ガウスの法則は、電磁気学および物理学における基本的な概念です。電荷分布を、電荷によって引き起こされるその後の電界に接続するために利用されます。 Joseph Lagrange は 1773 年にこの法則を提案し、続いて 1813 年に Carl Gauss が提案しました。この法則は、楕円体の引力の文脈で両者によって開発されました。古典的な電気力学の基礎を提供するマクスウェルの 4 つの方程式の 1 つに、この法則が含まれています。
ガウスの法則は、物理学および電磁理論でガウスの磁束定理 (または単にガウスの定理) としてよく知られ、電荷の分布を結果として生じる電場に関連付ける法則です。それは、閉じた表面から出る電界のフラックスは、電荷がどのように分散されているかに関係なく、表面に囲まれた電荷に比例すると主張しています。法則だけでは、電荷分布を含む表面全体の電場を推定するには不十分ですが、対称性が場の均一性を必要とする状況では、これは可能かもしれません。このような対称性がない場合、電場の発散は電荷の局所密度に比例するというガウスの法則を微分バージョンで使用できます。
電気フラックス
速度 v で dS 面上を移動する液体を考えます。面を横切る液体の流れの速度は vdS で表されます。これは、表面を通って移動している液体フラックスです。同様に、電界の流れが定義されます。これは、小面積パッチ dS を流れる電場として知られています。パッチのサイズは、パッチを横切る電界線の数に比例します。
E.ΔS
ここで、θは角度です
E.ΔS cosθ
フラックスは
ϕ=E.ΔS cos
ガウスの法則
半径 r の球体に小さな電荷 q が入っているとします。この球体は、下の図に示すように、より小さな領域部分に分割できます。次の式を使用して、要素を流れる電界を計算します:
ϕ=E.∆S=q ⁄ 4πϵr2r. ΔS
無限に長い直線導線による電界
ガウスの法則をさまざまな荷電形態に適用して、電場の方程式を生成できます。無限に長いワイヤーで運ばれる電荷を考えてみましょう。ラムダは、そのワイヤの単位長さあたりの電荷を表します。ワイヤーには、下の図に見られる対称軸があります。目標は、このワイヤによって生成される電場を計算するために使用できる方程式を見つけることです。
ワイヤの周りに回転した放射状ベクトル OP を考えてみましょう。これは、すべての場所 P、P'、および P" の電界が同じでなければならないことを示しています。電荷が正の場合、電場は放射状に外側に向かっています。電荷が負の場合、電場は半径方向内側です。
円筒ガウス面を使用して電場を計算します。磁場はどこでも放射状であるため、円柱の 2 つの面に沿った磁束はゼロです。 E は、表面の円筒部分の各点で表面に垂直であり、r のみに依存するため、その大きさは一定です。曲面部分の表面積は 2πrl で、l は円柱の長さです。
円柱の湾曲部分を通る磁束 表面全体の磁束に等しい
=E × 2πrl
λl に等しい電荷が表面に囲まれています。
E × 2πrl=λl ⁄∈
E=λ ⁄ 2πrɛ
結論
静電気学では、ガウスの法則の最終的な目標は、閉じた表面で囲まれた特定の電荷分布の電界を見つけることです。これは最も重要な電磁法則です。
ガウスの法則は、円筒対称、球対称、平面対称などの異常な対称性を持つ静電問題を解決するために利用できます。以下は、ガウスの法則の使用方法です:
- 電場の評価を簡単にするガウス面を選択してください。
- タスクを簡単にするために、対称を適用します。
ガウスの法則は、磁気に関するガウスの法則や重力に関するガウスの法則など、物理学の他のいくつかの法則に数学的に匹敵します。ガウスの法則は、逆二乗の法則と同様に定式化できます。たとえば、ガウスの法則は本質的に逆二乗のクーロンの法則に相当し、ガウスの重力の法則は逆二乗のニュートンの重力の法則と本質的に同等です。
