「数学者は、エンジニアリングで頻繁に遭遇するため、三角級数を使用した周期関数の表現に集中してきました。このノートでは、さまざまなコンピューター代数システムで実装できる周期関数を作成するためのいくつかの簡単な方法を紹介します。これにより、周期関数の三角級数が周期関数にどのように近づくかを簡単に把握できます。」
体が行っている動きが、ロッキング ロッカーやスイングのように一定の間隔で繰り返される場合、その体は周期的な動きをしていると見なされます。以下は周期関数の定義です:
関数は一定の間隔で同じ値に戻ります。
周期運動と振動運動は同じように聞こえますが、すべての周期運動が振動運動であるとは限りません。周期運動と振動運動の主な違いは、前者は時間の経過とともに繰り返されるあらゆる運動に適用できるのに対し、後者は平衡点付近または 2 つの状態間で発生する運動にのみ適用できることです。すべての周期運動は、周期関数によって定義できます。
平衡位置に沿って振動している振り子の玉を考えてみましょう。ボブが振動している場合、その変位もゼロから正へ、そしてゼロから負へと変動します。
周期関数式
ゼロでない定数 P に対して、次の場合、関数 f は周期的であると言われます:
f(x+P)=f(x)
ドメイン内のすべての可能な x 値。関数の周期は、ゼロでない定数 P であり、これが該当します。
周期関数の性質
以下に挙げる特性は、周期関数の考え方をよりよく理解するのに役立ちます。
- 周期関数のグラフは左右対称で、横軸に向かって繰り返されます。
- 周期関数の範囲は固定間隔で定義され、周期関数のドメインにはすべての実数値が含まれます。
- 周期関数の周期の範囲全体にまたがる定数で、周期が繰り返される部分は、関数の周期と同じです。
- f(x) の周期が P の場合、1/f(x) は f(x) と同じ基本周期になります。
- f(x) の周期が P の場合、f(ax + b) の周期は P/|a| です。
- f(x) の周期が P の場合、af(x) + b の周期も P です。
重要な周期関数
さらに調査できるいくつかの洗練された周期関数を以下に示します。
オイラーの公式: 周期関数であるコサイン関数とサイン関数は、複素数の公式 eikx=Coskx+iSinkx で使用されます。この場合、これら 2 つの関数は周期的であり、オイラーの公式は 2π/k の波長を持つ周期関数です。
ヤコビ楕円関数: 三角関数とは対照的に、これらの関数は、円ではなく楕円形のグラフを特徴としています。これらの楕円形は、移動体の振幅と速度、または物質の温度と粘度などの 2 つのパラメーターの相互作用の結果です。これらの関数は、振り子の運動を説明するために広く使用されています。
フーリエ級数: フーリエ級数は、いくつかの周期的な波動関数級数を重ね合わせることによって形成される複雑な周期関数です。これは通常、正弦関数と余弦関数で構成され、これらの波動関数の和は、これらの各級数に重み成分を与えることによって計算されます。熱波表現、振動解析、量子物理学、電気工学、信号処理、画像処理はすべてフーリエ級数の応用です。
周期関数の用途
- 定期的に繰り返される動作を伴う現象は、周期関数と呼ばれます。最も基本的な例は、地球の周りの月の軌道など、速度が一定の円運動です。音 (空気中の圧力波)、水の動き、そして最も重要な電磁気現象などを表す波動と挙動は、最も一般的な例です (光、電気、磁気)。
- 壁にアナログ時計がかかっています。 1 分間の周期関数を使用して、秒針の動きを説明できます。
結論
正弦と余弦の和を使用して、周期関数を表すことができます。フランスの数学者で科学者のジャン・バティスト・ジョセフ・フーリエ (1768-1830) はこの真実を発見し、彼の研究は 1822 年に出版されました。 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–59) は後に彼の定理を確認しました。
無限級数の最初の数項は通常、多くのアプリケーションで十分であるため、すべての周期関数が正弦波成分の和として表されるという事実は、関数の実用的な近似を示しています。また、複合波形分解用の分析ツールも含まれています。
