カウントの基本原則:
カウントの基本原則によると、2 つのイベントの配置数を同時に決定する必要がある場合、それは個々のイベントの数の積です。
あるイベントが x 回発生し、別のイベントが y 回発生する場合、考えられる配置方法の合計は x × y で求められるとします。
掛け算の原理:
掛け算の原理は、数え方の基本原理を拡張したものです。複数のイベントが同時に発生する場合、可能な配置の総数は、各イベントの数の積になります。
たとえば、あるイベントが m1 回発生し、続いて 2 番目のイベントが m2 回発生し、3 番目のイベントが m3 回発生し、イベントが mn 回発生するまで続く場合、配置は m1× m2×…×mn.
順列:
これは、特定のグループを配置するさまざまな方法の数を決定するのに役立つカウント手法の 1 つです。
順列とは、一連の数字を一定の順序で並べたものです。一度にいくつかまたはすべての数字を取得できます。
繰り返しが許可されていない場合、順列の式は次のようになります
nPr =n! / (n – r)!
どこで
n =異なるオブジェクトの総数
r =選択されたオブジェクト
n! =n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …x 1
繰り返しが許可されている場合、順列は nr で与えられます。
したがって、組み合わせを始める前に、階乗表記の意味を知っておくことが重要です。
階乗表記とは
n! n factorial は、最初の n 個の自然数の積です。
n! =1 x 2 x 3 x…x (n – 1) x n
組み合わせ:
グループからいくつかのアイテムを並べずに選択したい場合は、そのような問題を組み合わせで解決してください。
組み合わせ式は、グループからすべてのオブジェクトまたは一部のオブジェクトを配置せずに選択する方法の合計を決定します。
与えられた n 個のオブジェクトから r 個のオブジェクトを選択する場合、組み合わせ式は次のようになります。
nCr =n! /r！ (n – r)!
組み合わせと順列の選び方
以下の表を使用して、質問が組み合わせまたは順列の問題を表しているかどうかを判断できます。
いくつかの重要な組み合わせの公式:
次の式を使用して、組み合わせの問題を解決できます。
nCr =nCn – r
nCr + nCr – 1 =n + 1Cr
n × n – 1Cr – 1 =(n- r + 1) × nCr – 1
組み合わせ式の例:
組み合わせの概念をよりよく理解するための例を次に示します。階乗を解く方法もソリューションに示されています。
生徒が 7 つの質問のうち 5 つに答える必要があるとします。生徒はセクション A と B から少なくとも 1 つの質問を選択する必要があります。セクション A には 3 つの質問があり、セクション B には 4 つの質問があります。選択方法はありますか?
生徒は次の方法で選択できます:
セクション A の 3 問と 2 問およびセクション B それぞれ =3C3 x 4C2
=[3! / 3！ (3-3)!] × [4! / 2！ (4-2)!]
={(1 x 2 x 3)/ [(1 x 2 x 3) x 0!]} x [(1 x 2 x 3 x 4)/ (1 x 2) (1 x 2)]
=1 x 6 =6
*0! =1
同様に
セクション A の 2 と 3 の質問およびセクション B それぞれ =3C2 x 4C3 =3 x 4 =12
セクション A の 1 問と 4 問およびセクション B それぞれ =3C1 x 4C4 =3 x 1 =4
質問を選択する方法の数は –
3C3 x 4C2 + 3C2 x 4C3 + 3C1×4C4
=6 + 12 + 4
=22
組み合わせの問題を解決する際によく寄せられる質問の一部を以下に示します。
結論:
組み合わせは、グループ内の 1 つまたは複数のオブジェクトを選択する可能な方法の数を見つけるための便利なカウント手法の 1 つです。
組み合わせと順列を区別する要因を理解し、適切な公式を適用することで、組み合わせの問題を簡単に解決できます。
上記のトピックは、志望する IIT/JEE 学生の入学試験に役立つだけでなく、実生活でも非常に価値があります。
