私たちは皆、頭上に大きな重りが持ち上げられると、それが潜在的に危険な状況であると本能的に経験したことがあります。ただし、重量は十分に確保できるので、必ずしも危険というわけではありません。重力によっておもりが落ちないようにする力が、何かによって失われます。適切な物理用語を使用するために、電気に変換される重りの重力ポテンシャル能力について話しています。
重力ポテンシャル エネルギーに割り当てられることが多い記号は Ug です。重力ポテンシャル エネルギーは、重力場内の特定の関数に配置された結果としてオブジェクトが持つエネルギーを表します。
球殻の重力ポテンシャルエネルギー
この会話を通じて、ニュートンの万有引力の法則が、球状の質量分布を持つ巨大なものに当てはまることを学びます。
次の点について考えてみましょう:
- 球殻の中心から距離 r にある、球殻の外側にある質点 m
- 球殻の質量はM
- シェルの半径は R
- A は面積です
ここで、球殻と点質量のシステムの重力ポテンシャル エネルギーを見つけます。
球殻上に質量 dM と厚さ dl=R の薄い球殻 (リング要素) を考えてみましょう。リング内の各粒子は、質量点から距離 l にあります。リング要素と点質量の重力ポテンシャル エネルギーは次のとおりです。
dU=−GmdM / l
シェル要素の面積は dA=2πR2sinθdθdθ です。また、シェル要素の面積は、円周 2πRsinθ に厚さ dl=Rd を掛けたものであることに注意してください。
シェルの総質量に対するシェル要素の質量の比率は、シェルの全領域に対するシェル要素の面積に等しくなり、
dM/ M=dA /A =2πR2sinθdθ / 4πR2
または、
dM=1/2Msinθdθ
上記の式から dM を代入すると、
dU=−GmMsinθdθ / 2l
OA=Rcosθ したがって、
l=(r−Rcosθ)+(Rcosθ) or l=r−2rRcosθ+R
ldl=rRsinθdθ
上記の式から l を代入してみましょう。
dU=−GmMdl / 2rR
前述の計算を統合すると、球殻系の重力ポテンシャル エネルギーと質量点が得られます。
r−Rからr+R
U=−GmM2rRr+R-rr+R−dl=−GmMr
したがって、球殻と点質量の系の重力ポテンシャル エネルギーは、あたかも球殻の全質量が殻の中心に集中しているかのようであることは明らかです。
F =-du/dr の場合の重力なので、次のように力の式を取得できます:
F=GmM * dr−1/dr =−GmM r
前述の質量点が中心から距離 r の球殻の内側にある場合、積分中の積分限界は R−r から R+r に変化し、系の総重力ポテンシャル エネルギーは次のようになります。
U=−GmM/2rRr + R-r −dl=−GmM / r
r の代わりに R がある場合、質量点がシェルの内側にあるときの重力ポテンシャル エネルギーは一定であり、質量点にかかる力はゼロです。
この最終結果は、すべての質量がシェルの中央に集中した場合に得られる結果と同じです。この結果は、すべてのシェルに当てはまります。球はそのような殻で構成されているので、すべての球にも当てはまるはずです。この現象は、異なるシェルの質量密度が異なる場合、つまり密度が半径の関数である場合でも発生します。このことから、ある惑星が別の惑星に及ぼす重力圧力は、すべての惑星の質量が中心に集中するようなものであると導き出すことができます.
結論
ニュートンの重力発見を調べながら、質量 m と地球のギャップを地球の半径として g を推定しました。別の言い方をすれば、地球の質量はすべてその中心にあると考えていました。この仮説は、私たちが地球から遠く離れている場合 (つまり、地球の半径が無視できる場合) には論理的に見えるかもしれませんが、私たちが地球の表面に立っているときは正確ではないようです。ただし、この仮定は、重力のある球の床 (地球が適切な近似値である) の外側にあるすべてのオブジェクトに当てはまることがわかります。これは重要な結果です。これは、重ね合わせ、逆直交法則、および球対称性の組み合わせです。
