科学の分野では、次元分析が重要な役割を果たします。それは基本的な物理量間の関係を決定します。数学的にさまざまなオブジェクトの性質の基本的な理解を提供します。物理量の性質はその次元によって推測できるため、次元分析にはさまざまな用途があります。この記事を読んで、次元分析とその応用について学びましょう。
物理量の次元
導出されたすべての式は、基本量とも呼ばれる 7 つの基本量の次元として記述できます。これらの基本的な物理量は次のとおりです。
- 気温 [K]
- 時間 [T]
- 質量 [M]
- 長さ [L]
- 電流 [A]
- 光度 [cd]
- 物質の濃度 [mol]
任意の量の次元は、底を指数にすることで表されます。たとえば、立方体の体積は次のとおりです。
V =l bh
ここで、長さ (l)、幅 (b)、および高さ (h) はすべて、直方体の辺の長さの尺度です。
したがって、体積の次元式は次のようになります:
V =[L] [L] [L]
V =[L3]
力の別の例です。力の式は次のように与えられます:
F=ま
F =m (v/t)
F =m (d/t2)
F =[ML T-2]
したがって、これらの例から、どの基本量が物理量の次元をどのように形成するかを表すために次元公式が使用されていることがわかります。また、物理量とその次元を同一視する式を次元方程式と呼びます。
次元均一性の原則
次元の均一性の原則に従って、同じ次元の量の大きさだけを足したり引いたりすることができます。この研究資料で言及されている例は、次元分析に関するメモです。寸法 [L3] の体積は、寸法 [MLT-2] の力から差し引くことができないことを理解しています。
この原理は、方程式の正しさを判断するのに非常に役立ちます。すべての項が同じ次元でない場合、方程式は正しくありません。
たとえば、次の式を使用します:12mv2 =mgh
ここで、すべての記号には通常の意味があります。次元を見つけることで、この方程式が正しいかどうかを確認できます。両側の各項の次元が同じでない場合は計算されます。式は間違っています。
この例では、左側の寸法は次のとおりです:
12mv2 =12m(d/t) 2 =[M L2 T-2]
右側の寸法:
mgh =m(v/t)h =m(d/t2) h =[M L2T-2]
ここでは、左右の寸法が同じであることがわかります。したがって、方程式は正しいです。
物理量間の関係の推定
次元分析を使用すると、物理量間の関係を簡単に判断できます。関係を見つけるには、依存度、つまり、ある量が別の量に関してどの程度増加または減少するかを知る必要があります。一貫性の原則を使用して、依存関係を計算できます。
たとえば、T=k lx gy mz として与えられる振り子の時間間隔の関係があります。ここで、T は時間、m は質量、l は振り子の長さ、g は重力による加速度です。
T=k lx gy mz
両側に寸法を書きます:
[M0 L0 T] =k [L]x [L T-2]y [M]z
[M0 L0 T] =k [L]x+y [ T]-2y [M]z
両面の比較:
x+y=0; -2y=1; z=0
方程式を解くと、次のようになります。
y =-1/2; x =1/2; z=0
取得した値を代入します:
T=k l1/2 g-1/2 m0
したがって、時間間隔の式は次のようになります:
T =キログラム
無次元量
無次元量とは、次元を持たず、定数値のみを持つ量です。次の 2 種類の無次元量が存在する可能性があります:
- 単位のない無次元量:、sin、e、cos など
- 単位付きの無次元量:ジュール定数、ラジアン、角変位。
次元分析の応用
物理量の性質を決定する上で、次元分析がいかに重要であるかはすでに学びました。物理量の次元の性質を知っておくことは重要です。同じ次元の量だけを足したり引いたりすることができるからです。
次元分析はさらに、さまざまな物理量間の関係を判断するのに役立ちます。また、さまざまな数式の導出が正しいかどうかを確認することもできます。
次元を掛ける場合は、通常の代数式と同じ方法で行います。分子と分母の同じ次元も相殺できます。
次元解析は、さまざまな物理量の公式を決定するためにも使用されます。とりわけ、物理量の単位はあるシステムから別のシステムに変換できます。
次元分析にはさまざまな用途がありますが、いくつかの制限もあります。次元分析を使用して定数の値を決定することはできません。
なかんずく、三角関数や対数関数、指数関数などは次元解析を使いません。
結論
次元解析は、物理量を基本量の指数として表現する方法です。数式を導出し、その一貫性をチェックする際に、科学と数学でさまざまな用途があります。
ただし、方程式が一貫性テストに合格したとしても、必ずしも正しいことが証明されるとは限りません。したがって、次元的に正しい方程式は、特定の物理量の実際の公式ではない可能性があることがわかります。
