この世界のすべてのものは、さまざまな形で構成されています。明確なものもあれば、不明確なものもあります。では、現在の領域を決定するために形状を調べてみましょう。明確な形状の場合、式を適用して面積を見つけることができます。ただし、不定形の場合は、形をいくつかに分割して形を明確にする必要がありますが、この方法はすべての形に適用できるわけではありません。このような形状の場合、面積は積分法を使用して決定できます。定積分法は、曲線の方程式が既知である曲線の特定の領域を決定するためにも使用されます。
定積分とはどういう意味ですか?
定積分は、2 つの固定限界間の曲線の下の領域を表します。これらの積分は、グラフの曲線の面積を決定するのに役立ちます。定積分を評価する際に、極限点を (a,b) として取り、x 軸に関する曲線の面積を見つけることができます。
定積分は次のように表すことができます:
∫baf(x)dx
ここで
a は下限を表し、
b は上限を示します。
積分は面積を追加することを表しますが、定積分は明確な範囲を持つ面積の合計です。
定積分の公式:
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
ここで、F(a)は積分の下限値、F(b)は積分の上限値です。積分記号の下と上にある数値 a と b は下限と上限です。 b と a の値があっても、下限が上限より高くなることがあります。したがって、b と a は積分区間と呼ばれます。
定積分プロパティ:
定積分の性質は、定数を掛けた関数、関数の和、偶関数と奇関数の積分を見つけるのに役立ちます。プロパティは次のとおりです:
1 番目のプロパティ:p∫q f(x) dx =p∫q f(y) dy
2 番目のプロパティ:p∫ q f(x) d(x) =– q∫p f(x) d(x)、また p∫p f(x) d(x) =0
3 番目のプロパティ:p∫ q f(x) d(x) =p∫r f(x) d(x) + r∫q f(x) d(x)
4 番目のプロパティ:p∫ q f(x) d(x) =p∫q f( p + q – x) d(x)
5 番目のプロパティ:o∫ p f(x) d(x) =o∫p f(p – x) d(x)
6 番目のプロパティ:∫02p f(x)dx =∫0p f(x)dx +∫0p f(2p-x)dx…f(2p-x) =f(x)の場合
7 番目のプロパティ:
∫02 f(x)dx =2∫0x f(x) dx … if f(2p-x) =f(x)
∫02 p f(x)dx =0 … if f(2p-x) =-f(x)
8 番目のプロパティ:
∫-pp f(x)dx =2∫0p f(x) dx … f(-x) =f(x) または偶数関数にすることもできます
∫-ppf(x)dx =0 … f(2p-x) =-f(x) または奇関数の場合
定積分はどのように決定できますか?
定積分を決定するための最初のステップは、F(x) である反導関数を決定することです
次のステップは、F(x) と F(y) の値を決定することです
最後のステップは F(x)-F(y) を見つけることです
例:
- ∫21 2 歳
y=1:∫2y dy =12 + C
y=2:∫2y dy =22 + C
(22 + C) − (12 + C)
22 + C − 12 − C
4 − 1 + C − C =3
- ∫1 2 2y dy =3
A =2+4 × 1/2 =3
面積は 3 です。
定積分の適用:
定積分は、主に円、放物線、楕円などの平面図形の面積を求めるために使用されます。
エンジニアリングは、多くの分野での統合を伴う主な分野です。積分の概念は、物理学の公式を説明しました。研究材料の断面積が不均一な場合はいつでも、統合の概念を使用します。たとえば、重心を見つけるための材料の断面の面積が不均一な場合、定積分を使用して、任意の基準点からの COM の座標を見つけます。
運動中の物体の速度と変位は、定積分を使用して計算されます。不定曲線の体積は、定積分を使用して求められます。定積分のいくつかの物理的応用は、工学と物理学で一般的です。
密度の関数がわかっている場合にのみ、定積分によって物体の質量を決定できます。力の関数を積分することで、仕事の価値を求めることもできます。
定積分は、液体に沈められた物体にかかる力も決定できます。
結論:
多くの分野では、実生活で定積分が使用されます。曲線の統合は、使用するようになると、最も簡単で効率的な方法でした。ほとんどの人は、高校で学んだ概念は実生活では役に立たなかったと言っています。しかし、それは真実ではありません。私たちが高校で学ぶことは工学数学の基礎です。
