります。
Jon Richfield は、決定論と因果関係には違いがあり、決定論には無限の精度の測定が必要であり、それは不可能であるという事実を指摘しています。カオス理論が示すように、完全に決定論的な世界を擁護したピエール=シモン・ラプラスは、古典的な意味でも間違っていたが、予測的には間違っていたが、遡及的には間違っていなかったことに同意する.最も単純な古典的な結果が与えられると、初期条件がどうあるべきか、およびその結果に至る経路を有限の精度で推測できます。それができない場合、あなたの法律は不完全です。しかし、現在の議論では、因果関係よりも厳密な決定論に関心があることに同意します。
Zdeněk Skoupý は、「ボールの動きの『因果関係』をより詳細に現実的に解決する場合、原則として、無限に行くことはできません。終わりは量子レベルにあります」とコメントしました。しかし、ボールは十分に大きい巨視的なオブジェクトであるため、その動作を決定するために量子レベルに行く必要はありません。実際の現実世界のガルトン ボードでボールがどちらの方向に進むかを決定するランダム化の物理的メカニズムは、古典的に完全に説明できると思います。巨視的なオブジェクトとしてのボールの動きは、量子の世界から効果的に遮断されます。
ガルトン ボードのようなものが動作して二重スリットの結果が得られるという Devin Wesley Harper の考えは興味深いものです。ただし、ダブル スリット パターンは、各光子が互いに干渉することによって生じる干渉パターンであることが説得力を持って実証されていることを心に留めておく必要があります。また、模様は真空中でも発生します。 Devin さん、あなたの理論が成功するには、これら 2 つの注意点を説明する必要があります。様子を教えてください。
それは今のところすべてです。コメントをくださった皆様、ありがとうございます。この議論を続けたいと思われる方がいらっしゃいましたら、こちらのコメント欄にご記入ください。拍手だけでも、必ず返信しようと思います。
今月のインサイト 賞品はロブ・コーレットに贈られます。佳作はヤグルマギクに贈られます — 貢献に感謝します。おめでとうございます!
