自然は本質的にランダムですか？量子力学のいくつかの解釈によれば、単一粒子の動きを正確に予測できない理由を説明しています。有名な二重スリット実験 (リチャード ファインマンが「量子力学の核心を持っている」と宣言したように) では、2 つのスリットを通過する個々の光子が、もう一方の感光壁のどこに到達するかを正確に予測することはできません。側。しかし、私たちは複数の粒子の分布を非常に正確に予測することができます。これは、結局のところ、自然が決定論的である可能性があることを示唆しています。実際、二重スリットで発射された数十億個の光子の分布がどのように見えるかを、小数点以下の桁数まで予測できます。
予測不可能な個人の行動と正確なグループの行動の間のこの二分法は、量子力学に固有のものではありません。量子物理学には、粒子波双対性、量子エンタングルメント、不確定性原理など、斬新で奇妙な側面が数多くありますが、集団の振る舞いを正確に予測する確率方程式はその中にありません。この現象は、熱力学など、熱や圧力などの集合的な尺度を正確に予測できるような、非常に多数の同様の要素が相互作用するところならどこでも見られますが、個々の分子がたどる経路については完全に知らないかもしれません.
8 月のパズルでは、ランダム性と決定論のどちらが量子力学の中心にあるのかについて議論しました。これをチーム B (ニールス ボーア) とチーム E (アルバート アインシュタイン) として特徴付けました。チーム B は、粒子の振る舞いの予測不可能性を、宇宙の基本的なレベルで、決定論が本質的で客観的なランダム性に取って代わられている証拠と見なしています。チーム E は、このランダム性は、より深いレベルの決定論的因果関係について私たちが無知であることの単なる兆候であると主張しています.
今月は、決定論的な法則が確率論的な動作をどのように生み出すことができるかを鮮やかに示す機械装置の動作を探ります。これは、ガルトン ボード、またはビーン マシンまたはクインカンクスとして知られています。下の写真に見られるように、ガルトン ボードは、ビー玉が上から下に転がることができる複数のパスを作成するペグの列を備えた直立したボードで構成されています。ビー玉は上部にドロップされ、ペグに遭遇すると右または左のいずれかのパスを取ります。デバイスの従来のバージョンでは、これらのパスのそれぞれは、すべてのペグで同じ確率で発生します。ビー玉は一番下のビンのセットに蓄積されます。
考えられるすべてのパスを 1 回通過した後に左から右に各下部ビンに収集されるビー玉の予想数は、二項分布によって与えられます。 n の代わりにビンを使用した Galton ボードの完全な試行セットに必要なビー玉の総数 番目の行は 2 で与えられます — 一番上の行（ビー玉がデバイスに落ち、最初のペグの代わりにビンがある場合）は、2=2 =1、2 行目は 2 =2、3 行目は 2 =です。 4など。各ペグでビー玉が左または右に移動する確率は 50-50 であるため、一番下の行の各ビンの数値は n − から期待されるのと同じ分布を示します。 1 コイントス。したがって、5 行目の代わりにビンがあるガルトン ボードは、4 回のコイン投げで表すことができ、完全なセット (16 個のビー玉に相当) を得るには、4 回のコイン投げを 16 回試行する必要があります。コレクション ビンには、0 の表の 1 つのインスタンス (および 4 つの裏)、1 つの表の 4 つのインスタンス、2 つの表の 6 つのインスタンス、3 つの表の 4 つのインスタンス、および 4 つの表の 1 つのインスタンスに対応するビー玉があります。 (16 回の試行は、上記の比率を得ることができる試行の最小数であることに注意してください。実際には、試行を重ねるほど、結果はこれらの理想的な比率に近づきます。)
行数が任意のガルトン ボードの場合、ビー玉が特定の行に配置されたビンに到達するために取ることができるさまざまなパスの数は、パスカルの三角形の対応する数とまったく同じです (以下を参照)。行とビンの数が増えると、ビン内のボールの予想される分布はベル カーブに近づきます。したがって、大規模なガルトン ボードのコンピューター シミュレーションは、中心極限定理を視覚的に示すことができます。これは、ビンの数が無限大に近づくにつれて、二項分布の理論上の極限が鐘型曲線 (別名ガウス分布) になることを示しています。
もちろん、ペグがボールを左または右に同じ確率でそらす必要はありません。ペグを構築して、0 から 1 までの任意の確率を得ることができます。これにより、ガルトン ボードは、左または右に偏っている可能性のある二項分布や、他の多くの種類の分布をシミュレートできます。そして、これが最初のパズルにつながります。
パズル 1:ビンは平等を要求します!
上の図に示すようなガルトン ボードがあるとします。これには、8 行目の代わりにビンがあり、従来の等確率ペグを備えています。下部の各ビンが同じ数のビー玉を収集するように変更します。従来のペグの一部を、ビー玉を左右に不均等に向ける新しいペグに交換する必要があることはわかっています。ビー玉を完全に左に、完全に右に、またはこれら 2 つの両極端の間の任意の比率で方向付けるペグを選択できます。
すべてのビンを完全に等しくするという目標を達成するために、交換する必要があるペグの最小数と左右の比率は?
おまけの質問として、上記の結果を任意のサイズのガルトン ボードに一般化する式を導き出し、正当化できますか? (下部に奇数のビンがあるものについては、試行の完全なセットの後に任意の 2 つのビンを比較したときのビー玉の数の差は 1 または 0 になるはずです。したがって、5 列のガルトン ボードの場合、 2 個の完全なセット =16 個のビー玉、5 つの下部ビンのそれぞれに許可されるビー玉の数は 3 または 4 である必要があります。)
従来のガルトン ボードでは、すべての列の大理石の分布は中央で最も高く、端に向かって減少します。次のパズルでは、2 つの頂点を作ってみましょう。
パズル 2:ツイン ピークス
パズル 1 と同様に、従来のガルトン ボードから始めますが、今回は下部に 9 つのビンがあるボードです。ペグの最小数を変更して、下部のビー玉の分布が次のようになるように変更する必要があります:0, x 、2x , x , 0, x 、2x , x 、0、ここで x ビー玉の総数の 1/8 を表します。
従来のガルトン ボードでは、個々のビー玉が真ん中の列から一番下に移動する際の最終的な位置はあまり予測できません。最終的にはいずれかのビンに入る可能性があります。お気づきかもしれませんが、上記の 2 つのパズルで行った変更により、ガルトン ボードが以前よりも決定論的になりました。個々のビー玉の経路をより正確に予測できるようになりました。この傾向を数値化してみましょう。
パズル 3:個人の行動を予測する
この図では、ビー玉が行 4 の 4 つの位置のいずれかにあり、行の対応する位置に到達した場合、ビー玉の「ドリフト」が 0 であると考えてください。矢印で示すように。他のビンに入った場合、ドリフトの値は予想されるビンからの距離の 2 乗に等しくなります。したがって、ビー玉が行 4 の左端の位置から開始し、予想されるビンの 1 つ左にある 7 とマークされたビンに到達した場合、そのドリフトは 1 =1 です。最終的に左端のビンに到達した場合行 (1 とマーク) の場合、そのドリフトは 2 =4 になります。特定のガルトン ボードの平均ドリフトは、ビー玉が行 4 から行 8 に移動するときのすべてのビー玉の平均ドリフトです。
平均ドリフト:
1.オリジナルのゴルトンボード
2.
3. パズル 1 の修正されたガルトン ボード。パズル 2 の変更されたガルトン ボード。
古典的な世界のガルトン ボードでは、各ペグでのランダム性 (ビー玉が左または右に移動するかどうかの選択) は、各ペグで何らかのランダム化アナログ メカニズムを使用して設計されるか、次のような微妙な要因から生じる可能性があります。おそらく、ビー玉の正確な初期位置、その動きの角度、またはペグの表面の微妙な欠陥からビー玉が跳ね返る方法.これらはすべて、ビー玉の進む方向を決定する明確な因果連鎖を伴う決定論的な要因です。選択されたパスは、これらの詳細を知らないためにランダムに見えます。 (一部の Galton ボードは不確定性を完全に排除し、各相互作用の後に状態を反転するように設計されたゲートを備えているため、次のビー玉を別のパスに押し込みます。)
チームEが解釈するように、これをランダム性と決定論を含む哲学的問題に適用しましょう.ガルトン ボードと同様に、特定の光子が二重スリット実験の向こう側のどこに到達するかを決定する、準量子的ではありますが、類似の因果関係が存在する必要があります。これらのプロセスが何であるかを知ることは決してないかもしれませんが、それらは存在しなければなりません.おそらく、これには実際的な意味はありませんが、確率論的シュレディンガー方程式が、従来のガルトン ボードを記述する二項方程式のような集合方程式であることを意味します。その場合、方程式には個々の粒子の予測値はありません。これは、小さな粒子が自明に異なる選択をするたびに、宇宙全体が数え切れないほど複製されていると仮定する多世界解釈の基礎を弱体化させます.式がアンサンブルの動作を説明するだけの場合、このシナリオは不要です。ビー玉とペグの相互作用の正確な詳細を知らないという理由だけで、ガルトン ボードでビー玉が左または右に移動するたびに宇宙が分裂するかのようです。この簡単な説明に対して、チーム B は何と答えますか?
幸せなパズルと哲学。
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